Полезная книга (543702), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть Г,(х), Р(х) — функции распределения, 1,(1), 1(1) — соотв~теи!у!цшие И ~ характеристические функции. -Хс.прею~а 3.1(Прямая предельная теорема.1 Если Г,(х)=)ь Г(х), 'тю ~„(11-~-1(!) в каждой точке !о $99. ТеОРемА О непРеРывнОМ соответств!и! !4! (30) Теовем а,Ф(Обратная предсльнаи теорема.) Если 1„(!) схоо!!тс!! в каждой точке ! к некоторой функции 1(!), непрерывной в нуле, 'то Рл(х)=Ф Р(х) и !(1) есть характеристическая функция распределения Р(х).
Доказательство этих теорем 'будет следовать из лем. мы и двух теорем Хелли. Л е и м а 4. Если Р„(х)-!-Р(х) на всюду плотном на прямой л!ножестве О,'то Р,(х)Ф'Р(х). Доказательство. Пусть х — точка пепрерыв. ности Р(х), х',х" них! и х'«х х". Имеем Г„(х)% Рл(х)«Г (х ), и Р(х')= 1ип Р„(х') «1!Гн Р,(х)« л-о оо Л.+ ОО «1!Гп Г„(х) ~«1ип Рь (х")= Р(х").
(29) Так как Г(х') =. Р(х) «Р(х") и разность Р(х") — Р(х') может быть сделана как угодно малой, то из (29) сле- дует !Нп Рь(х) = Р (х), что и требовалось доказать. Л+1о Т Срема 5. (Первая теорема Хелли.) Из всякой еоре а "н последовательности функций распределения (Р„ь! мож о выбрать слабо сходясцуюся подпоследовательность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть В = (хь) — ьс!оду плот- ное на прямой счетное множество. Из ограниче!пюй по- следовательности 0 « "Р,(х!) = 1 выбираем сходящуюся подпоследоватсльиость Р!„(х,), предел которой обозна- чим Р(х!).
Из ограниченной последовательности 0 к: ~ Ри,(хь) =. ! выбираем сходящуюся подпоследователь- ность Рьл(хь)-о.р(хь) и т. д. Далее выбираем диаго- нальную подяоследовательность Р„„(х), для которой Рл,(хь) — ~Р(хь) для любой точки хь ~ О, По лемме 4 отсюда вытекает Р„„(х) =ь-Р(х), 3 а м е ч а и и е. Р(х) может не быть функцией рас- пределения. Например, если Г„(х) = О при х «и и Р„(х) = ! при х ) и, то Рл (х) =ь- Р (х) — = О. Теорем а 6. (Вторая теорема Хслли.) Если д(х)— непрерыенаяограниченная функция на прямой и Р„(х)=:- ьь.Р(х), Г(сь) — Р( — оь) =1, то О ОО Вгп ~ 3(х)йРл(х)= ~ у(х)ЙГ(х).
и-о 342 ГЛ. О. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Доказательство. Пусть а Ь вЂ” точки непре. рывности Р(х). Докажем сначала, что ь ь 1! гп $ и (х) (1Р„(х) = $ и (х) ((Р (х). (31) да(х)=д(хь) на х ~(хь 1, хь), (Ь'2(Х) — аа(Х))~Е На Х,Е(а Ь) Т ь ь () 2(")42 (.)-12(*)42(*)~» а а < ~ ~ Ь" (х) — а, (х) ! 3(Р„(х) + а ь +/$Я,.(Р„~д,2Р +~~ а а »В2':,4-а~К (г„(„,) г(„) де М= — зпр(й(х) (. При и-)- ВО последнее слагаемое к ;ожет быть сделано как угодно малым, откуда и слсует (31). Для доказательства (30) выберем Х: О таим, чтобы Р( — Х)~В/4 и ! — Р(Х)» е/4 и чтоб)х очки ~=Х были точками непрерывности Р(х).
Тогда, ак как Ра(-+-Х)- Р(~-Х)„можно выбрать по такял(, что Ри и > ао Ра( — Х) ~ В/2 и 1 — Р„(Х)». В/2, Оценим Пусть В .к О. Разделим (а, Ь1 точками непрерывности а = хо, хь ..., Ха 1, хь = о функции Р(х) на такие отрезки (хь (,хь), что ~д(х) — д(хь) ~< В для точек х(е: ~(хь (,хь). Это сделать можно, так как () (х) равномерно непрерывна па (а, Ь1, а точки непрерывности ( ) расположены всюду плотно. Определим ступенчатую функцию % ек тВОРемА О непРВРыВнОм соотВгтстяии 143 РВЗНОСТЬ ! 1 2(,)42„(*) — 13( )аг(")~» Х т » ~ 1 2 ( ) 4 г (*) — ( 2 (*) 42 (*)~ 4 2(.)42„(.)|4-~ 1 2()-()~» 1(к( > Х ~(к~>» к х („),(г („)~ 4.3( 4-а~(2. (32) — Х Х На основании (31) заключаем, что правая часть (3', 32) может быть сделана как угодно малой, что и доказывает теорему.
Доказательство теоремы 3. По теореме 6 из Р„(х)=ь-Р(х) вытекает )а(1)=~ еа" а(Ра-ь ~е ккЫ= =)'(1). Моткио доказать, что зта сходимость будет равномерной на каждом конечном интервале б Доказательство теоремы 4. По теореме б из последовательности Р„(х) можно выбрать подпоследовательность Ра„(х) =ь-Р*(х). Докажем, что Р'(х)— функция распределения, т.
е. что Р"(оо)= 1, Р"( — ОО)=О, Для этого мы нсяользуем неравенство ~1(ОВ 2т з ~ 2Л' Р(~ 11< Х) > (ЗЗ) ,. )(1) — характеристическая функ""я ь' ьз частности, при тХ = 2 2) $ 1 ( 2),2 (, (34) ЗАДАЧИ Задачи т — ~ )' (1) Ж % 1 — ~/4. ~ 1 — е/2, 144 Гл, з, хлрдктеоистичг>скин Фуикнии Докажем (33). Имеем 2 3>() " .) 2т Мп тй ~ р4 — ',,; ' ()(111~я) + Гп(1> х)) ~ =- Муий(ей х)+ 1 1 + — х ййуп1 ~ > х) = Р (1$ ~ ~ >Г) + —, (1 — Р () 3 1~ А')), откуда и следует (33).
По предположению Г(1) непрерывна в нуле, поэтому существует такое те ~ О, что при О ~. т ~ те Так как ),(1)->.)(1) в каждой точке 1, то существует такое пе, что при и ) не (теорема 3 3 24 о мажорнруемой сходимостн). Тогда 1РИ тт~ ~по 1 по неравенству (34) з (( $„ ! =-,. 2)т) = =- Р„(Фт) — Р„( — 2! ) - 2 (1 — е>'2) — 1 — — 1 —, ' е Рл(2Ю вЂ” Рл( — Мт) «~1 — н, следовательно, Р'(+со)= =1, Р>( — сю)=О. Докажем теперь, что Рп=з-Р. Предюложпм, что Р„4ьР. Тогда существуют дпе подпос1едовательности Р, =:-Р" и Рл =е-Р*". По примой пре;ЕЛЬПОй ТЕОРЕМЕ )„,-Ь~", ~„.-Ь~'*, НО таК КаК )л-е(, тО =Г=~.
Теорема доказана. 1. Найти характеристическую фупнцпю распрсдоленвл, задавае- 1 (х> мого плотностью †, е > 2. Плотность распределения с,чучайной велнчнпы й задана фор- мулами е — 1 — е, х~о, х 2Г (и) р> (х) = 11 — е" х<0, (х 1" 1 21'(р) е положительными ц и (). Найти харантеристичесяую фуннцню )1(1). 3. Г1усть 1>(1) и 1>(г) — характеристические функции, 0 =" р =. 1. Доказать, что 1(1) = р)>(О+(1 — р)1з(1) тоже будет хараьтерйсти- чесиой 4>унвциеи. 4.
Если 1(т)-харвнтеристнчесная фуиицня, то >хе)(1) танисе будет харахтеристичесхой фуницяей. Доказать, 5. Пользуясь простейшими свойстпамн харантеристичссхих функ- ций, показать, что фуивции,' а) ип й Г>) з(п1+ 1, в) —, г) (соз 11 1 1 + 1>с' не могут быть хараятеристнчеснпми. 6. По>сазать, что характеристическая функции )1(1) случайной величины й есшествениа прн всех 1 тогда н только тогда, нагла распределение й симметрично (т, е, $ н — й имеют одянановые рас- пределения), 182 гл,м, цннтплльнля пнвдвльнля твогнмл злддчи Из (13) фврмально можно было бы сделать вывод, что с помощью как угодно грубых методов намеренна получаются нри болыпнх п как угодно точные результаты.
Вто противоречит здравому смыслу, В чем тут делоу По-видимому, измерение грубыми методами не подчиняется той модели, па основе которой получена фор. мула (13). И,, действительно, при крупном масштабе деления измерительного инструмента нельзя гарантировать отсутствие систематической ошибки. Часто, отвлекаясь от ошпбкн округления, прннимюот, что каждое измерение $! имеет нормальное раг; пределепне с яараметрамн (а,сг). Тогда (13) нз при.
блнжснпого равенства превращается в точное. П р и м е р 2. Логаригрзгиггески-норлгальнос распредвление. В антрополо!т!н обычгю рост или вес человека определенного возраста и пола считают случайной ве. личиной, имеющей нормальное расггределение. Однако во многих случаях. с гораздо болевшим основанием можно считать, что логарифмы этих параметров имеют нор. мальное распределение. Если случайная величина Ч та кона, что $ = !ОнЧ имеет нормальное распределение, то говорят„ что Ч имеет логарифм!!писки-норлгальное распределение, или„ короче, лог-норлгаггьнон распределение.
Лог-нормальности роста и веса можно дать некоторое теоретическое обоснование. В самом деле, вес, напри. мер, получается в результате воздействия многих нева. виснмых причин„однако эти причины воздейству!от на вес не аддитпвно, а мультипликатнвно, т, е. Ч ЧгЧз '''Чи где Ч; — близкие к единице независимые случайные величины. В этом случае и !ояЧ= ~1ойЧг, ! ! и !ОпЧ в силу центральной предельной теоремы имеет в пределе нормальное распределение. Пример 3. С помощью центральной предельной теоремы можно доказывать и чисто аналитические фак.
ты. Докажем, например, что и ие 1 лг йг й' Цш е-и ~' л-о Задачи 1ч В предположсгппг, что размер ггзного шага пешсходя рзвпо. мерно рзспределен в интервале от 70 см до 80 см и размеры рве* ных шзгов иезявнснмы, найти вероятность того. что зз !О ООО шагов он пройдет расстояние не менее 7,49 км. н не более 7,5! км, 2. Пусть случяйнъгс величины йь йг,... независимы н одинаково рзспределсяы. Мйг=о, Мйг=1, Показать, что для последовательности т ггй!, хгйг °... Хчем ..., где Մ— шсловзя последовательность, удовлетворяюшзя условию шех Хе -~-О и л=! (1 4) спрзведливе цептрвльнзя нредельняя теорема.
Построить пример, покззыяяюшнй! что прн нарушении условия (14) центральная пре- лельнзя теореме может не выпошшться. 3. Случзйные величины нг, $г, йи, ... независимы н имеют следуюшве рзспредслспия: Рйи и"1-р(йи-- !")= —, 1 йир ' Р!8.-01-1- —. 1 ир' При кяких и и р выполнено условие теоремы Ляпуиовя? 4. Случзйпые величины 5„Ч, независимы и имеют пузссонов- скне рзспределення с Мчи — — Мчк Хи. Найти и р1 1" "";х~.
и-г гг б, Случзйные величины йг, $г, ..., йю ... независимы и равно- мерно рзспрсдслены нз отрезке (О, 11. Нзйтн вероятность того, что гез Цяз< — „, ° 10 д ! В самом деле, пусть ~„есть случайная величина, имею. щая распределение Пуассона с параметроы п, Тогда и Р Юи(п) =л-,'. — "„',. я ! Поскольку С„=$г+ ...
+ й„где $з незавпснмы, гг(Кя- — ! и распределены по закону Пуассона, то ьи асимптотически нормальна с параметрами (и, 1ггг)', поэтому Р(си» гг)-+1!2, 5»э. опРеделение и пРостеишие свойства 1вв Г л а в а 11. МНОГОМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИС1'ИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ й 43, Определение и простейшие свойства Пусть случайный вектор а =(»ьг..... Е») имеет много.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
