Полезная книга (543702), страница 10
Текст из файла (страница 10)
„Р„,) Р (1; рл) = ~', Р„, (т — й) Р1 (((о; р„), (10) и при любых а(~0, а, ВО '+ )=ЕП( — й, ~,)П(й, ~,), (П> л л Обозначим а = Х рь .4 = Х роь Предположим ч А-! ' 1'л-1 ~~ 4л-1 (12) ПРиыенЯЯ фоРмУлы (9) — (12), оценим >г, 1 'г( Ул= в ~ 1Рл(т) — п(т, а„)1= -~-Ц~Р.,(л — Ц(,(а;,.(- 1 т А — ~П( — Й, ~,(п(й, р )~л.
1 а а Х ~~~ ! Р„1(т — й) — П(т — й, а„,>1р (ь т-О А-О 1 + В ~ ~,~ П(т й~ ал 1)1Р1((О', Рл) П(а р ) т о Ф о <)г„1+Р~ <А„. 1Гео ема доказана. ледствие. В схвмв Бернулли при любых а и р Рь л( — 1; л(~, (~<ви- — '„, тта йрв а=ар, ТО ГЛ, С ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Е СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ Ф в|.
НнтегРАльнля пРедельнья теоремА 7! 2 2!. Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа Биномнальиое распределение (1) случайной вели. чины р имеет !йр=пр и О!» =ирд (см.задачу 3 вгл,З), Обозначим о=- ~/ирд среднее квадратическое отклонение. Доказываемая ниже теорема даат аспмптотическую формулу для биномиальной вероятности (1) при р, не близких к О или 1. Т е о р е м а 3. (Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа.) Если в схеме Бернулли о= ь»при- оо, то для любого Со О равномерно ио всем ~х)» Сеида х = "' Р, где н| — целые неотрицательные числа, Р) о "|' =х1= е «и(1+О(1)). (13) 1 ч»лрч ) л6л о Д о к а з а т е л ь с т в о, Пусть т = ир+ хо. Оценим логарифм вероятности Р (р. = и) = Р 1 — = х ! =, р д гп — лр .1 лт л-|л о» лс !л — л»)! равный 1од Р (!» = т) = ! оо и | — 1од т! — )оп (и — |и)1 + + т1одр+(и — п|)1оов.
Воспользуемся асимптотической при и -ь оо формулой Стирлинга 1оии! =и 1ои и+ 1од л»2ж — и+ 0„, где 0„= О( — „). Обозначим й=п — и|=ив — хо. Из /1~ хо ч условия теоремы следует, что т = ир (1 + ) ь ос~ й=иц (1 — — "1-ь оо, поэтому можно применить форо ) мулу Стнрлинга для оценки !они!, 1оо и|1, 1оий!. Имеем 1ои Р (р = т) = и !ои и — т 1ои т — й 1ои й + + т )од р + й 1од д + 2 1ои —,„+ 0„— 0 — О». 114) Так как !ои — — 1оо — 1ои (! + — ) -1ои (! — ) л ! l хчъ с хрч л»а ~ лрв ~ о ) ~ о ) =2!ои — +О ( — ), — =О( —,), юл~ О ( о» ), - = О ( —,), 1ои (! + Е) = О (в), е -ь О, то ив (14) получаем 1ои Р (!» = и|) = = — »и!ои — — й 1оо — + 1ои — + О( — ), (1б) л» й /|ч лр лд о Ч/2и о Далее, нз (15) следует 1ои Р(р =т) = — (пр+хо)1оо (1+ «~)— — (ив — хо) 1од ( ! — — ) + 1ои — + О Н = хрч ! к!ч о ) оч»2и ~о« ! 2 х = ! ои — — (ар + хо) — — — + Π— 1— о ~/2и (|.
о 2о«|. оь )) — (иц —..)( — ф — —.", +О( ))+О(-.')= х' г|ч =!ои — — — + О( — ), о ~/2и 2 |.о) что и доказывает ас»|м|ьтотическу|о формулу (13). |!5 й 22, Интегральная предельная теорема О Муавра — Лапласа Для приближенного вычисления вероятностей Р(т| «» !» т,) можно применять следующую теорему.
Т е о р е м а 4. (Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа.) При о= ~|»при — ьоо равномерно ио — оо» а» в» со ь Р(а«» ' «»о) — =~в ' дх-ЬО. (16) у'лро » -~/2И Док аз атель ст в о. Предположим сначала, что (а!«»С, !й!»С. Пусть т| =1пр+а ~/ирв [, т, Ьр+й 1/при 1 где )х( — такое наименьшее целое (19) ь х' (20) С хк (21) 22 Гл. с пРедельные теОРемы Б схеме БеРпулли число, что х<)х[, а [х[ — такое наибольшее целое число, что [х)~(х. Тогда Р(а( " "~'~~Ь~= ~ Р(1ь=гп).
(17) Обозначим гп=пр+х„~/щам, тогда ах = х„+1— — х = 1~о. По локальной предельной теореме запишем (17) в виде хкк хт Р~ = — ":" <Ь))= Г 1 е ' Лх ~1+ОЯ) хк хь (18) Справа в (18) стоит интегральная сумма, сходящаяся Ь Кк 1 Г з равномерно по а и Ь при с — » со к интегралу=~ е т(х; У'2Я 1 отсюда получаем утверждение (16), когда [а[» С, [Ь~ ~ С. Снимем теперь ограничение [а[ = С, [Ь[< С. Обозначим $х= ~ ~ . Имеем равенство С Р ( ~ $„1 > С) = 1 — Р ([ $„[~~ С). Как известно из анализа, хк 1 Г = )зе Ых=1, ~/ 2я поэтому с х' = ~е 'Ох=1 — — ~ е ' 1(х.
У'2и ) "т/2кх -с 1х1> С Из (19) н (20) получаем 1 2 Р ([$х [> С) — = ~ е ь(х "Т/2и 1х1>С Р(~$„[~~С) — = ~)е ' г(х . ~/2и -с 3 Ж ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМ Пусть задано а "» О. Тогда найдется такое С, что хк — е ' ь(х< —. (22) ч/2и .1 з Г»1> С Зафиксируем его, По только что доказанному найдется такое иь что для всех и «пь хе Р([вх[ С) — — ~Е Г1Х < —, 1 1~2я „1 з -С откуда, в силу (21) н (22), для тех же и > иь имеем 1 ([ 1а[> С) < — ',.
(23) Берем теперь любой интервал [а, Ь[ н обозначим [А, В1 = [а, Ь1()[ — С, С1. Так как — С А В < ~С,то, как мы уже доказали, существует такое иь что для всех и «» пз имеет место неравенство а Р (зх ея [А, В[) — „~ †„- ~ е ' г(х < — . (24) Из неравенства Ь кк Р ($„ее [а, Ь)) — = ~ е ' к(х ( Р ( [ $„[ > С) + у'2я х| е х' += ~ е ' ~(х РД„ее[А,В[) — =~а ' Их г а 1 Г а ,~2— . 1 ,Уза ) ГХ1>С л получаем, в силу (22) — (24), что при и ) из =-- = П1аХ(И» Пх) Р (з„ее [а, Ь[) — = ~ е ' к(х <~е 1 ф2и а равномерно по всем а Ь.
Теорема доказана, В 23. Применения предельных теорем Предельные теоремы Пуассона и Муавра — Лапласа применяются для приближенного вычисления вероятностейй Р(1ь=и) н Р(щ~(1ь(гпх) в схеме Бернулли 74 Гл, Ф предельные теоремы а схеме вернулгн1 $ Ю. ПРИМЕНЕННЯ ПРЕДЕЛЫ1ЫХ ТЕОРЕМ 75 при больших п.
Приближение, даваемое теоремой Пуас. сона, называется ауаесоновсгсилг. Приближение, получаемое с помощью теорем Муавра — Лапласа, назы- 1 вается гсорлгальггим так как функция =е а есть 1 1г'Зм пло1пость нормального распределения (см. $ ЗЦ. Для ва распределения Пуассона —,„, е-' и интеграла х и' Фр(х) = ~е ' с)а, (2б) 172я называемого имтегрилохг Лапласа„имеются таблицы. Пусть, например, нам нужно вычислить вероятность Р(гп,~~)ааль) в схеме Бернулли с га незаннсимымн испытаниями и с вероятностью успеха р. Вычислим пп — яр пн — пр хам = =, х„а = и положим У11Р4 ' ' чгнР9 ха г Р (т, р в,ггга) = — ~ е с(х = Ф~(хма) — Ф„(хм,), 2. (26) Прн этом мы допускаем некоторую погрешность.
Можно оценить эту погрешность, но точная ее оценка очень сложна, а более простые оценки слишком грубы, Эту погрешность можно значительно уменьшить, есин в правой части приближенного равенства немного изменить пределы интегрирования, полагая Р (гп1:.=. Р' ~ щх) ФО(хм,, 111) — Фб(х, 11), (27) пва + 112 — лр вн ~ — 11'2 — и р ГДЕ Х„„„„а= .
Хха 1га= '1г11рп в Т7яро Из табл. б видно, что приближенная формула (27) дает значения вероятностей Р (и1 ~11 «< гла) с точностью до трех-четырех знаков после запятой даже при гг порядка нескольких сотен. Обычно применяемаяфор. мула (26) такой точности не дает. Таблица 6 и 100; р 0,5 40 60 0,9648 0,9545 45 55 0,7267 0,6827 55 65 0,1832 0,1573 л=ЗОО; р=О,5 135 165 0,9267 ОТМ67 0,9265 140 160 0,7747 0,7518 0,7747 160 180 0,1361 0,1238 0,1361 я 500; р 0,5 230 270 0,9334 0,9264 0,9333 240 260 0,6523 0,6289 0,6523 260 280 0,1950 0,1819 0,1946 я= 1000; р 0,5 47О ! ВЗО ! 0,9463 ! 0,9422 ! О,ВФВЗ 530 ~ 560 ~ 0,03095 ~ 0,02382 ~ 0,03097 л 1ОО; р=0,25 и=300; р =0,25 я=500; р = 0,25 Значения вероятностей Р (па1 ~, 'и м, пвх) ~„С~~рв' (1 — р)н "' на-вв, в схеме Бернулли.
105 115 135 145 135 155 Тонное анавеиве во Формула 121 0,9659 0,7219 0,1621 Нормальное врвблнмелна но Формула <таг 0,9611 0,6983 0,1499 Утоннвввое нормальное врнблименве во Формула 1аг1 О,ВО43 0,7267 0,1831 0,9658 0,7218 0,1624 гл. а пвидильныи тиорнмы в схима вирнклли Задачи 1. В большом городе в год рождается 20 ООО детей. Считая вере»;ность рождения мальчика р 0,51, найти такое число й чтобы с е;роятностыо 0,99 можно было утверждать, что среди рожденных в гсчепяе года в этом городе детей число мальчиков превышаот члс ю девочек не менее чем на й 2.
Сколько надо произвести бросаний правильной монеты, чтобы с з:роятностью 0,99 относительная частота выпадения герба отличала~в от 1/3 не более чем на 0,01г 3. В таблипе случайных чисел каждая инфра появляется незав» пмо от других с вероятностью 1/1О. Сколько надо набрать таких сл1 ~ейных чисел, чтобы с вероятностью 0,999 среди них появилось нс менее 100 иулейу 4. В большом городе в среднем в течение одного дневного часа по .упает один вызов на скорую помощь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
