pogorelov-gdz-10-2001z (546200), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В ∆АВС:АВ = 3см, ВС = 7см, значит, АС2 = ВС2 − АВ2 = 49 – 9 = 40 (см).Далее в ∆ACD:CD2 = АС2 + AD2 = 40 + 2,25 = 42,25 (см2), тогда CD = 6,5 (см).2. В ∆ABD:АВ2 = DB2 − AD2 = 81 – 25 = 56 (см2).Далее в ∆АВС:АС2 = ВС2 − АВ2 = 256 − 56 = 200 (см2); АС2 = 200см2.Далее в ∆CAD:DC2 = АС2 + AD2 = 200 + 25 = 225 (см2), то есть DC = 15см.3. В ∆САВ : АС2 = ВС2 − АВ2, то есть AС2 = а2 − b2.Далее в ∆CAD : CD2 = АС2 + AD2 = (а2 − b2) + d2, значит,CD = a 2 - b 2 + d 2 .4.
В ∆ADB : АВ2 = DB2 − AD2 = с2 − d2.Далее в ∆АВС : АС2 = ВС2 − АВ2 = а2 −(с2 − d2).И в ∆ACD : DC2 = АС2 + AD2 = (а2 − с2 + d2) + d2, тогдаDC = a 2 - c 2 + 2d 2 .4.32Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника А1В1С1D1 соответственно параллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.Так как пары сторон AB и BC и А1В1 и B 1C1 параллельны по условию, то ∠АВС = ∠А1В1С1 — так как это углы с сонаправленнымисторонами. Значит, ∠АВС = 90°.Аналогично доказывается, что ∠BCD, ∠CDA, ∠DAB так жеравны 90°.Таким образом четырехугольник ABCD — прямоугольник. Чтои требовалось доказать.5.Докажите, что через точку, не лежащую в даннойплоскости, нельзя провести более одной прямой,перпендикулярной этой плоскости.Допустим, что прямые а и b, проходящие через точку С, перпендикулярны не проходящей через точку С плоскости α.
Пустьони пересекают плоскость α в точках А и В. Но тогда эти точкидолжны совпасть, иначе получится ∆АВС с двумя прямыми углами, что не может быть. Прямые а и b имеют две общие точки Си А, так что и по аксиоме I2 эти прямые должны совпасть.
Что итребовалось доказать.6.Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярнаяплоскости треугольника. Докажите, что каждаяточка этой прямой равноудалена от вершины треугольника.Пусть АВС — данный треугольник, О — центр описанной околотреугольника окружности, Х — любая точка на перпендикулярной∆АВС прямой.33Тогда поскольку О – центр описанной окружности, то ОА = ОВ= =ОС = R. Тогда XA = XB = XC – как наклонные с равными проекциями. Что и требовалось доказать.7.Через вершину А прямоугольника ABCD проведенапрямая АК, перпендикулярная его плоскости.
Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК.Пусть ABCD — прямоугольник, АК ⊥ ABCD. Значит КС = 9м;пусть КВ = 7м, KD = 6м.∠КВС = 90° (по теореме о трех перпендикулярах), поэтому ВС2= =КС2 − КВ2 = 92 − 72 = 32 (м2) (по теореме Пифагора).Далее AD2 = ВС2 (так как ABCD — прямоугольник).
ПосколькуKA⊥AD , тоАК = KD 2 − AD 2 = 36 - 32 = 4 = 2 (м).8.34Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин Ви С, если АС = а, ВС = b, AD = с.AD⊥АВС, а, значит, треугольник CAD — прямоугольный. ТогдаDC2 = AD2 + АС2 = а2 + с2; DC = a 2 + c 2 .∆АВС — прямоугольный (по условию). По теореме Пифагораполучаем, что:АВ2 = АС2 + ВС2 = а2 + b2.Далее ∆DAB — прямоугольный, так что DB2 = AD2 + АВ2 == с2 + а2 + b2; DB = a 2 + b 2 + c 2 .9.Докажите, что через данную точку прямой можнопровести одну и только одну перпендикулярнуюей плоскость.Задача решена в учебнике п.
150, стр. 26.10. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Докажите, чтопрямая b лежит в плоскости β.Проведем через прямые а и b плоскость α. Она пересечет плоскость β по прямой b1, перпендикулярной прямой а. Так как b1 лежитв β. В плоскости α прямые b и b1 должны совпадать как две перпендикулярные к прямой a прямые, проходящие через одну точку. Значит прямая b лежит в плоскости β, что и требовалось доказать.3511.
Докажите, что через данную точку плоскостиможно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.Задача решена в учебнике п. 150 стр. 26.12. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α.Задача решена в учебнике п. 151 стр. 27.13. Через вершину квадрата ABCD проведена прямаяВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что:1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямыхАВ и ВМ;2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямыхВС и ВМ.•••1) В плоскости АВМ проведем АА1 || ВМ.
Тогда АА1 ⊥ AD (попризнаку перпендикулярности прямых). АВ ⊥ AD (по условию),значит, AD перпендикулярна плоскости АВМ (по теореме 18.2).2) В плоскости МВС проведем СС1 || ВМ. Тогда CD ⊥ СС1 (попризнаку перпендикулярности прямых). CD ⊥ СС1 и CD ⊥ ВС (поусловию), значит, CD перпендикулярна плоскости МВС (по теореме18.2). Что и требовалось доказать.14.
Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С иD соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м иотрезок АВ не пересекает плоскость α.36Проведем ВЕ || DС, тогда BE ⊥ AC. Так чтоЕС = BD = 2 м. Значит, АЕ = АС − ЕС = 3 – 2 = 1 (м).Далее, ВЕ = DC = 2,4 м. И в ÄABE по теореме Пифагора.АВ = АЕ 2 + ВЕ 2 = 12 + 2,42 = 2,6 (м).15. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов,удаленных на расстояние 3,4м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого —3,9 м. Найдите длину перекладины.Проведем КС ⊥ АВ.Тогда CD = АК = 3,9 м, так чтоВК = АВ − АК = 5,8 − 3,9 = 1,9 (м).Далее AD = КС = 3,4 м.Поэтому в ÄBKC по теореме Пифагора получаем:ВС = ВК 2 + КС2 = 1,92 + 3,4 2 = 1517, ≈3,9 (м).16. Телефонная проволока длиной 15 м протянута оттелефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м, от поверхности земли, к дому, где ееприкрепили на высоте 20 м.
Найдите расстояниемежду домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.37Проведем ВЕ ⊥ CD. Тогда АВ = DE = 8 м, иСЕ = CD − ED = 20 – 8 = 12 (м).Далее в ÄBCE по теореме Пифагора получаем:ВЕ = BC 2 - CE 2 = 225 + 144 = 81 = 9 (м).17. Точка А находится на расстоянии а от вершинравностороннего треугольника со стороной а.Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.Пусть ÄBCD — равносторонний. Проведем АН ⊥ (BCD).Так как АВ = АС = AD = а, то проекции наклонных также равны,то есть:НВ = НС = HD.Значит, Н — центр описанной около ∆BCD окружности, радиускоторой НВ = R =BC3=a3.Далее так как АН ⊥ (BCD), то треугольник АНВ прямоугольный.38И по теореме Пифагора получаем:АН = АB 2 - HB 2 = a 2 -a22=а.3318. Из точки S вне плоскости α проведены к ней триравные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO.Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС.Так как наклонные SA, SB, SC равны, то их проекции ОА, ОВ,ОС также равны, а это значит, что точка О — центр описанной около треугольника АВС окружности.
Что и требовалось доказать.19. Стороны равностороннего треугольника равны3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии2 м от каждой из его вершин.Проведем АН ⊥ (BCD). Так как АВ = АС = AD = 2 м, то проекции этих наклонных также равны: НВ = НС = HD. Значит, Н —центр описанной около ∆BCD окружности, так чтоНВ = R =BD3=3= 3 (м).339Далее так как АН⊥(BCD), то треугольник АНВ прямоугольный,поэтому: АН = АВ2 - НВ2 = 4 - 3 = 1 (м).20.
В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите эторасстояние.Пусть АН высота равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС и равными сторонами АВ = АС. Нарисуем ∆АВС на плоскости (1) и на проекционном чертеже (2). Пусть P данная точка.Так как точка Р равноудалена от точек А, В, С, т.е. РА = РВ ==РС, то проекция О точки Р на плоскость АВС — центр описаннойоколо ∆АВС окружности.
Значит, точка О лежит на серединномперпендикуляре к стороне ВC, т.е. на прямой АН.Рассмотрим ∆ОВН. По теореме Пифагора:ОВ2 = ВН2 + ОН2; ВН = ВС : 2 = 2 м, а OB = R, тогдаОН = АН − АО = 4 – R, получаем:R2 = 22 + (4 − R)2; R2 = 4 + 16 – 8R + R2;8R = 20; R = 2,5 м.Далее в ÄPOC по теореме Пифагора:РС2 = РО2 + ОС2 = 6 + 2,52 = 36 + 6,25 = 42,25, тогдаРС = 42,25 = 6,5 (м).4021.
Расстояния от точки А до вершин квадрата равныа. Найдите расстояние от точки А до плоскостиквадрата, если сторона квадрата равна b.Пусть АО перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость квадрата. Поскольку AB = AC = AD = AF, то и OB = OC ==OD = OF и, значит, О — точка пересечения диагоналей.
Тогда12OF = CF =b 2. Далее треугольник AOF — прямоугольный. Так2что22АО = AF 2 − OF 2 = a 2 − b 2 = a 2 − b . 2 222. Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из даннойточки к плоскости.Пусть S — данная точка, SO — перпендикуляр к плоскости α,b — длина наклонных.
Поскольку каждая наклонная из точки Sимеет одинаковую длину, то расстояния от точки О до основанийвсех наклонных будут одинаковы. Поэтому искомое геометрическое место точек — это окружность в данной плоскости с центром вточке О и радиусом R = b 2 - SO 2 .4123. Из точки к плоскости проведены две наклонные,равные 10см и 17см. Разность проекций этих наклонных равна 9см. Найдите проекции наклонных.Пусть SA и SB – данные диагонали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
