Полезная книга (543702), страница 6
Текст из файла (страница 6)
р„, вычислим вероятность событии Ва,...л„=(в и независимых испытаниях произошло ровно по из й-х исходов) и, + ия+ ... + и„= п. Так как для лязбого ву еи В. г Р(ш) = П Рьь, а количество тачек в Вгч ... „равно полиномнальпаму п[ коэффициенту „, „,, то и + ... +их=и. Распределение (18) называется палиномиальнылг; опн. сак[мая схема независимых испытаний с г исходами такуке называется палиналяиальной. При г = 2 эта схема превращается в бинамиальную схему Бернулли.
Зндачн 1. Из множестве шссл 000, 001, ..., 999 равновероятно выбирается одно число. Кзкавз вероятность того, что зто число не содержит цифру 1, если все его цифуы рззлпчны? 2. Из урны, содержащей М белых и Ж вЂ” »И ~ерных шаров, 'случайно иослсловзгсльно по схеме выбойки без вазнрзщеиин извлекаются трн шара. С помощью теоуемы умиоже. ння нзйгн вероятность того, что появится иослсдовегельиость шаров: белый, черный, белый. 1 г 3. Иокзззть, что зпобзя иоиешзя алгебра со,бытий состоит из 2" событий, где гг — натуральное числа. Х ч.
Плоскость рзгчсрчспз пзрвллельиыми пря'мыми, рнсстояикя между соседйими прямыыи,чередуясь, равны а и Ь. Нз зту плоскость случзпио бРбсветсп игла длины 1 ~ пни[а, Ь». Пользуясь Решением зздзчи ггюффонз н фоумулой палкой Рис. 8, веРаятиостн, нзйиг вейоязносгь того, что игле ПЕРССЕЧЕт ОДНУ 1[З ЗГИХ ИРнмЫХ. б.
Нз бесконечную шзхмзгную лоску с длиной стороны квздРата а случвйпо бросается мгн[етз радиуса г ( а/2. [[айти вероягносгь того, что монете пересечет сторону кзкога либо квздрзгз. 6.. В последовззелы1ости и пеззвпсчмых пспыгшшй с вероятностью р успеха в каждом пз испытзшы ийопзоигсл ровно один успех, Какова вергшзшсп гого, что успех произопел при втором Иснытзвг[из т. В' схеме испыгзппй задачи б произошло ровно двз успехе. Найти вероятность того, что успехи [гроизошлн в соссдг[их пспытзниях ':; 8. Нз паркет, сосгзвлспиый из прямоугол[ ников со стороизмп ЯГЛ Ь, а < Ь, случзйяо бросается монета Рздиусп г, 2г "' ппп(а, Ь», Р~йти вероятность того, чго мопсгз заденет мегшшу1о сгороиу 49 ГЛ.
2. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТ1!ОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ какого-нибудь прямоугольника, если известно, что она какую-то сторону задела. 9, Для перехода улицы пешеходу нужно три секунды. Каждую секунду с вероятностью р по улгше проезжает автомобиль и с ве. роятностью о 1 — р улица свободна. Будем считать время дис. крстным (по секундам), а наличие или отсутствие автомобиля на улице в разные моменты времени независимыми испытаниями.
Пешеход начинает переходить улицу лишь в том случае, если в течение трех секунд она будет свободна от автомобилей на переходе. Найти вероятность того, что пешеходу придется ждать перехода а) больше двух секунд; б) больше трех секунд. 10. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпала 1, если известно, что на второй кости выпало число очков больше, чем на первой? (Применить формулу Байеса.) !1. Б единичный квадрат со вписанным в него кругом независи. мо с равномерным распределением случайно бросается 6 частиц.
Найти вероятность того, что ни одна нз пяти частей квадрата не будет свободна от частиц (см, рис. 8). Г л а в а 3. СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (КОНЕЧНАЯ СХЕМА) $12. Случайные величины. Индикаторы дему. талья из Пере- тобы миоытий, (1 ( чисел , 1.) номе- числу ия от 1~ если Рассмотрим конечное вероятностное пространство (ь), Ф, Р). Числовую функцию от элементарного события $ = й(оз), го аи й, назовем случайной величиной. Мы будем обычно обозначать случайные величины греческими буквами $, т), ь, р, т, ... и т.
п. (в англо-американской литературе и иногда у нас случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами Х, У, л и т.п.). Пример 1. В схеме независимых испытаний Бер. нулли в $ 11 множество И состоит из элементарных событий от =(го1,газ..... от„)ь где го1 = 1, если при 1-и испытании произошел успех, и нн = О в случаеиеуспеха. Случайнаи величина )х †' )х(ш) = го1 + отя + ., + юз равна числу успехов при и испы' ниях в схеме Бернулли.
Пример 2, Рассмотри следующу урновую с Пусть в урне имеется гу шар, нз них й)1 белых, ос ные — черные. По схеме Выбо и без возвращени урны извлекаются п шаров (см. 4, пример 3). нумеруем все Ф шаров числами 1, 2, ..., )т' так„ч белые шары получили номера 1, 2,, М. Тогда жество 11 можно составить из элем тарных соб состоящих нз подмножеств ат =(11, ', ..., 1,), ,С.
1Я ~ ... ~= гш МОЩНОСТИ П МНОжЕСтВ ЦЕЛЫХ (1,2, ..., Ж), Элементарное событие «т — (11, гж ° ° ° соответствует выборке, в которую вошли ры с рамн 11, (х, ..., 1л. Случайная величина й, р ная белых шаров в выборке, определяется как ф нкц оз следующим образом: $ = й(ш)= т, если в со (1 , (а),1 ~Мс (+1 при 1г птс п; й(ат)= М ~ 111 й (о)) = и, если ( ( м. 1„ О,», а=! Таблица 2 Закон распределения случайной иеличнни откуда следует ае гл. а. случАЙные Величины »коне»п»АЕ схемА! пусть А»(х», ., х,) — числовая функция от число- вых аргументов х», ..., х,, а $», ..., $,— случайные ве- личины, Тогда сложная функция т1 = т)(н») = Д(е»(е!), еа(»о),, е»(»о)) также будет случайной величиной.
В частности, так определяются случайные величины, » равные сумме »'„са и произведению Цел случайных а-! А ! величин. С каждым событием Л ее М можно связать случай- ную величину ~ 1, если»еев Л, 1,=-1„( )=й », О, если»пфА„ называемую индикатором события А, Индикаторы удовлетворяют следу»ощим легко проверяемым свойствам: 1И и»»О, 1н 1, 1АВ == 1А1н, 1~ = 1 1А. (1) Если события А», ..., А„попарно несовместны, то нетрудно установить, что 1; =Е 1А„.
л! Еа А-! Выведем формулу для индикатора объединения Д АА и-! любых событий. Так как Д АА — — П Аы то учитывая свойства (1), мы имеем =1 — 1 — =1 — 1 »» Р О ла а.-. ! а-! е и =1 — Ц1-, =1 — Ц (1 — 1л,). А-! а-! — 1,,„,+ л а-! " »еса»К»~и А ! + 1ЛАА»Л»и ' ' ' +(--1) 1Л»Л! "Ли (2) ! <А <Г<»и< $ »а слу»Единые Величины. индикАтоны йз Обозначим х! ~ ха ~ ... ~ ха всевозможные значения, которые принимает случайная величина с. С каждой случайной величиной $ можно связагь разбиение а~, состоящее из событий А» = (ан Е(»и) = х»!).
В самом деле, так как х»чьхь то А»А» =8 для »чь1; сумма А»+Ли+ ... +Аа есть достоверное событие й, так как х», х»ь ..., ха — есе значения случайной величины 2. Разбиение а» порождает алгебру событий Фы которая состоит из событий, представимых в виде 5 ее В) = (аи $ (се) ее В), где  — любое числовое множество. Разбиение аа и алгебру лай мы будем называть порожденными случайной ееличиной $. Любое событие (Е ее В) представимо вниде суммы ~, Ао где суммирование ведется по тем », для которых х; ен В.
Случайную величину $ можно выразить с помощью индикаторов разбиения А»+ ... +Аа — — ьа через сумму г» $ (»е) Х х»1А» (»и)» (3) так как левая и правая части (3) принимают одно и то же значение х» при»о е=- А». Законом распределения случайной величины 4 мы будем называть вероятность РД ~В), рассматриваемую как функцию числового множества В. Закон распределения $ определяется значениями х», ха, ...,ха,которые принимает $, н вероятностями Р (е = х») этих значений.
Обозначим Р(с х;) = рь Тогда закон распределения Р Д ен В) можно определить с помощью табл. 2, верхний ряд которой состоит из различных 44 Гл. а. случлнные Величины (конечндя схемА1 Ф 1а мдтемдтнческое ожнлкнне чисел хь а числа нижнего ряда удовлетворяют условиям р,~«), К р,=1. (4) ю 1 С помощью табл.
2 можно определить вероятность РВ~В)= Е Ю (5) а~ е.'В для любого числового множества В. В теории вероятностей часто говорят о случайной величине Ц с законом распределения (5), не указывая нн вероятностного пространства (11, .рФ, Р), ни функции $(ы), которая залает случайную величину. В этом слу. чае предполагается, что существует какое*то вероятностное пространство (Й,,Ф, Р), на котором можно определить функцию $ = $(от) так, что табл. 2 будет за.
давать ее закон распределения. Выбор вероятностного пространства каждый раз определяется существом задачи нлн простотой получающейся схемы. Простейшим вероятностным пространством, связанным с законом распределения «5), будет множество элементарных событий й =(хн хв ..., ха) с элементарными вероятностями р(х~) = р» Случайная величина в определяется тогда функцией $(х;)= х» Закон распределения индикатора 1А события А оп. ределяется табл. 3. Каждой случайной величине соог. ветствует закон распределения.
Один и тот же закон Таблица 3 Закон распределения индикатора 1А 1 — Р «А) / Р «А) распределения могут иметь разные случайные величины. Например, если события А и В разные, но Р(А)= Р(В), то разные случайные величины тл и Ьл имеют один и тот же закон распределения. Закон распределения й иногда называют кратко просто законом или распределениель Законом рвспреде- ленив случайной величины иногда называют задающую его таблицу 2. Примеры законов распределения. 1. Биномиольный закон для числа успехов р при и независимых испытаниях в схеме Бернулли: Р(р т)=С~~р (1 — р)" ~, т=0,1, ..., и (см. Я 11 и 12, пример 1). 2.
Гипергеомщри«еское распределение — распреле. ление числа белнтк шаров $ в выборке без возвращения объема и из уряы, содержащей М' белых и )Ч вЂ” М черных шаров (см, В 4, пример 3 и $12, пример 2): с~са-" РД=т)= и, ~, т=0,1, ..., Нпп(п, М). с 3. Равномерное распределение на (1,2, ..., й«): РЯ=т)=у, т=1,2, ..., й)'. 1 $13. Математическое ожидание Пусть вероятность Р на конечном вероятностном пространстве (Й, .ВФ, Р) определяется с помощью элементарных вероятностей р (от).
Математическое ожидание случайной величины $=$(ео) обозначается М» и определяется как сумма М$= Х $( )р( ). (6) Математическое ожидание $ называют иногла средним зна«ением й илн просто средним В. Из этого определения вытекают следующие свойства математического ожидания; 1) М/А= Р(А). В самом деле, М!А= Х ~А(ео)р(то) = Е р(го)=Р(А). (7) нап нел 2) Аддитивностсч М($+ т))= Мй+ Мт).
ай ГЛ. К СЛУЧАНИЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (КОНЕЧНАЯ СХЕМА) $13. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДА1!ИЕ Из определения М(а+Т1) получаем МК+Ч)- .'Е ($(ы)+1(ы)) р(ы)- = Е й(а1)р(1а)+ Х т1(ьт)р(Ф)= МВ+ МЧ а~о в~и Из свойства 2) нетрудно по индукпни вывести свойство конечной аддитивностиматематического ожидания: М(Е1+ ... +5„)=Мй1+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
