Полезная книга (543702), страница 12
Текст из файла (страница 12)
тальные случаи: РВ= «=Р( ) — Г( — О) 1 (х! ! хй»хх) = Р(хх) — Р(х! — 0), Р(., < й < х,) =Г(х,— О) — Р(х,), Р (х, а й < х ) = Г (х! — О) — Р (х, — 0). Теорема 1. Фунхг1ия распределения Р(х) обладает следующими свойствами: 1) Р(х) не убывает, 2) Р(х) непрерывна справа, 3) Р(+ ) 1, 4) Р(- са)=6.
' (7) Доказательство. Свойство 1) следует нз (4). Свойство 2) следует из аксиомы непрерывности 4'. Так как события В„=(х<$»х+ — „гг(, Я, тоР(В„)= ! =Р~х+ — „) — Р(х) — ! О, т, е. Р(х+О) =Г(х). Свойства ЗЗ ГЛ. 6. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ гОБЩИП СЛУЧАЛ! а И. СЛУЧАИИЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕУгив ат 3) и 4) выгекагот из аксиомы счетной аддитивности, Так как И= Х'' А„, где А„(в: и — 1 <$(в)«п), то 6 -аа 1=Р(И)= ~., Р(А„)= 1нп ).„Р(А„)= = 11щ (Р(Лг) — Р( — М)) и,, следовательно, Р(си!) = Игп Р(!у) = 1, Г( — се) = на а = Вгп Р( — 1гГ) =О.
Теорема доказана. Н.а аа 0 цр.д,й елен дд 3. а-алгебра Я числовых множеств, порожденная всевозможными интервалами вида хг «.. ~ х ~ хь называется борелевской; множества В, входящие в Я, также называются борелевскими. а-алгебра борелевских множеств Я содержит всевозможные интервалы вида (3) с конечными н бесконечными концами, их конечные и счетные суммы, все открытые и замкнутые множества. Таким образом, а-ал. гебра множеств Я достаточно богата и содержит все числовые множества, которые нам будут необходимы. Назовем полным прообразом прп отображении числового множества В множество тех в, для которых $(<В)ен В. Обозначая полный прообраз В через $-!(В), имеем й-1(В) = (в: $(в) еп В).
Из свойств полных про. образов (О) = Я, $ ф) =И (гг — прямая), В ' (П В.) = П а '(В.). В 'Я В.) = Ц а '(В.) $ '(В1~,В,)=$ '(В!) — $ '(В,) следует, что совокупность $ — '(В) для всех борелевских множеств В епЯ является а-алгеброй событий иге с:-,ср. Мы будем называть .Фа о-алгеброй, порожденной случайной величиной 5. Можно установить, что Аа порож» дается множествами вида (в: $(в) < х) и состоит нз событий А впдз А=$ !(В)=(в: $(в)ен В), где Ве= Я.
Ниже мы покажем, что для каждого В~ Я определена вероятность РЦы В), которую мы будем обозначать Рг(В). ь).переделение 4. Функция Ре(В), определенная для всех "В'Й Я, назйвается распуеде»геггие»н аералхиастей случайной величины й. С помощью (4) — (6) можно выразить вероятность еобь!тпя Дев В) для борелевских множеств В, предста. внмых в виде-конечной суммы интервалов вида (3), В теории меры доказывается следующая Теорема Каратеодори.
Если на алгебре Фе подмножеств И определена вероятность Р, удовлетворя!си)ая ахсиол!йии 1', 2, 3' (причем аксиома счетной аддитивности 3' формулируется так: если попарно несовместные А, е:! гсгс и А= )'„А„ен срс, то Р(т!) =- а-! = ~, Р(А„)), то зту вероятность можно однозначно продолжить на есе множества из о-алгебры .Ф, порожденной ЛРО '). Нетрудно видеть, что числовые множества, состав. ленные нз конечных сумм полуннтервалор (хь ха1, образуют алгебру Яе.
Эта алгебра порождает а-алгебру борелевских множест~ Я. Если задана,дфункция распределения р~(х), то она удовлетворяет условиям (7). С помощью формулы (4) н аксиомы аддитивности мы можем по этой функции распределения определить знз. чення вероятностей Ра(В) = РД ев В) для всех В г=гЯс. Можно доказать, что распределение вероятностей Рг(В) а-адднтивно на алгебре множеств Яе. Отсюда и из теоремы Каратеодори следует, что с .помощью функции распределения (2) мы можем получить вероятность события Д ен В) для любого борелевского множества ВеЯ. Итак, распределение' вероятностей Ра случайной величины $ одиозна що определяется функцией распределения- ра. Таким образом, каждая случайная величина $ дает такое отображение 5=Цв) множества И в числовую прямую Й, которое порождает новое вероятностное про. странство (Я, Я.
Ра). ') Си., например, Ха ам с ш П» Теерии меры. — Мс ИЛ, 1953. за гл, а случАиные Величины (оещин случ»н] Из равенства Р($=х) =Р(х) — Р(х — 0) следует, что в точках разрыва фуякции Р(х) имеет место Р(з=х)>0. Так как при каждом целом п может быть не более п точек х с Р$=х)~11п, то у функции Р(х) имеется не более счетного числа точек разрыва, Обозначим хь х», ... все точки разрыва Р»(х)'. Если вероятности Р(а=х»)=р» таковы, что ~ р»=1, то »-! мы говорим, что сх)!учайная величина $ имеет дискретное распределение, Примерами дискретных распределений служат: 1) биноииал»ное Р(е=й)=С,'р (1 — р)" », й=О, 1, ..., п; 0<р<1; 2) пуассоновское Р(в=й)= — „е ', й=О, 1, 2...; 0<а; Э) ееомегричесное Р(5=Ц= р(1 — р)", й=О, 1, 2, ..., О <р < 1, Мы будем говорить, что функция р(х)= рт(х) есть плотность распределения случайной величины $, если для любых х1 <' х» х1 )а(х, <5 <х)= ~ рт(х)дх. (8) х~ Из определения (8) следует: 1.
Р'(х)=р (х) в точках непрерывности р!(х); х 2. Р!(х)= ~ р1(и)ди; 3. Р1(х») — Р»(х1) = ~ р1(и) аи для любых х, < х», х, Если распределение имеет плотность р1(х), то мы будем говорить, что случайная величина $ имеет абсолютно непрерывное распределение. Через плотность р!(х), можно выразить любу!о вероятность Р(в ев В), % И. СЛУЧАННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛГНИЯ НЗ если мы умеем вычислять интеграл по области В в сле- дующей формуле: Р (а ~ В) = ~ р»(х) дх. (9) р(х)~0, $ р(х)с1х=1, (10) которые легко устанавлива1отся из определения (8). Функции от случайных величии. Пусть я(х) отобра. жает действителы»ую прямую 1с в себя, Для л»обого Для множеств В, равных сумме интервалов, интеграл (9! вычисляется обычным способом. Для того чтобы равен- ство (9) имело смысл при любом борелевском множе- стве В, нам нужно обобщить понятие интеграла, пе- рейдя от интеграла Римана к интегралу Лебега (с».
гл. 7). Отметим, что существуют непрерывные функции рас« пределения Р(х), не имеющие плотностей. Примером такой функции служит канторова функция Р(х), кото- рую можно определить равенствами Р(х)=0 прн х »~ ~ О, Р(х) = 1 при х » 1 и 2 ( ) ' 1 3 ' Р( )= 1 з --."-- Т 1 2 ~ я + з Р(Зх — 2) прн з ~<х»<1. 1 1 е Непрерывные функции распределсния, не имееащне плотностей, называ»отея сингулярными В общем случае любая функция распределения Р(х) представима в виде ' Р(х)=а Р (х)+а»Р»(х)+а»Р»(х),: где а; ~ О, а!+ а»+ а» = 1, Р! (х) — дискретная функ- ция распределения, Р»(х) — функция распределения, имеющая плотность (такие функции называ1отся абсо- лютно непрерывныжи), Р»(х) — сингулярная функцня распределения, Плотность распределенняр(х) обладает следующими двумя свойствачи. вб Гл 6 случАйные Величины !Овп!Нй случАЙ1 Вы В полный прообраз у-1(В) определяется как мно- жество тех точек хй 1(, для которых у(х)в=В.
Определение 5. Функцию д(х) назовем борелсв. с ", .слн для лю ого борелевского множества Вену) полный прообраз у-'(В)е=-М, т. е. тоже борелевскнй, К множеству борелевскнх функций принадлежат, в частности, непрерывные и кусочно непрерывные функ- ции. Теорема 2. Если $ — случаднаявеличина,а у(х)— борелевсная функция, то ц = д(Ц есть случайная вели- чина. Доказательство.
Рассмотрим т!=т!(А1) как сложную функцию 11 =у(В(а)). Пусть Вен Я. Так как у(х) — борелевская функция., то д-1(В)=В1ЕЕМ. Так как 11-'(В) = ~-'(В~)селе, то 11 †случайн величина. Рассмотрйм''два 'примера вычисления функции рас- пределения Р„(х) и плотности р„(х) случайной вели- чины т! = у($) по функции распределения Р1(х) н плот- ности р!(х), Пример 1, Пустьфункция т! =у(Ц монотонновоз- 'растает, у-1(х) — обратная функции, Тогда Г„(х) = Р (т! ~<х', = Р (у (~) = х) = = — Р(ЕЕ:,д '(Х))1 в » Р1(у '(Х)). (11) Дифференцируя (11) по х, имеем (если д(х) дифферен- цируема и имеется плотность ра(х) ) Р,',(х)=Р„.'.
(у '(х)) — ~-у„— —, откудз получаем соотношение между плотностями: ! Р,а1=у~.тд~~1а '!~О. В 1зстпости, прн д(х) = хз ямеем рч(х) =. 2!3 рь[(1х)' Пр н мер 2. Пусть й(х)=х', РА(х) — непрерывная функция распределения с плотностью ре(х), При х ~ 0 нз равенств Р„(х) = Р (ц < х) = Р й' »= х) = =Р(-ъ" <е<~/х) =Р$Ь/х) — Ре(- Ф) Ь Н. СЛУЧАННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ и! получаем р„(. ) = —,, ' ЬЕЬ5 )+ р1С вЂ” ~х)) Рассмотрим несколько примеров абсолютно непрерывных распределений. 1, Нормальное (илн гауссовское) распределение. Мы говорим, что случайная величина $ имеет нор мальное распределение с параметрами (а, в), — аа» а» аа, а ~ О, если она имеет плотность 1у-ая ! ре(х)= =е чая в Нормальное распределение с параметрами (О, 1) с плот. постыл м ! (х) е ч А/ЕП иазываетсн стандартным.
Плотность р(х)' удовлетворяет условию [ р(х) дх = — ~ е ' дх = 1. 2. Равномерное распределение. Мы говорим, что случайная величина $ имеет равно- мерное распределение на отрезке [а, Ь1, если ее плот- ность имеет вид ~ С при а» х<Ь, рч(х) = ч 10 при х<а или х>Ь, ФО ь Из условия ~ р(х)ах С)ах=С(Ь вЂ” а)=1 следует ! С= —, А-в ' 3. Гамма-распределение. Распределение с плотностью О, х<0, рт (х) = 1 а а-1 — е "" х~О 1 г(в) > " Ф 9З 2 22, МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 99 ГЛ. В. СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ |ОБЩИН СЛУЧАИ| Где а 0 и А ~ Π— параметры, Г(а) — гамма-функция, называется гамма-распределением. Плотность р»(х) с а = 1 называется плотностью показательного распределения. 5 26, Многомерные распределения Часто приходится рассматривать на одном и том же вероятностном пространстве (!1,Ф, Р) несколько случайных величин $1, $2, ..., $ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
