Полезная книга (543702), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вычислим Мй и 0$ равномерного на (а, Ь1 распре. -деиения. Имеем Мй — ) хс(х= —, 1 Г а+Ь Ь вЂ” а) 2 а Ф Ьь — ав Ьх + ай + Ь' 7 — а Вь " 3(Ь вЂ” а) 3 а М Ьт+аЬ+а' (а+Ь)' (а — Ь) 3 4 !2 Вычислим Мй и 03 гамма*распределения! Ма = ~ в-" Фх = — и'е' " с(и =— йах" ! Г Г(а+1) а Г(аь! ' ЛГ (а) л) АГ (а) !ь ' о в ьь ььь ) в„в+! 1 М"' —" "" с( Г (а) А'1'(а) 1 Г (а+ 2) а (а + !) 0~-М~' — (М~) -Х,+,' — Ф=Г. Задачи 1, Случвииаи величина й имяот нормальное распределение с параметрами (О, о). Найти се момеиты М"", 2.
Нийти Мв й для случайной величины й в влдаче 1, 3. Вычислить Мй" ььри иатурвлтльом л, если й имеет нормльььиос Ьяспрсдслсиис с ыв(ьлмстрами (а, о). 4. Случайиыс вслпчииы 31 ь 1, ..., и, иевлвисимы, м1! аь Рй; от~'. найти диспсрсию Очьп тдс ь)л й!тт... йх. й. Нсотрицатсльныс случвйиые всличииы вь, ..., $, исвавпсимы и одинаково Ьиспредстьсиы. Найти митсмвтичссхоо оисидвиив МЧ А случайной величины для которых (2) 116 гл. т. мАтемАтическое ОжидАиие Ф ~ч,$ +пи ( ( гле и " 0 — константа. а.
Случайная величина й имеет г-распределение с плотностью Аахе 1 А„ е ~, х ~0. Найти М1а. При каких Р ато математичесисе 1' (а) оя(инанне конечно? 7. случайяые величины (й, ч) — это координаты равномерно распрелеленпой точки в круге ха+ус ~ («я, Найти нх математические ожидания н дисперсии. Г л а в а 8. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ й 32.
Целочисленные случайные величины и их производящие функции Дискретную случайную величину $, принимающую только целые неотрицательные значения, будем называть целочисленной случайной величиной. Закон распределения целочисленной случайной величины определяется вероятностями рл Р Я н), н = О, 1, 2, ..., (1) Закон распределения (1) удобно изучать с помощью производящей функции, которая определяется как слс. дующее математическое ожидание: «р, (з) Мз'. Через закон распределения (1) производящая функция выражается суммой ряда ~ю «Р1(з) = Х, Р,з" (3) который абсолютно сходится при 1г) ~ 1.
Поскольку р„= — 1«р(а1(О), а=О, 1, 2,..., (4) то между законами распределения (р,) и производящими функциями равенства (3) н (4) устанавливают взаимно однозначное соответствие, Определенная рядом (3) производящая функция назынается иногда вероятностной яроазводящейфункциеи.
Лроизводящейфункцией аз). Фактов))альныа момниты 'гл. к птоизводяшиа езнкции 118 (5) а, + а,з + аззз + . (7) аазп «р (З) = л) — Е ' = Е' 1'-'). — 2. ь-О (3) (й) л!сбой числовой последовательности аы а«, ам ... назы. нается сумма ряда если он имеет ненулевой радиус сходимости. Из (2) следует, что вероятностная производящая функция фх(з),' в точке з = 1 равна 1, Вычислим производящие функции распределений некоторых целочисленных случайных величин. 1) Биноииальное распределение. Й и)) Сера, и) 0,1„2,...,а,р+«) ф(з) = Х Сп!рь'дл ь«з!ь — (ж+ )ь 2) Прассоновское распределение.
ьь РД=п)= — „, е-", а=О, 1, 2, ..., 3) Геол«ет!)ичесное распределение. Р (з = и) = «!"р, п = О, 1, 2, ..., р + «) = 1, !'О ф(з)=~ «7"рз"= !! О % 33, Факториальные моменты Вместо моментов Мя' в случае целочисленных случайных величин удобнее иметь дело с «ранториальныл)и л«олентал«и М$)г), где $" = $(з — 1) ... ($ — г + Ц, $)м = 1. Через факториальные моменты М$" можно выразить моменты М$' н наоборот. Например, первый факторнальный момент есть просто математическое ожидание, а М$'=Мс)«1+М$ и, следовательно, 03= = М$)з)+ М5 — (М~)'. Факториальные моменты легко вычисляются через производные производящих функций в точке з = 1, Имеет место равенство Мьь[п ф~г) (1) справедливое при любом целом неотрицательном г.
Если ряд (3), определяющий ф),(з), сходится в какой-либо точке з.> 1, то его можно дифференцировать почленно в з = 1, н мы получаем «р«г) (1) — ~~~ а1~«р (6) ь В противном случае мы определяем ф~)(!) либо как В)п фь')(з), либо как левую производную в з = 1, !! )! определяемую предельным переходом фм) (1) = «ь- !) (В (ь-!) (1 !,1 †!пп последовательно при й ь,ь А = 1,, г, «р'"'(з) = «р (з). В обоих случаях получаем (6). Поскольку М31"1 = Х а")р~ то (6) н (7) доказывают (5).
Заметим, что в равенстве (5) обе части могут быть бесконечными, Таким образом, М4 и 0а можно следующим абра. зом выразить через производные ф«(з): М$ = «р', (1)„ Оз = ф«и(1)+ ф'„(1) — ~ф~ (1Ц'. Вычислим с помощью (3) и (9) ЬЦ н 0$бииомиального, пуассонов ского н геометрического распределений. 1) Бинол)иальное распределение, ф:„(з) = пр (рз+ ())" ° ф~'(з) = 4(а — 1) р'(рз+ «7)" '. Мй = пр, (Ц = — и (и — 1) р'+ пр — а'р' = ар«!. 2) 17уассоновское распределение. «р' (з) = ае' 1'-') ф" (з) = а',й" '-'), М$=а, Рй.=а'+а — аз=а, гл. 6, пРОизводящив Фтнкпии зм,мтльтипликлтивнов свопстао 3) Геометрическое распределение.
я РЧ а ЯРО М~= — ' 03= — ''+ — — — *= —. зая е дя д Р Р Р Р Р Многомерные производящие функции. Аналогичным образом можно определить многомерные производящие функции. Пусть $,Я1, ..., $.)' — случайный вектор с целочисленными неотрицательными компонентами Ь. Обозначим р =Р(ь= ) где со=(аь ..., а,) — возможные значения вектора яь. Многомерной производящей функцией называется 1р1'181, ..., 88)= М8118яя .. 8 а= ~~ ~р 81 «. ° 8 я, Она обладает свойствами, аналогичными свойствам од.
номерных производящих функций, В частности, с помощью производных 1ра(81, ..., 8,) вычисляются смешанные факториальные моменты М 1811 1ая) ... ~1аг) 81+яя+ '* +"а ° д я '*' а дя 'дя. Я ... де Я г П р и м е р. Полнномиальное распределение Р (я а) п1 а, ая а р + ° ° ° +р =1. имеет производящую функцию 1Р1( ° "" )=Ь'~+ "+Рз)" $ 34, Мультипликативное свойство Теорема 1. Если $1, $я, ..., $„— независимые целочисленные случайные величины, 1р (8), й = 1, ...
п,— ик производящие функции, то 1Р1, ... +1„( ) = Ь)„1, 1Р1 ( ) Доказательство, Из независимости $1, $я,;.. 1 , $а слеДУет независимость 8 ', 8", ..., 8 ". Из мУльтипликативного свойства математического ожидания имеем равенство М.$.-'.=Май ....$ =ПМ", В-1 равносильное (1О). Если целочисленные $ н 11 независимы и р„ = =Р(с=п), аа=Р(т1=п), то распределение их суммы га = Р($+ 11 =и) по формуле полной вероятности определяется равенством г„=,)' Р(~=й) Р(т1= — й) =.)' ра (11) я=о я-о Распределение (га) называется композицией илн свергкой распределений (ра) н (д,). Теорема 1 позволяет нам иногда с помощью производяпгих функций находить свертку распределений, не прибегая к формулам (11), Например, из равенства (Рз+д)"'( + В"'=(Рз+д) + вытекает, что свертка двух биномнальных распределений с одинаковыми р и разными числами испытаний п1 и пя дает опять биномиальное распределение с тем же самым р и числом испытаний п1 + пя.
Аналогично, из равенства Еа, 1Я-!1, Еа, 1Я-И вЂ” Е!а,+а,) (Я-Ц следует, что композиция двух пуассоновских законов с параметрами а1 и ая дает опять пуассоновский закон с параметром а1+ ая. Этим свойством пуассоновских распределений мы пользовались в $20. Распределение с производящей функцией 1 — дя можно интерпретировать как число испытаний в схеме Бернулли до первого успеха.
Обозначим в этой схеме га число испытаний до г-го успеха включительно. Случайная величина $, представима в виде суммы =т1'+то+ .„+т„где т1 независимы, одинаково рас. пределены и имеют производящие функции 1р (8) =— РЯ яя 1 — 88 1т1 †чис испытаний до первого успеха вкл1очительно, Гл. о, пгоизвюдящие Функции 4 зо. теогемл иепРИРыенюсти то — число испытаний от первого успеха до второго успеха и т. д.), По свойстну мультипликативности имеем г г г Разлагая (12) в ряд, получаем Орт (В) = ргв'~~1' ~ „') . ( — 1)'З'а" = г г т1 — г ( — г — 1) ...
( — г — а+ 1) ° ( — !)а и и =у в 11 з и О г г х ~ (г+а — 1) (г+а — Е)...г и и г г Ч ',а и а — РЗ Зу — РЕ ' +и-1ВЧ г а1 откуда Р(«,=п)=С„!р'г)" ", п=г, г+1, ... Сумма случайного числ» случайных величин, Пусть «и ... — Последовательность целочисленных независимых одинаково распределепеых случайных величии с производящей функцией ео(з) и у — независимая от них иелочислеииан слу гайиая величии» с производящей функцией у,(в). Определим сумму случайного числа случайных величин равенствами,, = «1 + «д+ „. ... +«„прим-=:1,«О=О.
Теорема 2. Производяи1ан фуннйия ~Г~ (з) равна суперпозиг(ии Ч;,(е) = 'Р„('Р1 (в)) (13) Доказательство. Вычислим 1р (г)=-Ма~о с помощью условных математических ожиданий, используя равенство М 611+ '-+то !у-=и) = Мет~+ ". +4о=(' (в)1и Получаем р (з) = Мз~' = — М ГМ (.з ' ! У)) = М Ь~~ (е)1 = Чо, (Ч'1 (е)). что и требовалось доказать. С помощью (13), (8) и (9) вычислим математиче« ское ожидание и дисперсию Ь: р~ (е)=гр СЧЕ(е))1р1(з) Ор~ (1) ='р (1) ф. (1) Р," (Е) = Ч'„'(1Р,(Е)) ~ Г,'(В)1'+ Р,'(Р1 (Е)) 11ч(Е). Ч г (1) = гр," (1) ° ! Ч11 (1))О+ т.г (1) Ч)1ч (1), М~,=МУ М«, 0~„= фе (1) ° [ф'(1)1'+ гу,'(1) 1р~'(1) + М«, — (М~,)о = =(МУΠ— Мч) ° (М$)'+ Мч * (̫Π— М$)+ МУ ° М$— — (Мч)' ° (М«)О = 1)ч ° (М«)О+ МУ ° О«. й 33.
Теорема непрерывности Докажем, что соответствие между законами распределения (р„) и производящими функциями (3) не только взаимно однозначно, но и взаимно непрерывно. ТеоРема 3. ПУсть гог(з)= )' Р(„'>во, г=1, 2, ...,— и О последовательность вероятностных производна(их функций, 1р(в) = х р„е" — производяи1ая фуннг(ия последоваа-О тельносги (р„). Для того чтобы при каждом и Игп р"„'1 = р„, г ии необходимо и достаточно, чтобы при всех О~ г < 1 11гп 1р,(в) = 1р(з).
г-э Доказательство. Предположим,что 1пп р(п= р. г-э Пусть е > О и О з ~ 1, В правой части неравенства ! р,(е) — Ч(з) ! ==.,~,! рю — ро! О-О и-1 иг Н-1 !ргг1 р !+~ во ~,' !р( р !1 о-о о-и о-о З м. Ветвящиеся пгоцгссы гл. к пяоизводящив фзнкции 124 выберем Л< таким, чтобы зз/(1 — з)»,е12> а затем вы- У-! берем г0 таким, чтобы ~~> ~р'"> — р ~»:е/2 при г~г,. Тогда при тех же г~г0 имеем 1ф„(з) — <р(з) ~Се, что н доказывает необходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
