Полезная книга (543702), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Интеграл Лебега по множеству Ь зь оормулы для ВычислениЯ (16) (14) стаеннма $08 гл. г. ИАтемАтическое ожидание Переходя в (13) к пределу по тт-з. оо и применяя след- ствие 3, имеем М6 — н~< 1нп М~„< 11гп Мй„н-Мй+е. Поскольку н ~ О произвольно, отсюда получаем (12). 3 31. Формулы для вычисления математического ожидания Как мы уже отмечали в 3 27, случайная величина 5 = $(от), заданная на вероятностном пространстве ((т, Ф, Р), с точки зрения ее вероятностных свойств вполне характеризуется своим распределением вероятностей Рм поэтому ее можно рассматривать определенной на вероятностном пространстве (гг', Я, Рь) функппей $ = й(х) = х, хыте. Отсюда можно сделать вывод, что математическое ожидание М$= ~ $(го) Р(с(го) на самом деле не зависит от вида функции $(от), нт ~ Й, а зависит только от распределения вероятностей Ра.
В самом деле, для неотрицательных случайных величин имеем М$= Ипт Мнп, где а+оо М$а =,~, -ен — Р ( кч — Ан- < еь (ст) <, — ~ . А-~ Эту сумму можно выразить через закон распределения Р;: л М$н = ~~~ ~-хн-Рь (( ча йа~~ (!5) А-1 Предел 1пп Мз„в (14) мы обозначали как интеграл Лсбега в(от) с(Р(от); тот же предел в (15) будет интег- ралом Лебега х 4РА(х), который такхсе называют ин- тегралом Лебега — Стнлтьеса и обозначают ~ хс(РА(х), е Применяя то же рассуждение к $~ и 3, мы получаем выражение для В =$~ — $: зависятцее только от распределения случайной величины $.
Если М$ конечно, то в формуле (16) мы можем по. нимать правую часть как несобственный интеграл Римана — Стилтьеса (в этом случае он сходится абсолютно) . Интеграл Римана — Стилтьеса от я(х) на конечном отрезке (а, Ь) по нсуоынающей функции Г(х) с конечным изменением г(Ь) — Г(а) определяется как предел Ю а-! а (х) аг" (х) Ню,) Л(хе) (Г(ха+,) — Г(хе)], а А П где х а+ — Й, А=о, 1, ..., и, ха< ха<ха+,. несоо- А д интеграл ~ я (х)аг"(х) определяется как предел Ь,п ~ а(х)НГ(х) Если Г(х) имсстпРонзаоДНУЮР(х) н Р(х ) а-г — <г 3 х р(хг) ~ р(и) Ии для всех а <х' < х" ~ Ь, то ~ а (х) дГ(х) к' $ я (х) р (х) их.
Выведем формулы, по которым вычисляются М$ и Му(ь) для непрерывных случайных величин Гл е МАТРМАтическос О«к!од«иий 1ю 2 3! ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ Доказательство. !212! будем предполагать, что плотность р (х) = р(х) ннтегрнруема по Риману и спра. в в (17) стоит несобственный интеграл Римана (доказательство остается справедливым н для интеграла Ле.
бега). Рассмотрим сначала неотрицательную случайную ве. личину $ с,функцией распределения О при х <О, Р(О) яри х О, р(О)+ ~ р(и)!«и яри х > О. о 'Р (й ~,"х) Рг(х) = Г « — 1 » 1 Обозначим А» =) — „<$2!~.~ — „-1 и введем последовательность простых случайных величин $„Я вЂ” уг- ул'„. «! Тогда М$ Ипо'М$л, Имеем л.+ л „2' Мо' Мол ~~' -ф. ~ р (и)2(и !« — !1!2 л Ь2" Фа хР(х)22х "о~ ол ~',-р ~ р(х)2(хи~~ хр(х)г2х, о «! М-!Х2 о Теорема 4. Если случайная вел!саина й имеет плот- ноль р,(х) и ~ )х ~р (х)а2х < оо, та М,'~ ~ хро(х)!Ух. (17) Переходя в неравенствах л л о хр(х)с(х — Ял (М$л~ ~~ хр(х) 21х о к пределу по п-~со, устанавливаем справедливость (17) для неотрицательных случайных величин.
В обгцем слу. чае $= $+ — $- и $+ и $- имеют распределения вида (! 8) с плотностями (при х > О) ро+ (х) = р (х) и р „(х) = =р( — х). Имеем РЦ'= М$+ — М$ = ~ хр(х)2«х — ~ хр(-х)а2х= ~ хр(х)22х, о о О Те о р ем а 5, Если й имеет платность ро(х), функция й(х) непрерывна и интеграл ~ ~ д(х)1р (х)г(хсходится, та Ма(й)= ~ а(х)р,(х)с(. Дока з а тельство. Сначала рассмотрим непре. рывные функции д'(х), равные нул2о вне интервала '(а,61.
Для каждого и = 1, 2, ... положим х,«=а+ + — й, О . при х<а или х> Ь, йл (х) д(х «) при х„,«, <х<х„«. Пусть е > О. Тогда найдется такое по, что для всех и „=;о по и всех х е='(а, Ь) спРаведливо неРавепство (у,(х) — д(х) ~< а, т. е. й!„(х)-«.д(х) при п-о.оо рав- номерно по х. Кроме того, при и ~ «и, ! Пл (х) ~ <( й! (х) 1+ о, и й'(х)' ограничена. Применяя теорему Лебега о мажо- рируемой сходимости, имеем Ипт Мд„(5) = Мй(3). (2О) ыз «М фОР«П»ЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ !!2 гл. е млтвмлтичвсков ожил«нив (22) С другой стороны, О х„« Ь Мд„(В) = ~~» я(х„«) $ р(х)»(х = $ й„(х) р(х)Ых.
"О «-~ а Отсюда и из неравенства )д„(х) — д(х) ~ ~ ~е имеем при и > и« 1»( )»»*И вЂ” »Ои.а+. Отсюда и нз (20) получаем равенство (19). Рассмог. рнм теперь неотрицательные л'(х) > О. Положим (»г(х) при !х!~»«, л;»(х)=~ 1~ 0 прн !х!>и. Случайные величины г!О = д„(Д монотонно сходятся 1 — дД), поэтому по теореме о монотонной сходимости Мд„($) ! Мд(з), Отсюда и из и ОО Мй«Я)= ~~(х)р(х)Нх-« ~ л(х)р(х)о»х -х -ОО следует (19) для неотрицательных д(х). В общем слу- чае «(х) = д+(х) — п-(х), где д+(х) = щах(л (х) О), ~»- (х) = — щ(п(д(х), О). Имеем Мя(з)= Мд+(з) — Мд ($)= = ~ д+ (х) р(х)»(х — ~ и (х) р(х)»(х = ~ я'(х) р(х) дх.
Ф Теорема доказана. Теоремы 4 и 5 почти так же доказываются и в слу. чае пранзвальнога распределения Рт(х) с заменой (17) и (!9) на интегралы Стилтьеса (Римана — Стилтьеса): М$= ~ хдР!(х), (21) Май)= $ д(х)»(р«(х). ОО (23) причем равенства (23) и (24) имеют место, когда ряды сходятся абсолютно. Замечание 1. Формулы (19), (22), (24) справедлины и в более общем случае, когда борелевская функ. ция п(х»...., х„) отображает К"' в )с'. Пусть случайный вектор $=($Н ..., $ ) имеет функцию распредеиия Г« ~ (хн ..., х ) и платность р «(хн ..., х ) (еслн она существует). Тогда имеют место следующие формулы для вычисления математических ожиданий: Мд(~н ..., В )= ... ~д»(хн ..., х )»Кр (хн ..., х ), =1 ° ОО Майн .
$ф)= ... ~ й(хн ..., х ) р (хн ..., х )»(х, ... С»х„, Доказательство аналогично тому, которое проводится в случае формул (19), (22), (24). Замечание 2, Прн вычислении математических ожиданий М$, МйД) очень часто используются приемы, позволяющие обходить формулы (16), (17), (19), (22) — (24), тем более, что нередки случаи, когда закон распределения либо очень сложен, либо вообще не выписывается в явном виде. Один из таких приемов состоит в том, что случайная величина $, математическое ожидание которой мы собираемся вычислять, представляется в виде суммы более простых случайных величин ,(например, индикаторов): 5 =01+ОО+ ...,+О и да- Равенства (21) и (22) имеют место, когда интегралы сходятся абсолютно. Для дискретных случайных вели.
чии (21) и( 22) переходят в ряды МВ= ~'. х«РЦ=х«), «-1 Мд($)= ~ 9.(х«) РК х«), (24) ЗАДАЧИ пв 114 Гл. 1. ИАтемдтическое ожидАиие лее используется адднтивпое свойство Мт = М6, + Мйв+ + ... + Мйм. другой прием чвычисления математиче. ских ожиданий связан с использованием производнщих н характеристических функций (см, гл.
8 и 9). В 3 13 мы изучали некоторые свойства математи. ческнх ожиданий в конечной схеме. В этой главе мы установили, что математическое ожидание М$ в общем случае обладает теми же самыми свойствами, если толь. ко предполагать в соответствующих местах существование нли конечность Мй, Так же, как в гл. 3, в общем случае определяются моменты Й-го порядка, центральные, абсолютные и абсол!отные центральные моменты, в частности дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Доказательства неравенств Иенсена, Коши — Буняковского, Ляпунова, Чебышева, данные в гл. 3. легко переносятся и на общий случай.
Аналогично доказа. тельство теоремы Чебышева (закон больших чисел) и $18 дано в такой форме, которая годится н для общего случая. Мы будем в дальнейшем пользоваться этими результатами, нс проводя здесь еще раз доказтельств, которые были даны в гл. 3 в конечной схеме Вычислим Мт) и 0т) случайной величины т), распределенной нормально с параметрами (0,1); «ь г Мт) = = ) хе ' с(х = О, ,~Ы 3 ьь Хь хь Мт)т 1 1 хте ' с(х = — лс А/2п .! Ч!ьзп ьь Г += ~ е т с(х=1. ,!2 —.
3 При вычислении 0т) мы воспользовалнсь методом нн! тегрнрования по частям, полаган о =х, и = — =е 2п х' с(о = с(х, ст'м = = е ч,'2п Если т) распределена нормально с параметрами (О, 1), то $ = си) + а имеет нормальное распределение с пара- метрами (а,о) и Мй=а, 0$ ав. Таким образом, параметры нормального распределения а и ст равны математическому ожиданию н среднему квадратическому отклонению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
