Полезная книга (543702), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Условным законом распределения Ч ири заданном значении $ = хх назовем набор условных ве. роятностей (я=у! 1= х) Р(п=у!!е=хь)= Р ., 1=1,..., и; Р(й=хх) условным математическим ожиданием Ч при заданном значении $ = хх будет тогда сумма М(О11= А)=~.у!Р(Ч=у!15= .)= ! ! ') утР(т! = у!, $ = хх) К=.1 Мы можем считать М(!1~к=хе) значениями случайной величины М(т)~$), являющейся функцией от $ и равной М(н~~=хх) 'при а=хе.
Случайную величину М(т)~Д будем называть условным математическим ожиданием ~ри заданном $. От этой случайной величины можно вычислить математическое ожидание М(М(т)$В))= Х Р(В=хх) М(ОБ=ха). (29) А ! Т е о р е м а 5. Имеет место равенство М (М (Ч ~ $)) = Мт). До к а з а т е л ь с т в о. Подставляя в (29) значения условных математических ожиданий (28), имеем М(М(ч!и=Х Р(е= )М(ч!ь= )- Ь-! л ш Ш = Х Х у!Р(ч = у!, ь = ха) = Е у!Р (ч = у!» = мч. А-т!-! с-! Теорема доказана. Пример 4.
Пусть $!, $„..., $,— случайные ве. личины, имеющие одинаковые математические ожидания М$;, а т — независимая от ннх случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения. Определим сумму случайного числа случайных величин т1„= =е!+ ..; +Ь при ч~1, пт=О при т=О. Тогда Мч„= Ма! ° Мт. Эта формула доказывается с помо!цью (ЗО). Имеем пря любом т = си М (Ч !ч = н) = М Б~+ ° ° + В ) = н ° М$» т. е. М (Ч, !т) =т ° М$!. Отсюда получаем МЧ = М (М(т), !Ч)) = Мч М(!.
й 18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел Следующие два неравенства носят название неравенства Чебышева. Теорем а 6. Для любого х > О имеют место неравенства: Р(~~(~х)~ ~К! Р (!  — Мь ! -:. х) < —, 01 (32) Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычисляя математическое ,ожидание от обеих частей неравенства ) т~=~х~1!!тя:1+~~~11!т!<х1>~с ~1!!1!~.1>хт!!Еь ! получаем М~5!~хМ1,!,! „, =хР(1~~-:х».
В2 гл. 3. случАнные Величины 1конечнхя схемео А 1Ф. ИВВАВенства чеБышеВА. ЕАкан БОльших чисел вз Неравенство (32) получается из первого неравенства, если его применить к случайной величине»1 =(Š— М$)» и воспользоваться тем, что М»1 = 0$. Теорема доказана. Неравенство Чебышева (32) показывает, что при малой дисперсии 0$ е вероятностью, близкой к 1, случайная величина $ концентрируется около математического ожидания М$1 Р(!  — МВ! <х) =:1 — —,'. О» Неравенство Чебышева позволяет просто доказывать некоторые пределы1ые соотношения, в которых участвуют последовательности независимых случайных величин»»» В рассматриваемой в этой главе конечной схеме мы имеем право линн, утверждать, что любое конечное мно» жество случайных величии может быть определено нз одном вероятностном пространства.
В доказываемых ниже теоремах 7 и 8 мы полагаем, что при каждом и случайные величины »1...,, Е» онределены на некот'1- ром конечном вероятностном пространстве (й», Ф„, Р,), причем прн каждом 1риксированноы и и случайна:1 величина $» имеет распределение вероятностей, не зависящее от и, Вообще говоря, любую последовательность независимых случайных величии $» можно опр:. делить па одном бесконечном вероятностном пространстве. Данные ниже доказательства теорем 7 и 8 имек1т общий характер н не зависят от конечности рассматриваемой схемы.
Теорема 7. (Теорема Чебышева.) Если $1, $», ... независимы и существует такая константа с)О, что 0$»~~с, п=1,2, ... та при любом е >О , 1 ~ ~, + ... + е„м р, + ... + м1» 1,г 1нп Р ~~ ~»че1— (34) Доказательство. Обозначим Ь» = $1+ .*. +»»» н применим к ~,/и неравенство (33), Имеем при л1обом х) О: 1 ) Р ( ~ —" — —" ~ < х ~ ) 1 — — „;„", '-'--,1 — -„-т-„- 1: (35) так как 0Ь» = г' 0ьф ечпс (см. теорему 4). Из (35) при А-1 и-» оо имеем (34). Следствие. Если $,, $„... независимы и одинаково распределены, М$„=а; Я„= а» < со, та при любом х>О 1нп Р(~ Е'+ "„'+1" — а~<х~ 1. (36) Предельные утверждения типа (34) н (36) носят название закона балыиих чисел. Закон больших чисел утверждает, что с вероятностью, приближающейся при П-» со К' 1, СрЕдНЕЕ арнфМЕтИЧЕСКас СУММ НЕЗаВИСИМЫХ слагаемых прн определенных условиях становится близким к константе Из (36) получаем закон больших чисел в схеме Бернулли.
Теорема 8. (Теорема Бернулли.) Пусть 11» — число успехов при и испытаниях в схеме Бернулли с вероятностью О < р < 1 в каждом испытании Тогда при любом х) О Бт Р ( ~ — "" — р~ =х~ = 1. (37) Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы можем представить Ь1„ в виде суммы независимых слагаемых 51+ ... +$, где $1 = 1, если при 1-м испытании произошел успех, н $1 = О в противоположном случае. Поскольку М$1 = р, 0З»=р(1 — р), то к )А, = $1+ ... +$, применимо следствие (36). Теорема доказана. Соотношение (37) показывает, что при больших и разность между относительной частотой р»/и и вероятностью успеха мала с вероятностью, близкой к 1. В условиях, когда справедливо свойство устайчиаости час'и>т, можно применять следующий принцип: при единичнрв» испытании маловероятное событие практически не:м возможно, Считая серию в п испытаний в схеме Б : улин за единичное испытание и выбирая х таким, еро~„рч чтобы —,.
= —, было мала, мы можем утверждать, Зоп с что неравенство ~ 1А»/п — р() х практически невозможно. ро а том, какие вероятности считать малыми, зави. сит ат конкретной прикладной задачи. аа Гл. с пРелельные теОРемы з схеме БеРнулли Ч ЕХ ТЕОРЕМА ПУАССОНА ближенно вычислять вероятности (1) и (2) прн боль ших значениях н„т, ть т,. Такие формулы дают нам предельные теоремы. $20. Теорема Пуассона Рассмотрим сначала случай болыпих и и малых р.
Теорема 1. (Теорема Пуассона.) Если и-+ со и р-~-0 так, что пр-+.а, то для любого фиксированного т =0,1,... Сщ ма-м а -а (3) Доказательство. Утверждение (3) сразу выте. кает из равенства Р(р=т)= - 1"11 ~1--') ~1 — — ') ... ~1- — "')(1 — р)" "* если учесть, что при н-ю. со, нр-Р а предел (1 — Р)' Ра вен е Можно показать, что в предельном соотношении (3) имеет место следующая оценка: Р (р=т) — — е- !< —, а=ар (4) в! ! я' Мы докажем более сильное утверждение в более обшей схеме независимых испытаний. Рассмотрим и независимых испытаний с разными вероятностями успеха в разных испытаниях.
Обозначим р~ вероятность успеха, д~ —— 1 — р~ — вероятность неуспеха в Рм испытании. Обозначим распределение р — числа успехов при и испы. тания х — через Р(р=т) Р„(т)= Р„(т; рп ..., Р,). (б) |Такую схему независимых испытаний с разными р~ называют схемой Пуассона. Схема Пуассона при р~ нв р превращается в схему Бернулли, Вероятности Р(р =т) в схеме Пуассона не записываются в компактномвиде, аналогичном (1). Например, р (Р = 0) М ° ° ° у Р(в=1)=РФЕ ° ° Ча+Фрхчз " Ча+ ° +ЧНз ° . ча-Фа.
Р Ь = н) = Р|рз ° ° ° Р (з(м=т)=0 при т(0 и т> а. Обозначим П(, а)= —,„~ е '. Имеет место Теорема 2. В схеме Пуассона для любого натурального п, любых вероятностей рь рь ..., Р„и любого числового множества В имеет место неравенство Р((А ее В) — ~ П(т, а)~ е~,) р',, (7) 1 м еде а= р1+рз+ . '+р,. Доказательство. Формула (б) задает вероят. ности П(т, а) более общего, чем мы рассматривали до сих пор, распределения Пуассона, имеющего положи тельные вероятности при т =О, 1, 2, ...
такие, что О ~ П(т, а) 1. Докажем, что левая часть неравен м ства (7) не превосходит У„, где 1„= —,' ~~Р„(; р„...,,„) — П(, )(. м о Разобьем все неотрицательные целые числа т на два множества. Положим т ~ В+, если Р„(т') =х. П(т,а), и т еи В в остальных случаях. Обозначим ) = ~„, (Р„(т) — П(т, а)), м аз+ (Р„(т) — П(т, а)). ммв- ВВ ГЛ С ПРЕЛЕЛЬНЫБ ТЕОРЕМЫ Б СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ Так как 1., Р„(т) = ~„П (т, а) = 1, то О= )„" (Р„(т) — П(т, а))= ~ + Я )/„~ Д р', Проведем доказательство по индукции.
При а = 1 и р( —— р имеем 1Р,(О; р) — П(0; р) ~=в-о+р — 1, ! Р,(1; р) — П(1; р)1= р — рв Р, 1Р((т1 р)-П(т; р)1= — ', В-Р, т~2, откуда получаем ОВ Ь"1 ' '1 1Р1(т1 р)-П(т, р)1= т о т ( +, .- (- — -+Е, -)= = р (1- в-Р) ~ р~, так как 041 — в "а х при х~ьО. (9) )Г ~~> > Р (т) П(т а) ~ — ~~~1 С другой стороны, для любого числового множества В имеем ,>', (Р (т) — П (т, а)) ~ ~~ ттВ ~~гпах 1' Х (Р„(т) — П(т, а)), ~ Х (Р„(т)— ( ттВПВ+ 1ттВП — П (т, а)) ~ ~ ~ ~ч ~= 1Гл, Итак, для доказательства (7) нам достаточно доказать, 5 Я. ТЕОРЕМА ПУАССОНА далее воспользуемся тем, что по формуле полной вероятности Р„(тг р„..., р„) = Р, (т; р„..., р„() Р, (О; р„) + + Р„, ( — 1; р„..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
