pogorelov-gdz-10-2001z (546200), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Найдите расстояние от точки пересечениядиагоналей параллелограмма до этой плоскости.52Пусть ABCD и α данные параллелограмм и плоскость. Проведемперпендикуляр СС1 на плоскость α. Тогда СС1 = a. М — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Проведем ММ1 — перпендикуляр к плоскости α. Тогда MM1||CC1.∆АМ1М подобен ∆АС1С. ПоэтомуАМ ММ 1=.АCCC1Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам так чтоAM 111= . Поэтому MM 1 = ⋅ CC1 = a.AC 22241. Из вершины квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этогоперпендикуляра до других вершин квадрата равныа и b (а < b). Найдите длину перпендикуляра исторону квадрата.Пусть SA – данный перпендикуляр. Тогда SB = SD = a (так какравные наклонные имеют равные проекции). АВ ⊥ ВС (стороныквадрата).
SB ⊥ ВС (по теореме о трех перпендикулярах).Значит, ∆SBC — прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:ВС2 = SC2 − SB2 = b2 − а2, так чтоАВ = AD = CD = BC = b 2 - a 2 .SA ⊥ AB (по условию), так что53SA2 = SB2 − АВ2; а2 − (b2 − а2) = 2a 2 − b 2 , так чтоSA = 2a 2 - b 2 .42. Из вершины прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояние от концаэтого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, b, с (а < c, b < c).
Найдитедлину перпендикуляра и стороны прямоугольника.Пусть SA – данный перпендикуляр. Тогда SD, SC и SB — наклонные, SD = b, SC = c, SB = a.∆SDC = 90° (теорема о 3-х перпендикулярах). Так что ∆SDC —прямоугольный. ПоэтомуDC2 = SC2 − SD2 = c 2 − b 2 , так чтоDC = c 2 - b 2 ; DC = АВ — стороны прямоугольника.По теореме Пифагора в ∆SAB:SA2 = SB2 − АВ2 = а2 − (с2 − b2) = а2 + b2 − с2, так чтоSA = a 2 + b 2 - c 2 .Далее ∆SBC — прямоугольный по теореме о трех перпендикулярах, поэтомуВС2 = SC2 − SB2 = с2 − а2. Так чтоAD = ВС = c 2 - a 2 .43.
Из данной точки к плоскости проведены две наклонные длиной 2 м. найдите расстояние от точкидо плоскости, если наклонные образуют угол 60°,а их проекции перпендикулярны.54Проведем SO – перпендикуляр к плоскости. Тогда наклонныеSA = SB = 2м. ∠ASB = 60°.Равные наклонные имеют равные проекции, значит, АО = ОВ.Так как угол ∠ASB = 60°, то ∆ASB — равносторонний, а, значит, АВ = AS = SB = 2м.Далее АО ⊥ ОВ (по условию), ∆АОВ — равнобедренный и прямоугольный.Так что ∠ОАВ = ∠ОВА = 45°.
А, значит,BO = АО = АВ·cos45° = 2·2= 2 (м).2Далее по теореме Пифагора в ∆AOS:SO = AS2 − AO 2 = 4 − 2 = 2 (м).44. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные60°.Пусть SA = SB данные наклонные, SO — перпендикуляр к плоскости, SO = 1м.
∆AOS = ∆BOS — прямоугольные, (по гипотенузе и55острому углу) ∠ASO = 60° и ∠BSO = 60°, а, значит, ∠SAO ==∠SBO=30°. Поэтому:SO =11SA = SB. Так что SB = SA = 2м.22По условию SA ⊥ SB, тогда, по теореме Пифагора, получаем:АВ = SА 2 + SB 2 = 4 + 4 = 8 = 2 2 (м).45. Через центр вписанной в треугольник окружностипроведена прямая, перпендикулярная плоскоститреугольника.
Докажите, что каждая точка этойпрямой равноудалена от сторон треугольника.Задача решена в учебнике п. 153 стр. 30.46. К плоскости треугольника из центра вписанной внего окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние отконца этого перпендикуляра до сторон треугольника.Пусть O –центр вписанной окружности, а OS – данный перпендикуляр. Тогда r = АО = ОВ = ОС = 0,7 м., где точки А,В,С — точкикасания сторон треугольника с окружностью.По теореме о трех перпендикулярах SA ⊥ MN.Тогда по теореме Пифагора в ∆AOS:SA = SO 2 + AO 2 = 2,4 2 + 0,7 2 = 6,25 = 2,5 (м).47.
Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сто56рон — 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.Пусть S — данная точка, и SO – перпендикуляр.Тогда SO =1,1 м, расстояние от данной точки до плоскости треугольника. SB,SC, SA — наклонные; перпендикуляры к сторонам треугольника.Тогда АО = ВО = СО как проекции равных наклонных. По теоремео трех перпендикулярах АО, ВО, СO перпендикулярны сторонамтреугольника. Значит O – центр вписанной окружности в треугольник и r = AO = OB = OC.По теореме Пифагора в треугольнике SOB:ОВ = SO 2 − SO 2 = 6,12 − 1,12 = 36 = 6 (м).48.
Из вершины равностороннего треугольника АВСвосстановлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см.Проведем DК ⊥ ВС, тогда по теореме о трех перпендикулярахAK ⊥ ВС. DK — искомое расстояние. Так как AK – высота, то AK –медиана ( ∆ABC — равносторонний), поэтому ВК = 3 см.
По теореме Пифагора в ∆ABK :57АK = АB2 − BK 2 = 6 2 − 3 2 = 27 (м).Аналогично в ∆DAK по теореме Пифагора:DK = АD2 + АK 2 = 13 2 + 27 = 196 = 14 (м).49. Через конец А отрезка АВ длины b проведенаплоскость, перпендикулярная отрезку, и в этойплоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние отточки А до прямой равно а.BA — перпендикуляр к плоскости α, тогда BA ⊥ AA1, гдеAA1 — расстояние от точки A до прямой с в плоскости α иAA1 ⊥ с. По теореме о трех перпендикулярах BA1 ⊥ a.Значит, BA1 и есть расстояние от точки B до прямой a.По теореме Пифагора в ∆ABA1 :BA12 = BA2 + AA12 = b2 + a2, так чтоBA1 =a 2 + b2 .50. Расстояния от точки А до всех сторон квадратаравны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.58EПусть А — данная точка.
АО — искомое расстояние, то есть AO– перпендикуляр. Наклонные АК = АЕ; ОЕ, ОК — проекции равныхнаклонных, а значит, ОЕ = ОК.Далее по теореме о трех перпендикулярах ОЕ и ОК — перпендикулярны к сторонам квадрата. Значит, О — центр вписанной окружности. То есть О – точка пересечения диагоналей.Тогда, ON =d(по свойству диагоналей квадрата), и по теореме2Пифагора в треугольнике OKN:EOK = ON ⋅ sin∠NOK = ON·sin45° =2dd·=.2 22 2Далее в треугольнике АОК по теореме Пифагора:АО = АK 2 − OK 2 = a 2 −d2.851.
Точка М, лежащая вне плоскости данного прямогоугла, удалена от вершины угла на расстояние а, аот его сторон на расстояние b. Найдите расстояние от точки М до плоскости угла.59Пусть α — плоскость данного прямого угла BAD. ТогдаМВ = MD = b (перпендикуляры к сторонам угла), МА = а, и МС —перпендикуляр к плоскости α.Далее по теореме о трех перпендикулярах ВС ⊥ АВ, CD ⊥ AD,причем как проекции равных наклонных BC = CD. Значит,ABCD — квадрат со сторонами:СD=ВС = АВ = AD = a 2 - b 2 (По теореме Пифагора в ∆AMD ).В треугольнике DCM имеем:МС = DM 2 − DC 2 = b 2 - (a 2 - b 2 ) = 2b 2 - a 2 .52. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 ми боковой стороной 5 м.
Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.Пусть SO — данный перпендикуляр, K, M, N — точки касаниясторон треугольника с окружностью. Тогда по теореме о трех пер60пендикулярах SK⊥ВС, SN⊥AB, SM⊥OM. Так что SK = SM = SN –искомое расстояние.Далее SАВС = р·r, p =р=AB + BC + AC.25+ 6+ 5= 8(м); Так что S = 8r ( м 2 ).2Далее S =1BM ⋅ AC, но2BM = BC 2 − MC 2 = 25 − 9 = 4 (м).1·6·4 = 12 (м2).
То есть28r = 12 и r = OK = 1,5 (м).Далее из ∆SOK :Так что S =SK = SO 2 + OK 2 = 4 + 2,25 = 6,25 = 2,5 (м).53. Из вершины прямого угла С треугольника АВСвосставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АВ= а, ВС=b, CD= c.Пусть CD – перпендикуляр к плоскости треугольника, а СК ⊥АВ (высота треугольника).Тогда по теореме о трех перпендикулярах DK ⊥ АВ. То есть DK– искомое расстояние. Далее АС = AB 2 − BC 2 =SАВС =a2 -b2 ;11AB⋅CK = AC⋅ВС.2261a 2 - b 2 ·b.aAC ⋅ CB=ABДалее в ∆CDK :Так что CK =2 a2 − b2 ⋅ b =DK = CD + CK = c + a2= c2 +2a 2b 2 − b 4a22= c2 + b2 −b4a2.54.
Даны прямая а и плоскость α. Проведите черезпрямую а плоскость, перпендикулярную плоскости α.Задача решена в учебнике п. 154 стр. 31.55. Даны прямая а и плоскость α. Докажите, что всепрямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости α.Возьмем любую точку А на прямой а, и проведем через нее прямую b ⊥ α. Плоскость β, образованная прямыми а и b, пересекает αпо прямой с и b ⊥ с.
Плоскости α и β перпендикулярны. Так как b ⊥ αи β содержит b. Любая прямая перпендикулярная α – должна быть параллельна b. А так как она пересекает а, то лежит в β. Что и требовалось доказать.56. Из вершин А и В равностороннего треугольникаАВС восстановлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 кплоскости треугольника. Найдите расстояние от62вершины С до середины отрезка А1В1, еслиАВ = 2 м, СА1 = 3 м; СВ1 = 7 м и отрезок А1В1 непересекает плоскость треугольника.Проведем CK ⊥ AB и К1К параллельно АА1 и ВВ1. Тогда искомое расстояние — СК1.АА1 || КК1 || ВВ и лежат в одной плоскости. Значит ВВ1А1А —трапеция, а КК1 — средняя линия трапеции, так как CK – медиана ивысота.
ТогдаКК1 =АА1 + BB1.2В ∆АА1С :АА1 =A1C 2 − AC 2 = 9 − 4 = 5 (м).В ∆В1ВС :ВВ1 =B1C 2 − BC 2 = 49 − 4 = 45 = 3 5 (м).Так что КК1 =В ∆К1КС :АА1 + ВВ15 +3 5= 2 5 (м).=22СК1 =KK 12 + KC 2 , ноКС = ВС·cos30° = ВС·33= 2·= 3 (м).22Так что СК1 = (2 5 ) 2 + ( 3 ) 2 = 20 + 3 = 23 (м).57. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 иВВ1 к плоскости треугольника.
Найдите расстояниеот вершины С до середины отрезка А1В1, еслиА1С=4 м, А1А=3 м, В1С = 6 м, В1В = 2 м и отрезокА1В1 не пересекает плоскости треугольника.63Пусть СК1 – искомое расстояние. Тогда СК1 = KK 1 2 + CK 2 (потеореме Пифагора), так как треугольник К1КС прямоугольный (КК1⊥АВ).Далее АА1 || КК1 || ВВ1 и лежат в одной плоскости, значит,АА1В1В — трапеция. Но тогда КК1 — средняя линия, так как К1 –середина А1В1.АА1 + ВВ1 5= = 2,5 (м);Так что КК1 =22Далее по теореме Пифагора в ∆В1ВС:ВС = B1C 2 - BB12 = 62 − 2 2 = 32 (м);в ∆А1АС:АС = А1C 2 - АА12 = 4 2 − 3 2 = 7 (м);тогда в ÄABC :AB = BC 2 + AC 2 = = ( 32 ) 2 + ( 7 ) 2 = 32 + 7 = 39 (м);1AB (радиус вписанной окружности), то есть2139 (м);СК =2CK =2 39 =далее, СК1 = (2,5) + 2 216 = 4 (м).58.
Докажите, что если прямая, лежащая в одной издвух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.Пустьαа ⊂ α, а ⊥ с.64⊥β,пересекаютсяпопрямойс,зать.Тогда проведем в плоскости β через точкуС пересечения прямых а и с прямую b перпендикулярно с. Тогда плоскость γ образованная прямыми а и b, перпендикулярна прямой с. Так как α ⊥ β (по условию), то а ⊥ b; а⊥ с. Так что а ⊥ β.
Что и требовалось дока59. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС иBD на прямую пересечения плоскостей. Найдитедлину отрезка АВ, если:1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м;2) АС = 3 м, BD = 4 м, СD = 12 м;3) AD = 4 м, ВС = 7 м, CD = 1 м;4) AD = ВС = 5 м, CD = 1 м;5) АС = а, CD = с, BD = b;6) AD = а, ВС = b, CD = с.Решим сначала пункт 5:5) Пусть плоскости α и β перпендикулярны, CD — прямая пересечения плоскостей, тогда АС⊥СВ и BD⊥AD. ТогдаВ ∆АСВ:АВ2 = АС2 + ВС2, но из ÄCDB следует, что:ВС2 = CD2 + BD2 = c 2 + b 2 .Так что АВ2 = АС2 + CD2 + BD2 = a 2 + b 2 + c 2 .То есть АВ = a 2 +b2 + c2 .Подставляя числа, получим решения пунктов 1 и 2:1) АВ2 = 62 + 72 + 62 = 36 + 49 + 36 = 121 (м2);АВ = 11 (м).2) АВ2 = 32 + 122 + 42 = 9 + 144 + 16 = 169 (м2);АВ = 13 (м).Решим пункт 6:656) АВ2 = АС2 + ВС2, ноАС2 = AD2 − CD2 (из ÄACD ), так чтоАВ = AD 2 − CD 2 + BC 2 = a 2 + b 2 − c 2 .4) AD = ВС = 5 м, CD = 1 м; подставляя числа получим:АВ =AD 2 − CD 2 + BC 2 =5 2 − 12 + 5 2 = 7 (м).3) AB = 16 + 49 − 1 = 64 = 8 (м).60.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
