pogorelov-gdz-10-2001z (546200), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда плоскость γ пересекаетплоскости α и β по параллельным прямым а1 и b1, но прямая b1 проходит через точку В, а прямая b тоже лежит в плоскости γ, и проходит через точку В и по теореме 17.3 (обратной) параллельна прямойа1. Тогда по аксиоме прямые b и b1 должны совпадать, поэтомупрямая b лежит в плоскости β, что и требовалось доказать.26. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых.Всегда ли это возможно?Проведем через данную точку А прямые а1 и b1, параллельныеданным прямым а и b, (теорема 17.3).
Прямые a1 и b1 определяютискомую плоскость α.Эту плоскость можно построить, только, при условии, если точка А не лежит в плоскости, образованной прямыми а и b.27. Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разныхплоскостях. Докажите, что четырехугольник,CDD1C1 тоже параллелограмм.23Противолежащие стороны параллелограммов параллельны иравны, поэтому CD = АВ = С1D1. Получаем, что прямые CD и С1D1параллельны прямой АВ и, следовательно, параллельны между собой (теорема 17.2).
Значит четырехугольник CC1D1D это параллелограмм. Что и требовалось доказать.28. Через вершины параллелограмма ABCD. лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1, D1. Докажите,что четырехугольник А1В1С1D1 тоже параллелограмм.По свойству параллельных плоскостей и теореме 17.2, получаемчто:А1В1 || АВ || CD || С1D1, а также А1D1 || АD || ВС || В1С1. ПоэтомуА1В1С1D1 — параллелограмм (по определению).
Что и требовалосьдоказать.29. Через вершины треугольника АВС, лежащего водной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторуюплоскость в точках А1, В1, С1. Докажите равенствотреугольников АВС и А1В1С1.24По свойству параллельных плоскостей AC||A1C1, BC||B1C1 иAB||A1B1. Также AA1||BB1||CC1. Так что четырехугольники АА1В1В,ВВ1С1С, СС1А1А параллелограммы (их противолежащие стороныпопарно параллельны). Так как у параллелограмма противолежащиестороны равны, то АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1.
Значит, треугольники АВС и А1В1С1 равны по трем сторонам (3-й признак равенства треугольников). Что и требовалось доказать.30. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1.Пусть О — данная точка.Рассмотрим пары треугольников ОА1В1 и ОАВ, ОВ1С1 и ОВС,ОС1А1 и ОСА.Так как плоскости α и β параллельны, то эти треугольники подобны.Из подобия следует, что:OB1A BOA1 B1C1 OB1 OC1;= 1 1 ===;OBBCOBOCABOAO1C1 OA1 A1C1.==OCOAAC25Из этих пропорций получаем, чтоA1B1 A1C1 B1C1. А зна==ABACBCчит, по признаку подобия треугольников (по трем сторонам)::∆АВС∼∆А1В1С1.
Что и требовалось доказать.31. Докажите, что если четыре прямые, проходящиечерез точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любуюплоскость, параллельную α и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.Пусть А — данная точка, ВСDЕ — данный параллелограмм.Рассмотрим плоскости ВАС, САD, DAE, ЕАВ.По теореме о пересечении двух параллельныхплоскостейтретьей:ВС||В1С1, CD||С1D1, ED||Е1D1, ВЕ||В1Е1.Так что B1C1||BC||ED||E1D1, то естьB1C1||E1D1 и B1E1||BE||CD||C1D1, то естьB1E1||C1D1.А, значит, В1С1D1Е1 — такжепараллелограмм.
Что и требовалосьдоказать.32. Даны две параллельные плоскости. Через точки Аи В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а?Проведем через прямые АА1 и ВВ1плоскость. Она пересекает плоскости αи β по параллельным прямым АВ иА1В1. А значит четырехугольникАА1ВВ1 — параллелограмм, так какAB||A1B1 и AA1||BB1.
У параллелограммапротиволежащие стороны равны, поэтому АВ = А1В1 = а.33. Даны две параллельные плоскости α1 и α2 и точкаА, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через т. А проведена произвольная прямая. Пусть Х126и Х2 — точки пересечения ее с плоскостями α1 иα2. Докажите, что отношение длины отрезковАХ1 : АХ2 не зависит от взятой прямой.Задача решена в учебнике п. 146 стр. 16.34. Точка А лежит вне плоскости α, Х — произвольная точка плоскости α, Х1 точка отрезка АХ, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек Х1 есть плоскость, попараллельная плоскости α.Возьмем в плоскости α произвольную точку Х, построим соответствующую точку Х1 (АХ1 : ХХ1 = m : n) и проведем через точкуХ1 плоскость β, по параллельную α. Докажем, что плоскость β —соответствующее геометрическое место точек.1) Для любой точки Y плоскости αточкаY1пересеченияпрямойАY1 : Y1Y = АХ1 : Х1Х = m : n, отсюдаследует, что любая точка плоскости βудовлетворяет данному условию.2) Если для точки Y плоскости αточка Y2 делит отрезок АY в отношении m : n, то из соотношения пункта 1следует, что точка Y2 совпадает с точкой Y1 и поэтому принадлежит плоскости β.Два указанных утверждения означают, что рассматриваемое геометрическое место точек есть параллельная плоскости α плоскость β.35.
Даны три параллельные плоскости α1, α2, α3.Пусть Х1, Х2, Х3 — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х1Х2 : Х2Х3 не зависит отпрямой, т.е. одинаково для любых двух прямых.Предположим, что другая прямая пересекает плоскости α1, α2, α3 в точках Y1, Y2, Y3.Через точку Х1 проведем прямую параллельную второй прямой и пересекает плоскостиα2 и α3 соответственно в точках Z2 и Z3. Из27задачи 33 следует, чтоХ1Х 2 Х1Z2=(из подобия треугольниковХ 2 Х 3 Z2 Z3Х2Х1Z2 и Х3Х1Z3).По свойству отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, Х1Z2 = Y1Y2 и Z2Z3 = Y2Y3, поэтомуХ1Х 2YY= 1 2 , т.е. величина постоянная.Х 2 Х3 Y2 Y336. Даны четыре параллельные прямые.
Докажите,что если какая-нибудь плоскость пересекает этипрямые в вершинах параллелограмма, то любаяплоскость, не параллельная этим прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.Пусть а, b, с, d — данные прямые, и плоскость α пересекает этипрямые в вершинах параллелограмма ABCD.Пусть другая плоскость пересекает эти прямые в точках А1, В1,С1, D1 соответственно. Плоскости АВВ1А1 и СDD1С1, параллельны,поскольку прямые АВ и CD, и прямые а и d параллельны. А, значит,плоскость β пересекает эти плоскости по параллельным прямымА1В1 и С1D1.Аналогично устанавливается параллельность прямых В1С1 и А1D1.Так что А1В1С1В1 — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.37. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?Задача решена в учебнике п. 147 стр. 18.38. Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника?28Проекция средней линии треугольника изобразится средней линией проекции треугольника, так как середины отрезков проектируются в середины проекций этих отрезков.39. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объяснитеответ.Не может, так как при параллельном проектировании параллельные прямые переходят в параллельные прямые, а значит, параллельной проекцией параллелограмма не может быть трапеция.40.
Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?Докажем, что может. Построим квадрат ABCD в плоскости α, ипроведем через прямую АВ плоскость β, отличную от плоскости α.Построим в плоскости β параллелограмм АВС1D1.Рассмотрим четырехугольник СDD1С1 — это параллелограмм.Так как CD||AB||C1D1 и CD = AB = C1D1, поэтому DD1 || СС1. Получили, что при проектировании параллелограмма АВС1D1 на плоскость α параллельно прямой СС1, получился как раз квадрат ABCD.41. Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.Проекция центра симметрии фигуры будет являться центром симметрии проекции этой фигуры, так как при параллельном проектировании середина отрезка перейдет в середину его проекции.
Что и требовалось доказать.2942. Дана параллельная проекция окружности и еедиаметра. Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?Диаметр, перпендикулярный данному, делит пополам любуюхорду, параллельную данному диаметру. Так что проведем хордуCD, параллельную данному диаметру АВ, и найдем середину Мэтой хорды. Тогда прямая ОМ, где О — центр окружности содержит перпендикулярный АВ диаметр.30§17.
Перпендикулярность прямыхи плоскостей1.Докажите. что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ейпрямую.Задача решена в учебнике п. 148, стр. 24.2.Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.Проведем через прямую а две различные плоскости α и β. Вэтих плоскостях через любую точку М проведем перпендикулярныек данной прямой прямые с и b. Они различны, так как лежат в разных плоскостях. Таким образом через любую точку М прямой aможно провести 2 разные перпендикулярные к a прямые.3.Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны.Найдите отрезок CD, если:1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;2) BD = 9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см;3) АВ = b, ВС = а, AD = d;4) BD = с, ВС = а, AD = d.31Так как прямые АВ, АС, AD попарно перпендикулярны, то ониобразуют 3 прямоугольных треугольника, со смежными сторонами.Тогда:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
