pogorelov-gdz-10-2001z (546200), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда:АВ ВВ1AC + BC BB1BC BB1, 1+,=, то есть1)==AC15AC15АС СС13 BB15, BB1 = 15 ⋅ = 37,5 (см);=2152AB BB1AB11, BB1 ==2)⋅ CC1 = ⋅ 8,1 = 9,9 (см);AC CC1AC91+ВВ1 СС1CC15=; BB1 =⋅ AB = ⋅ 6 = 15 (см);AC2АВАСВВ1 СС14) AB = AC + BC = a + b. Далее:=;АВАС3)BB1 =14AB ⋅ CC1 c (a + b).=ACa8.Даны параллелограмм и не пересекающая егоплоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А1, В1, С1 и D1.
Найдитедлину отрезка DD1, если:1) АА1 = 2 м, ВВ1 = 3 м, СС1 = 8 м;2) АА1 = 4 м, ВВ1 = 3 м, СС1 = 1 м;3) АА1 = а, ВВ1 = b, СС1 = с.Пусть М — точка пересечения диагоналей параллелограммаABCD. Проведем через М прямую, параллельную прямым АА1,ВВ1, СС1 и DD1.Она пересечет данную плоскость в точке М1, так как если однапрямая пересекает плоскость, то и параллельная ей прямая пересекает плоскость.
Пусть DD1 = х. MM1 – средняя линия трапецииACC1A1, (следует из задачи 5). Но с другой стороны MM1 – средняя1(ВВ1 + DD1). Тогдалиния трапеции DD1B1B. Так что ММ1 =2АА1 + СС1ВВ1 + DD1=, то есть DD1 = AA1 + CC1 – BB1. Тогда:221) DD1 = 2 + 8 –3 = 7 (м);2) DD1 = 4 + 1 – 3 = 2 (м);3) DD1 = a + c – b.9.Прямые а и b не лежат в одной плоскости.
Можноли провести прямую с, параллельную прямым а и b?Если с параллельна а и b, то прямые параллельные (по теореме17.2), а следовательно, лежат в одной плоскости, что противоречитусловию. Так что нельзя.10. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины15отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.Пусть a – прямая, проходящая через середины AB и BC, а b —прямая, проходящая через середины CD и AD. Тогда в ∆АВС: прямая а — средняя линия в ∆ADC: прямая b — средняя линия. Такчто прямая а параллельна АС, и прямая b параллельна АС, а, значит, прямые а и b параллельны. Что и требовалось доказать.11.
Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).Задача решена в учебнике п. 142 стр. 13.12. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD,AD и BC, пересекаются в одной точке.Пусть точки M, N, K, L, P, Q — середины отрезков AB, BC, CD,AD, BD, AC соответственно.16Из задачи №11 получаем, что отрезки МК и NL являются диагоналями параллелограмма MNKL с вершинами в серединах сторон четырехугольника ABCD. Значит, МК и NL пересекаются в некоторойточке O и делятся этой точкой пополам. Также отрезки PQ и NL являются диагоналями параллелограмма PNQL с вершинами в серединах сторон четырехугольника ABCD, образованного этими сторонами.
Значит, PQ и NL пересекаются и в точке пересечения делятсяпополам, а так как O — середина NL, то, значит, O — середина PQ. ИPQ и NL пересекаются в точке O. Так что искомые прямые MK, NL иPQ, соединяющие середины отрезков AB и CD, BC и AD, AC и BDсоответственно пересекаются в одной точке O, что и требовалось доказать.13. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельнаяпрямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС — в точке В1.Найдите длину отрезка А1В1, если:1) АВ = 15 см, АА1 : АС = 2 : 3;2) АВ = 8 см, АА1 : А1С = 5 : 3;3) В1С = 10 см, АВ : ВС = 4 : 5;4) АА1 = а, АВ = b, А1С = с.Так как AB параллельна плоскости, то AB || A1B1, так как A1B1 лежит в плоскости. А, значит, ∆ABC ~ ∆A1B1C1 (по двум углам).
Тогда:A CAC − AA1A1C A1B1)=, A1B1 = AB ⋅ ( 1 ) = AB ⋅ (=ACACACABAA12) = 15(1 − ) = 5 (см);= AB(1 −AC3A 1C + AA1ACABAB58,, 1+ =,==2)A 1C A 1 B1A 1CA 1 B13 A 1 B11)A1B1 = 8 :8= 3 (см);3173)А1В1 АBAB ⋅ B1C 10 ⋅ 4=, A 1 B1 === 8 (см);BC5В1С BC4)AC = AA1 + A 1C = a + c. ДалееA 1 B1 =A 1 B1 AB,=A 1C ACAB ⋅ A 1Cbc.=ACa+c14. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихсяплоскостей.МПусть данные плоскости пересекаются по прямой AB. Проведемчерез точку M прямую, параллельную прямой АВ. Она единственная (теорема 17.1). Это и будет искомая прямая.15. Докажите, что если плоскость пересекает одну издвух параллельных прямых, то она пересекает идругую.Задача решена в учебнике п.
143 стр. 13.16. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.18Пусть а и b скрещивающиеся прямые. Через любую точку напрямой а проведем через прямую b1 параллельную прямой b. Тогдапрямые а и b1 образуют плоскость α. По теореме 17.3 она будет параллельна прямой b. Что и требовалось доказать.17. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α попараллельным прямым, то прямая а параллельнаплоскости α.Пусть плоскости β и γ пересекаются по прямой а и пересекаютплоскость α по параллельным прямым b и с. Если прямая а не параллельна плоскости α, то она пересекает плоскость α в некоторойточке А.
Тогда точка А принадлежит всем трем плоскостям α, β и γ,а, значит, и прямым b и с. Таким образом, прямые b и с имеют общую точку А, что противоречит условию. Так что a параллельна α,что и требовалось доказать.18. Докажите, что если прямая пересекает одну издвух параллельных плоскостей, то она пересекаети другую.Допустим плоскости α и β параллельны, а прямая с пересекаетплоскость α в точке А.19Предположим, что эта прямая не пересекается с плоскостью β.Возьмем в плоскости β точку В и проведем плоскость γ через прямую с и точку В.
Плоскость γ пересекается с плоскостями α и β попараллельным прямым а и b (теорема 17.6). Но по предположению,прямая с параллельна плоскости β, а поэтому прямая с параллельнаи прямой b (теорема, обратная теореме 17.3).Получилось, что в плоскости γ через точку А к прямой bпроведены две различные параллельные прямые а и с, что противоречит аксиоме.
Значит предположение неверно и c пересекает β.19. Докажите, что через две скрещивающиеся прямыеможно провести параллельные плоскости.Задача решена в учебнике п. 144 стр. 14.20. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно?Пусть а и b — скрещивающиеся прямые, М — данная точка. Искомая прямая х вместе с каждой из этих прямых а и b определяетплоскость (аксиома 3).Пусть α и β – это плоскости.Плоскости α и β однозначно определяются точкой M и прямымиa и b (теорема 16.1). Наоборот плоскости α и β, которые мы можемпостроить по точке М и прямым а, b в пересечении дадут прямую х.Если прямая х пересекает прямые а и b, то х — искомая прямая.
Если х будет параллельна прямым а и b, то, значит, решения не существует. Это будет если точка М принадлежит плоскости, проведенной через прямую b параллельно прямой а или же если точка Млежит в плоскости, проведенной через прямую а параллельно прямой b. Если же точка М лежит на прямой а, на прямой b, то можнопровести бесконечно много прямых, удовлетворяющих условию задачи.2021. Докажите, что геометрическое место серединыотрезков с концами на двух скрещивающихсяпрямых есть плоскость, параллельная этим прямым.Пусть середина отрезка AB – точка M, где A и B принадлежатскрещивающимся прямым a и b.
Проведем через прямые a и b параллельные плоскости α и β, а через точку M проведем плоскость γпараллельно плоскостям α и β. Тогда все рассматриваемые середины отрезков принадлежат плоскости γ. Что и требовалось доказать.22. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость,параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма.Допустим некоторая плоскость α параллельна прямым АВ и СD.Согласно утверждению: если плоскость β, проходит через прямую а, параллельную другой плоскости α, и пересекает эту плоскость по второй прямой b, то прямые а и b параллельны. Из параллельности прямой АВ и плоскости α следует, что плоскости21определенные тремя точками АВС и ABD пересекают плоскость αпо прямым а и b, параллельным прямой АВ. Из теоремы 17.2 следует, что прямые а и b параллельны.Из параллельности прямой CD и плоскости α следует, что плоскости ACD и BCD пересекают плоскость α прямым с и d параллельным прямой CD, а, значит, c||d.
Каждая из точек пересеченияплоскости α с прямыми АС, AD, BD, ВС лежат в плоскости α и является точкой пересечения каких-то двух не параллельных из прямых а, b, c, d. Например, точка пересечения прямой АС с плоскостью α принадлежит плоскостям АВС и ACD, а значит являетсяточкой пересечения прямых b и с, где b и с — прямые пересеченияплоскости α с плоскостями АВС и ACD соответственно.Так как прямые а и b, с и d попарно параллельны, то построенная по условию задачи фигура есть параллелограмм.
Что и требовалось доказать.23. Плоскости α и β параллельны плоскости γ. Могутли плоскости α и β пересекаться?Задача решена в учебнике п. 145 стр. 15.24. Плоскости α и β пересекаются. Докажите, что любая плоскость γ пересекает хотя бы одну из плоскостей α, β.Если бы плоскость γ не пересекалась ни с одной из плоскостей α,β, то плоскости α и β были бы параллельны плоскости γ, а значит имежду собой, что противоречит условию задачи (так как α и β пересекаются).
Получаем, что плоскость х пересекает хотя бы одну изплоскостей α или β, что и требовалось доказать.25. Докажите, что все прямые, проходящие черезданную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.122Пусть B — данная точка и α — данная плоскость. Проведем через точку В плоскость β, параллельную плоскости α.Пусть b произвольная прямая, проходящая через точку B, параллельно α. Возьмем в плоскости α произвольную точку А и проведемчерез точку А и прямую b плоскость γ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
