Полезная книга (543702), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Обозначим событие Аз=. '=(выбранное число делится на н). Легко видеть„что ,события А,, А,, Аз попарно независимы, но зависимы :в совокупности, так как .Р (Аз) = Р (Аз) = Р (Лз) = 1/2, Р (А,Аз) = Р (АВАз) = = Р (,4зАВ) = 1/4 и Р (Аз Аз.4з) = 1/4. Из определения 2 вытекает следующее свойство ус- '.ловных вероятностей. Теорема 4. Если события А„Аз, ..., А„незави- сил!ы, индексы 1„1з, ..., 1„ /„ /з, ., „1, все различны, вероятность Р(А1,Л1, ... А1,) > О, то Р(Л1, ° ° Л1,$Л1, * ° ° Л1,)=Р(ЛО ° ° * Л1,) (11) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из независимости событий Л1...,, А„следует Р (А1, ° ° ° А1„) = Р (А1,) ., Р(А1„), Р(А,,, А,,)= Р(А),) ... Р(Л) ) и Р (А, ° ° . А! Л! ... Л! )— Р(А1,) ... Р(Л1,) Р(АО) ... Р(Л~,), э му Р(А, ... А,ПА), ° ° А),)=Р(А1, ° ° А,) Х КР(А! ... А; ), а отсюда вытекает (11), в 10. Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр О и р е дел е н и е 5. Пусть у — некоторая система множеств. Наименьшая алгебра множеств Ф(у), содержащая у, называется алгеброй, порожденной системой у. В4 Гл. г.
услОВные ВеРОятнОсти. незАВисимОсть $ !1. НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАН!!Я Аналогично определяется в-алгебра, порожденная 7, как наименьшая о-алгебра, содержащая у. Если мы за систему множеств а возьмем разбиение А1, Аь ..., А„т. е, такие множества А1, что А1+' + ЛЯ+ ... +А = Я и А1А! = 8 прн 1 Ф1, то нетрудно видеть, что алгебра .Ф(а), порожденная разбиением а, является конечной (т. е, в нее входит лишь конечное число множеств) и состоит только из пустого множе- ства и множеств вида А1, + А1, + ... + А! .
Имеет место обратное свойство. Теорема б. Каждая конечная алгебра мнажеслв порождается некоторым разбиением, Доказательство. Пусть Я вЂ” конечная алгебра событий. Обозначим Я„совокупность всех В~Я, для которых ВЗЕВВ. Для каждого ьз~И введеМ В„= Ц в е„' Покажем, что для двух Вз~эз' либо В„=В, либо В„ДВ„= О. Для любых мяне и ВезЯ имеет место следующее свойство: если Вз ее В, то В„~ В. Пусть теперь ВТ~В„; тогда В„~В„.
Далее, если !В'ВЕВЧ, тО В„с: — В„И, СЛЕданатЕЛЬНО„В„=В„. СЛуЧай ВЗ'Е= ф невозможен, так как приводит к противоречию В ':-В(з (а мы уже доказали, что В„~ В„). Выберем среди Вэ разные множества В„В,,„В,. Они образуют раз- биение, так как В! + ... + В, =й и В1В! = 8 при Поскольку любое Вен Я представимо в виде В= Ц В„, то это-разбиение порождает алгебру Я, ВМВ что и требовалось доказать. Пример 6. Разбиение А +А = з1 порождает алгебру Я = (О, 11, А, А), Пример 7. Разбиение А, +Аз+ Аз=(з порождает алгебру Я = (Я, Й, А1, Аы Аы А! + Аг А1+ Аз„Аг + Аз) Определение 6. Разбиения аз: Ам+ Азг+ ° .. +Аз, — — И, 4=1, ..., и, называются независимыми, если для любых 1А, 1 з~ ~» 1'А:-= гы й = 1...
и, Р(Л!1,Аг1„... АА1„'~ — Р(А!1,) Р(Агзз) ... Р АДАР!„). О и р е.д е л е н и е 7, Алгебры (или а-алгебры) соб ытнй,Ф1, Фг, ° °, Ф., называются независимыми, если для любых А! ВЕ.Ф! Р(А,Л, ... А„)=Р(А,)Р(А,)... Р(А„). Т ео р е м а 6.
Конечные алгебры Ф! Ф„...,,ге„ независимы тогда и только тогда, когда независимы порождающие их разбиения а1, аъ ..., а,. Доказательство, Так как порождающее .РА; разбиение и; есть подсистема вэ1, т. е. Он с=,Ф1, то и! независимости Ф1, ..., Ф. следует независимое. ь аь ..., а„. Каждое А Вне~ есть сумма попарно несовместных событий из и1, поэтому обратное заклю!Р- иие получаем из следу!ошей леммы.
Лемма 1. 1", Если события А и В независимьз, то события А и В также независимы. 2'. Если А, и В незлеисимы и Аг и В независимы, и Л1Аг = 8, то А1+ !г и В независимы. Д о к а э а т ел ь ст в о. 1'. Иэ независимости Л и В Фждует Р (ВЛ) = Р (В '; АВ) = Р (В) — Р (ЛВ) = = Р(В) — Р(Л) Р(В) = Р(В)(1 — Р(А)) = Р(В) Р(Л), т. е. В и А также независимы.
2'. Из независимости Л, и В имеем Р(А;В) = Р(А1) Р(В), откуда вытекает Р((А! + Аг)В) = Р(Л!В)+ Р(ЛТВ) = Р(Л1) Р(В)+Р(Лг)Х л1, Р (В) = (Р (Л !) + Р (Аг)) Р (В) =- Р (Л ! + Аг) Р (В), т. с. Аз+Аз н В незавнсимы.--- Следствие, Каждое событие А порождает раз. биение А+я= Я, которое в свою очередь порождает алгебру эК(А). Из леммы 1 Вытекает, что независимость аобытий А1,, А„и независимость порожденных ими алгебр,ээ(А1), ..., М(А„) эквивалентны, $ 11. Независимые испытания Под испытанием мы будем понимать некоторыйэкспернмент, исходами которого служат те нли иные случайоые события. В принятой нами аксиоматике нспытаэз~й,;~это некоторое вероятностное пространство. Пусть ЗВ ГЛ.
Е УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИА!ОСТЬ З Н, НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ даны и испытаний, т. е, даны вероятностные пространства (й„Ф!, Р,)... „(О„, Ф„, Р„). (12) Если эти вероятностные пространства есть модели некоторь!х причинно независимых испытаний, то и-алгебры .Ф!, Фр, ...,,ЯЗ„должны быть независимыми. Но для того чтобы иметь возможность говорить о теоретико-вероятностной независимости, мы должны рассма гривать Ф! как а-подалгебры а-алгебры Ф одного общего вероятностного пространства (1А, Ф. Р). Такое вероятностное пространство всегда можно построить. Мы проделаем это построение в частном случае, когда вероятностные пространства (12) конечны. Итак, пусть (ьгь .Ф!, Р,) — конечное вероятностное пространство, ь)!=(а!), .Иг! состоит из всех подмножеств 41!, а вероятность Р! (А) = ~'., р; (а!) задается е1~л с помощью вероятностей элементарных событий р,(а,), а!~'А1!.
Построим прямое произведение вероятностных пространств (!2) (Й, .'4, Р), полагая Й=Й! Х11ВХ ... ... Х Й„, точки которого а е= Й есть векторы а = =(аг, ал, ..., а„) с компонентами а,еэйь !=1, ..., и, .!У' — алгебра всех подмножеств й, р(а)=р!(а,) ... р„(а„), Р(А)= Х р(а). (И) Построенная так вероятность Р называется прямым произведением вероятностей Р! и обозначается Р = = Р!Х . ° . Х Р„. Аналогично в этом случае з!г = =-Ф! Х ... Х ЯА„ есть прямое произведение алгебр.
В построенном вероятностном пространстве выделим класс событий А, называемых прямоугольниками, определяемый следующим образом. Пусть А!ее Фь = — 1, ..., и. Прямоугольник (14) А = А! Х Аз Х ° ° Х А„ состоит из тех и только тех а =(а!,аь ° °,, а,), для которых а!Еи Аь ! = 1, ..., и. Из определении вероятности (13) следует, что вероятность прямоугольника (14) Р (П А )= ПРгА), т. е, алгебры .М'„..:,,Ф'„независимы. Схема Бернулли. Частный случай независимых испытаний, с двумя нсходамн в каждом из испытаний, строится следующим образом.
Пусть вероятностные прост- $, анства в (12) таковы, что И! = (О, 1), Ф; = (1с1, (О), Щ, !), р(0)= р, р(1) =у, р+ у=1. Тогда в прямом произведении (й, лФ, Р) имеем 0 = (а), а =(аи аа..., а„), а! — — О, 1, р(а)=Бр"!д "'. !-1 Построенная схема независимых испытаний называется схемой Бернулли. Обычно она трактуе~ся следующим образом. Пусть некоторый исход А, который мы будем называть успехом, может произойти прн каждом испи. ,танки с одной и той же вероятностью р, противоположный исход А (неуспех) может произоити при каждом (16) равна Р(А)= )' Р(а)= Е Р!(а!) " Е Р (ал)= вал Ф!Ил! ьи'Б лв л = Ц РА(АА).
(15) Обозначим люсь подалгебру алгебры л(, состоящую из всех тех прямоугольников (14), у которых А! =11! для я. Нетрудно видеть, что между событиями А!=О!Х ХО!-!ХА!ХЙ!+!Х Х1) певи .и А! ев зв, устанавливается естественный изоморфизм :А', Ан поэтому вместо событий А, из вероятностного , пространства (Оо Фт, Р,) можно рассматривать изо'морфные события А', нз подалгебры .яс',. вероятностного пространства (А1, лз', Р), Из определения вероятности (15) следует Р(А,'.)=Р!(А,). Так как А=А, Х ... ХА„= = П А', то из (15) получаем для любых А'~ФА А ! 38 Гл. 2. условные Вепоятиасти.
1гезАВисимость ЗАДАЧИ испытании с дополнительной вероятностью д =' 1 — р, В элементарном событии ю = (шь ° ., Шч) имеем «11 = 1, если при 1-м испытании произошел успех, н юг=(» в противоположном случае. Обозначим Вз =(аи е[+ ° ... +(оч = й) событие, состоящее в том, что при и независимых испытаниях в схеме Бернулли произошло ровно й успехов. Поскольку из (16) следует, чта при ш с-:Вз р(ш)='р'г»™, то Р(ВА) = р'д" — е;зс (число элементарных событий юни Вз). Итак имеем, Р(ВА)=С~рагу ', й=0,1,...,и. (17) Вероятности (17) называ[атся бинамиальным распределением. Примерами, в которых появляется биномиальное распределение, служат: выборка с возвращением (э 4, формула (15)), выпадение шестерки ги раз при и бросаниях игральной кости (вероятность этого события г[хмгбхчзгх С„~ — ~ ( —.) ~, рождение пз мальчиков при реги- ~63 (,8| страции и рождений (если вероятность рождения мальчика р= 0,51, то вероятность рождения пг мальчиков при регистрации и рождений равна С, (О, 51) ° (О, 49) обширный статистический материал, собранный в раз.
нас время и в разных странах, свидетельствует о том, чта вероятность р ы 1/2 и примерно равна 0,51 — 0,52). Палинамиальиая схема. Более сложная схема и независимых испытаний получается, когда прн каждом испытании возможно появление одного из г попарно несовместных исходов. Пусть 1пе испытание связано с вероятностным пространством (ьзь Ф1, Рг), где ь11 = =(1, 2, ..., г) состоит из номеров 1, 2, ..., г исходов. Пусть р[, ..., р,— вероятности этих исходов, рг+ .„ ... +р,= 1, а Фг состоит из всех подмножеств 01. В прямом произведении вероятностных пространств (11, .Ф, Р) элементарное событие ю ы 2 равно оз = =(озг..., „о[,), где шг — номер исхода при 1-м испытании, Полагая р (ш) = р р„...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
