Полезная книга (543702), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1 — 2з, следовательно, Г(Л)с з, Г (Л) ( 2е. Далее, (9) вытекает из (1О) и ! !сссо — !сс ~~(!ссс„— (ссс~.> ло -> ! ссс. ~ (- ~ ! с сс ~(с.с(-С ~ ! >с>. ! ссс ~, 1Х ! ~Ь !л Ь Доказательство тс о р е м ы 2. По второй теореме Холли из Р' (х)=Ъ Г(х) вытекает)„(Г)= ~ е(" сч(!Р„-+ л" -+г(!)= ~ е'(' 'с!Р в каждой точке с ен )с'.
Нес(( трудно доказать, что скоднмость равномерна на любом ограниченном множестве й Доказательство теоремы 3, По первойтеореме Хелли из Р„(х) можно выбрать подпоследоаатель- исеть Рл,(х)ФР" (х). Надо доказать, что Р*(х) — функ- ция распределения. Это вытекает нз неравенства Р(!з„):с Х, а=1, ..., й)~~ ~ ! (!) (!! —— ,:,> тх 1 1 —— тл В частности, при тХ = 2 Р((1а1:=-Х> .— 1, „й)Ъ > 2 —... ~ ...
) !'(!) с(с — 1, (12) Докажем (11). Пусть А = (!са(( Х, сс = 1, ..., (с). Имеем — ~)'(!)Ш = —,, ~ ... ~ Ме((с с(с(( -с -1 — с — с ("" "с> =~иП ""'"'((.->Ы)~ -с -с т1„ .:Р(А)+ —,х (1 — Р(А)), откуда вытекает (! 1). По предцоложегцпо 1(!) непрерывна в нуле, следонательно, для любого а~ О существует такое то, ч(о при О~т~то Так как К„(1)->-)(!) в кал.дой точке 1, то существует такое по что прн и =-.
по с с !... ((,(>(с> — !... !((>(с>/ с'-'Е. -с — с сходи мости) Тогда ~)1 — — ' и по нера« 2 — ~ ) (1)!14 при л% ло 1з 1 Ы?=в (13) о ... о О 1!м ... О О О ... ВАА =В, 4(„„>0. 7огда а Е Лаа а 1 (1)=в '"-' "" (14) 1О4 Гл. и, м1!ОГОмГРныв хлРАктеРнстическиГ функ!И!н (теорема 3 5 30 о мажорируемой венству (12) Р ( ~ с„а ! —, и = 1, ..., 14 ~ ~~ 2 (1 — ~ ) -а —.! = 1 — е, слсдователыю, Ь'(4тв) = 1. Докажем теперь, что Г"„=ь Р.
Предположим. что В чЬВ, Тогда сущсству1от две подпоследовательности г" =ь- )т' п В„и=э- В". По прямой предельной теореме „,-э.)" Н Г,„— ь7'", НО таК Кан ПО УСЛОВИЮ ТЕОРЕМЫ )„-ь), то ~"=)ва=) И ПО тЕОрЕМЕ 1 Р*=Ь'". ТЕОрЕМа доказана. 5 46. Многомерное нормальное распределение н связанныс с ним распределения Ь(ы будем говорить, что случайный вектор = (с1, ..., $4) имеет норл1альное (илн гавсвоеслое) рас.
пределенне, если его характеристическая функция имеет вид где а =(а1, ..., ае) — вектор, а В =ЦЬаОЦ вЂ” симметрия. ная 14,!4', я-матрнца пеотрицательно определенной квад- ратичной формы (В), 1)= ~ Ьарта)В- О '). Мы будем а,)1 ! также говорить, что случайный вектор с характеристи. чсской функцией (13) (а, В)-норсиалвн. Из (13) следует, что каждая компонента с имеет характеристическую функцию Наа ьа<, 1, (1)=в а и т.
е. нормально распределена с М$а = аа, 0$а =Ьаа, Далее нам удобно будет перейти к центрированному ') В случае В О распределение (!3) вырождается в константу а. В этом выром!денном слуяае распределение также удобно прн. чнслять к нормальному, $46. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРНЦГЛГНИВ !ОО вектору $ = $ — а, для которого Поскольку конечны все Мса, то конечны и смешанные мюменты МЦ, понтону их можно вычислять с помощью производных характеристической функции в 1=0. Г1о- лучаем о 1, <о) Сот(са йв)=Ме(Др= — —.' =Ь а в таким образом, В = )!Ь„р!) — зто ловприационмая лщгри!4а (Е1, ..., Ы.
Далее мы будем $ обозначать просто 5, Одно из важных св. йств нормального распределения состоит в том, что любое линейное преобразование П=Сс нов. малько распределенного вектора з с Ма=0 н)~ Сот(о„$ф = =В приводит к нормально распределенному вектору т) с Мт)=0 и ))Сот(т)„т)в)~)=СВС", Это следует из свойства 7) $43, по которому --'!ВС 1,С 11 — — '1СВС 1,0 ~п(!)=Га(С"1)=е ' ' =в ' Пусть С вЂ” такая ортогональная матрица, что т. е. т)1, ..., т)л независимо распределены, причем при даа ь 0 ца имеет нормальное распределение с параметрами (О, ~/с!аа), а при с(аа = Ос вероятностью 1 т)а = О. Если матрица В имеет ранг Й, то матрица В также Выест Ранг Ь, т. е.
все даа ~ О, В атом слУчае т) имеет 1ва Гл и. много»!КРиые х»Р»кткРистичГГкив Фут!кпии Ч ЕК МЦОГОМЕРПОЕ ИОРМАЛЫ!Оа РАСПРГЛЕЛГГИ1Е 157 й-мерную плотность рч(у! ° ° ° у») = >, " ы 1 —. (и" !» Р) „(2,~„. (2, ) "х чу>1 Поскольку»= С-'»1 и (С)=1, то по формуле (2) из $43 --,,' (и-!сх, сх) Р1(х) Р,(СХ)— 12 1»х 1 —, (сап гсх, «1 1 —, (з !х, х) ! (2И)»а '»(! з 1 (2и)»сх 1((1 так как  — '= С'0-'С, (В(=(»)(.
Нормальное распределение (»ь, »») с плотностью (15) называется нсвырожденныл. Если В диагональна с одинаковыми диагональными элементами, то нормальное распределение называется сферическим. В этом случае плотность (15) зависит лишь от расстояния точки х от начала координат. Если же ранг Г матрицы В меньше й, то ааа~ 0 для а = 1, ..., Г, ((,.»г,,+! —— - ... —— А» = 0 (при соот. ветствующем преобразовании С). В этом случае, как уже говорилось выше, Р (х),, =... =т)» — — 0) =1, т. е. все распределение сосредоточено на пространстве меньшего числа измерений, определясмого равенствами саа»а=О, а= — Г+ 1, ..., й. а-! Выбирая иа этом подпространстве координаты с,а»а, а = 1, ..., Г, мы получаем, в силу (14), !! -! на этом подпространстве плотность ! «х» 1 а х (ч! ...ч,( 1~ ° ° ° ~ х)=,н ( В этом случае нормальное распределение называется вь!рожденным, Если мы в общем случае Г (х к случайным величинам т)1, ..., Г), применим еще линейное преобразова- нне Оа т(а/''э(йаа так что (01, ..., Ог) .
будут неззии. симы и (О, 1)-нормальны, то мы приходим к слсдуам щему утверждению. Теорем а 6. Для того чтобы случайнь!й вектор: ==. =(»1„..., »») бь!л нор иально распределен, необходимо и досгато !но, чтобы имело место представление х ».= Х у.ь0~+ ., а-! еде (йа~Я вЂ” некотораялатрииа, М'.„=а„а О!...„О,— независил!ые нормально распределенные случайные ве- личины с парамггграл!и (О, 1). Одно из самых важных свойств нормального рас.
пределения состоит в том, что опо выступает в роли предельного распределениядля достаточно общей схемы сумм независимых случайных векторов. ййы докажем здесь методом характеристических функций следуюгцу!о предельную теорему. Теорем а 7. Пусть»„»м..., »а, ... — последова- тельность независимых од!!»!ахово распределенных случай- ных векторов»а= — (» „..., »а») с М»,(,=0 и конечныл!и Сот(»аа, »,а)=(»аа. Обозначил»а =-», + ... +»„.
Тогоа 1 ~а !и! функция распределения случайного вектора»„= слабо сходится к»горл!алькой функции распределения г ну- левыми мате,магическими ожиданиями и л!атрийей ковариаиии В=!! Ь,а !1, Доказательство. Обозначим ('(() характеристи- ческую функцию =.„= „-„— а. Поскольку М»а = 0 и М"„,„»„=в,„, то по свойству 9) $ 43 = — — ((аа(,(„+ О~1). а, !! —.! Поэтому при л!обом ( откуда„а силу теоремы 3 !ь 45, следует доказываемое утверждение, $58 ГЛ.
И. М!1ОГОМСРНЫЕ ХЛРЛКГЕРИСГИЯ1ГСКИЕ ФУНКЦИИ 5»6, МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РЛСПРЕПЕЛЕНИЕ !ЕВ Ясно, что из (1б) вытекает справедливость аналогич. ного утвержденна для конечных сумм таких прямо. угольников н для множсств, которые можно приблн.
вить этими суммаме. Другняли словами„для любого измеримого по жордану множества А с Р(»~дЛ) =О, где дА — граница Л, прн ~„~ Г Р (~„~ Л) — Р К ен А). (17) Можно доказать, что (17) справедливо для л>обого бо. релевского Л с Р(ь ее дА) = О, Так же, как в одномерном случае, мы используем обычно предельное соотно. шение (17) в допредсльной форме, считая, что при достаточно больших и левая часть (17) приближенно равна правой. Сферическое нормальное распределение.
Как уже го. ворплось выше, распределение с=(К>, ..., 5») с плотностью (18) ь1асти!я!м случаем этой теоремы является Теорема 8. !7усть 5=51, ..., с») имеет полино- А»вильное распределение с вероятностяяни исходов р = = (р>, ..., р») и и испытаниями. Распределение вектора (е — пр)1 Л(п при п — со слабо сходится к нор. А>альноляу с нулевым среднил! и митричей ковариаиии '1~6 тра — рарл>~, еде б, а — символ Кронекера.
Доказательство. Случайный вектор В представим в виде суммы ти+т>,+... + т>„независимых вектороа т>а (Ча1я Ъ>аая я 11а»)я ГДЕ т>аа — — 1, ЕСЛИ ПрИ а-М испытании произошел исход р и т>, — — О в противо- ПОЛОжиОМ СЛуЧаЕ. ПОСКОЛЬКУ й>)т>аа —— ра Н СО»(т>аая т>ат)= == Раб„— РеР, то пРименема теоРема 7, откУда и следУет утверждение'. 3 а м с ч а н и е 4. Иэ слабой сходимостн ~, к пре. дельному вектору ь следует, что для любого прямоугольника непрерывности Л предельного распределения Р (ь„ее б) — » Р (с ~ Л).
(16) называется с!рерия>ескил нормальным распределением. Это распределение инвариантно относительно любого ортогонального преобразовании т> = С$, так как а' ая — — !с 1, см> —,и, с> ~„(1)= Га(Са() =е» Е а т. е. >ч(Г)=)т(1)'. Из сферического нормального распределения мы выведем несколько стандартных распре. делений, имеюшнх большое значение в математической статистике и других приложениях теории вероятностей.
р„'-распределение. Рассмотрим сферическое распределение с и = 1. 11айдем распределение случайпсй величины ухе = ь! + ° ° ° + ь»~» Найдем сначала плотность Рх (х)слУчайной величины 1(» (она пам понадобится дальше). Вероятность события х (у» ~ х+ дх можно получить из й-мерной пормалья ной плотности (18) с в=!, интегрируя ее по й-мерному сферическому слою радиуса х и толшины с(х.
В результате, поскольку (й — 1)-мерный объем (й — !)-Мерной сферы радиуса х пропорционален х»"', получаем р (х)=С»х» 'е Для определеш>я С» воспользуемся тем, что по свойству плотности ~ р (х) с(х = 1, откуда получаем Х>, Оя „я » С»~х 'е ' 1(ха 2 Г( — )С»=1 х» ' р ( )= е, х~0. (19) г' г© ЗАДАЧИ 17З Задачи Р( р ~~~: х~= Р ! Я-1 я+Р Ц и о е с)ис( . Ртч 2 2 ГЯГЯ я -»л Р Р+Р и о е Г)ис(о= -„ел И>Е, Р>О --1 Р р Р+ч с(у +у) 172 Гл. н.
мнОГОмеРные КАРАктеристические Функции Обозначим Р ат а Г РЕ 2 а=1 Распределение РР имеет плотность 'й)'(й (4+ля) — "' ' н называется 12-распределением Фи!иера, Для вывода (23) воспользуемся тем, что ~ Р есть отношение двух независимых случайных величии, имеющих распределе. иие )(2 с р и с) степенями свободы соответственно, По. атому м „.РЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
