Полезная книга (543702), страница 7
Текст из файла (страница 7)
+М$,. (3) 3) Для любой константы с М(са)=сМ$, Мс=с. Это свойство легко вытекает нз определения М$. 4) Если $ ~ 11, то М~ ~ М11, Если $ > О и Щ О, то Р(5=0) =1. Доказательство. В сумме М(е — и)= ~„(а(в)— — Т1(ы))р(е) прн $ ~ 11 все слагаемые неотрвцательны, поэтому М(а — т))~0, откуда по свойствам 2) н 3) вытекает М$~~Мт1. Если ~~0 н Ма=О, то при любом гвен Р Е(а)р(»з)=0, откуда из р(а1) О следует $(ьт) О.
б) Математическое ожидание $ выражается через закан распределения случайной величины $ формулой Мй= ~'„, х;Р($=х1). (9) Доказать (9) можно с помощью представления в еилс суммы (3) й= ~ х,У(г,,1, свойства аддитивности (В) и свойств 1) н 3): М» = ~ х1М7(т А.,1 = К х, Р (" = х,). 1-1 " ' 1-! Пусть д(х) — некоторая числовая функния. Подставляя вместо х случайную величину $, иы получаем но. вую случайну1о величину Т1 д(Ц.
Вычислить МТ1 мож* ио илн исходя нз определения, илн с помощью закона рйспределения т) нли с помощью формулы М11= Му®= Е н(х1) Р(й= х1), (1о) которая доказывается так же, как н (9). Прн этом надо воспользоваться равенством у (е) = Е у (х,) ~(т-.,). Полагая у(е) = е", мы получаем из (10): МС= ~.";Ра=х). Математическое ожидание М$" называется и-м момен-.' том (или моментом и-го порядка) случайной величины $ (или ее аакона распределения), Абсолютным '. п-м моментом называется М ~ е ~". Обозначим М$ = а. Центральна»м моментом п-го порядка называется М 5 — а)", а абсолютнь1м центральным моментом и-го порядка —: М!$ — а 1".
Центральный момент второго порядка называется ' дисперсией случайной величины и обозначается 0е= ' =М(е — а). Корень квадратный ~/0~из дисперсии на-: зывается средним квадратическим отклонением (или иногда стандартным отклонением) . Дисперсия обладает следующими свойствами: 1) 0с = Мс' — (Мс)'. Доказательство. Имеем 05= МЦ вЂ” Мь)'=: = М У вЂ” 2Щ'Д ° МР+ (Щ') = МР— 2 ° М~ М~+ (МУ = М~т — (Мй'. 2) 0»,=ьО и 03=0 тогда и только тогда, когда су-' ществует такая константа с, что Р(а=с) =1.
Следует из свойства 4) математического ожидания,: так как 0е=М($ — Ме)) и ($ — М$)т "~ О. 3) Для любой константы с 0 (сс) = с'0$, 0 ($ + с) =- 0$. Следует из определения и свойства 3) математиче.: ского ожидания. Многие известные в анализе неравенства для сумм, и интегралов широка применя1отся в 'теории вероят-: 49 $13. МАтемАтическое ох(ид»нин 4Е Гл.
3. случАйные Величины !коннчнАя схемА) ностей, причем в этих неравенствах используется понятие математического ожидания. Приведем здесь некоторые из этих неравенств. Неравенство Иенсен а. Если числовая функ!(ия у(х) выпукла, то для любом случайной величины 5 Мд($) ~ д(М$). (11) Доказательство. Если д(х)' имеет производные у', д", то из выпуклости у следует, что в любой точке х Аг" (х) =-» О.
Поэтому при любом а уЯ-в:й(а)+ у'(а)(5 — а). (12) у (х) ~ ~д (а) + С (х — а). (13) Функция я(х), определенная на интервале (с, г(), где †г- с С й е= оэ, называется вьтукгой (или выпуклой' внаэ), если для любых хг, хзгм (с, г() и любого О~ Е(1 выполняется неравенство И (Е , + (1 — Е) х,) < Е, (х,) + (! — Е) д (х,). Пусть е — выпуклая Функция и ага(с, й). Возьмем лкгбые хг, хя, удовлетворяющие неравенствам с -' х! ~ а «хя < г(. Покажем, что для пик я (х!) — я (в) я (хз) — у (а) (15) хг-а хг — а Нетрудно проверить, что неравенство (15) равносильно (!4), если ха — а а — х! положить в ием Е=, 1 — Е= —.
Из (15) вытекает хг — х! ' хз х! существование такой константы С, что у (х ) — я (а) С . , а (х ) — й (а) х,<,ь х! — а хг>а х! — а а зто равносильно утверждению (13). Неравенство Ляпунова. Для любьгх положительных сс ~ () (м(в Г)"" ~(м(ы')"'. Полагая в (12) а= МЦ и берн математическое ожиданпе от обеих частей, получаем (11). В общем случае вместо (12) надо воспользоваться тем, что для любой выпук. лой функции д(х) и любой точки а найдется такая константа С, что для всех х Для доказательства надо применить к выпуклой функцки д(х) = хата и случайной величине 1$(а неравенство Иенсена (11).
Неравенство Коши — Буняковского. Для любых двух случайных величин $, т) ! М1») ~ = ~~мел Мт)3. (17) Доказательство. Для люоых чисел к, у по свойству 4) математического ожидания М(х$+ ут))' ~ О. Отсюда следует, что квадратичная формула хэма" + + 2хумбт) + уемт)3 неотрицательно определена, а следовательно, ее дискриминант неположнтелен: (Мььт))з— — Мйа Мт)3(О. Статистическое истолкование математического ои(идаиия. Пусть в некоторой лотерее имеется один выигрыш, размер которого случаен и равен или хг, илн ха, ..., или х».
Если лотерея проводится Ь' раз, причем й(; раз выпадает выигрыш хь У= 1)г'!+ Лга+ ... +Лг», то 1)гг/Лг есть относительная частота выигрыша хь а 1 ч х = — т хгл11 — средний выигрыш на одну лотерею. г=! Если $ — случайная величина, равная размеру выигрыша в одной лотерее„ то из статистической устойчивости частот следует — = Р ($= х!), поэтому средний выиг. Л~г рыш х колеблется около М$; х == — ) хгЖ1 = ~~г х,Р(еь=х!) = М". йг(еханическая интерпретация М$ и 0$.
Интерпретируем наглядно закон распределения как расположение на прямой в точках х, <ха< ... <к» точечных масс » » рь ра, ', р», ~ р1= 1. В этом случае Мй= ~' кгр;есть 1=1 г ! центр тяжести, Эе= ) р!(х, — Мй)3 — момент инерции 1-1 масс р! относительно центра тяжести. Таким образо!л, Мй хаРактеризует место, вокруг которого группируются зо гл. 3. случАЙные ВГлт!чины (конечная схемА! з м. «нтогомеуныа ~АК~~Ы Расппеделиння "- 61 массы ри а С!$ — степень разбросанности масс р! около М5. Вероятность суммы событий, Вычислим от обеих час« тей равенства (2) математическое ожидание и воспользуемся его аддитивностью.
Получаем е(ц л,)=Г е(лл — Х е!л„л„!~. + Х Р(АААААа) —...+( — 1)" Р(А!Аа...А„). !:са, <м~а,~щ (18) С щщ(!8) м щ в Р! !! лт). ~а ! П ример 3. Размещение частиц но ячейкам. Пусть' имеется И ячеек, в которые независимо друг от друга размещаются л частиц. Каждая частица с вероятностью 1~Я может попасть в любую фиксированную ячейку. Обозначим через ре число пустых ячеек после такого размещении. Вычислим вероятность Р (1ле = О). Введем случайные события Аи полагая, что А! произошло тогда н только тогда, когда а-я ячейка пустая, Тогда(ре > О) = О А;, и мы можем применить (18). Поскольку л=! Р (А ) — (1 ), Р (АлА!) — ~1 ) и, вообще, а Р(А!,Ае, ...
А„)=~1 — — „), то из (18) следует а-! или Р Ье = О) = 1 — Р Ье > 0) = ~ Сй ( — 1) (1 — у ) . и 14. Многомерные законы распределения Пусть на конечном вероятностном пространстве (ьл,,Ф, Р) заданы случайные величины с=з(а), т1= =т1(е!). Пусть хь ..., ха — все возможные значеиия$, „„у — все возможные значения т1. Как мы уже знаем„с помощью вероятностей Р(еа=х!) и Р(т) у!) определяются законы распределения случайных величин $ и т1! Р4(В)=Р($еа В)= )„Рй= !), хе~=а (рй) Рч(В)=Р(т(еиВ)= х' Р(т1=у!), У ыз где  — любое числовое множество, Совместным расправлением случайных величин $, т1, нли законом их совместного распределения, мы будем называть вероятность Р(($, т1)ее Щ, определенную для всех множеств Таблица 4 Деумерина ааиеп распрехелеьчла У! Уа Уел х! Реал Ри В точен плоскости (х,у) и обозначаемую Р „(В). Совместное распределение можно задать с помощью нбора вероятностей Р(й=х!, т)=у!), 1=1, ..., й; 1=1, ..., т, налагая Р((4, е)) ек В) = х, Р(з=-хс, а) у!).
Если (ли а!)иа обозначить ры — — РЯ=хл, т1=у!), то совместное распределение $, т1 можно задать с помощью табл, 4, в которой все рм",~0 и ~ ~ рл!=1. Любая таблица такого ! ! ! 1 вида задает некоторый закон совместного распредел!- ння пары случайных величин, который мы иногда будем зя ГЛ А СЛУЧАЙНЫВ ВЕЛИЧИНЫ 1КО11ЕЧНАЯ СХГМА1 $1$ нвзАВисимость случАйных Величин 63 Р(Ь хур 1 1г''' п» 14$,),аайи (20) называть двумерным законом распределения, или двумерным распределением. Иногда двумерным законом распределения мы будем называть просто табл.
4. Законы распределения (19) отдельных случайных величин $ н 11 будем называть одномерными Пара случайных величии $, т1 порождает разбиение ат„, состоящее из событий А! = (ы! $ (ы) =, 11 (ы) = И, 1 =!...., й; ) = 1,..., гп. Это разбиение, а также порожденную им алгебру Фчч будем называть порозсденными парой С, 11.
Любое сабы» тне А ен.яс~„представимо в виде А (1В: ($(ы). 11(В!))яв еи В), где  — некоторое множество точек плоскости. 11, наоборот„любое событие этого вида принадлежит .эг~„. Нетрудно видеть, что алгебры лФт и хФ„, порож- денные случайными величинами $ н и соответственно, есть подалгебры Фт,„, причем алгебра Фт,„порождена объединением алгебр Ф~ и .Ф„. Если (А11) составляют разбиение а11„ и А1. = ~~'„Ац! А.! =,)., Ац, / ! 1 ! то (А1,» образуют разбиение а1, а (А.!» — разбиение а,. Из двумерного закона распределения можно полу. чить одномерные законы распределения для $ Р($=х!»=р,, Ер! и для т1 Р (11 = УД= Р.! Х, Рц которые иногда называют маргинальными законами п1рвоначального двумерного распределения. Аналогично для и случайных величин Ь, Ь, ..., $„ определяется и-мерный закон распределения Р1, ... 4„(В)= = Р(К„..., $,„)еи В), где  — множество точек п-мерного пространства 1т".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
