Полезная книга (543702), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для доказательства 2) рассмотрим событие А =: = ()з! = Х) н в правой части неравенства (1 (! + й) — ) (1) ! = ! Ме< ~ (е™ вЂ” 1) ! « « М 11 е*'~ — ! !1 у + М ! е'"' — 1 ~ 7 ГЛ. О. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУИКЦИИ !32 О 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙЕП1Е СВОЙСТВА 1ЗЗ Тогда (1(1+1)-1(1) !<!Ь! М!;!1„+2М1 <!Ь !Х+2Р(!;|>Х). Пусть е> О. Выбирая сначала Х таким, чтобы Р(!$1:Р > Х)< —, а затем полагая б = —,, получаем, что 4 2А" ' ! ( (1+6) — ) (с) ! < е при ! Ь ! < б. ;3): Если и = а$+ Ь, где и и Ь вЂ” константы, то 1о(~= еиЧТ(аг). Легко вытекает из определения: ~„(1) = М.н" = М..н "+" =е"ьМ""'="'~~(.С), ',4) ~Если Кс, $1„...
$, незаеисилсьс, то л 1т!+ ... +4 (О = П 1ТА Р) (9) Из независимости Е„5„..., $л следует независи. но! ИТ ссо, мосгье „е ',..., е,"; применяя к ним свойство муль- типликативности математического огкидания, получаем л ~~~~, ТА л . л (1)=Ме А ' =МПе А='ЦМе 11+" +ел А-1 А ! ,б)'сгТ ( — 1) =14(г) Вытекает из е =е и свойства 3). ®о бозначим тл.= Ма". Если т„конессно, то сущестеусог все производные 11~!(1) с й-;;н и (10) Кроле того, имеет лсесто разложение 1 (1) = ~~! — и„+ Я„(1), (1 1) еде )т, (1) = о (1л) нри 1-~ ОО.
Доказательство. Если мы й раз чгормалысо продифференцпрусм (4), то получим равенство ('„.'(~)=1 $К ес =1' ~ к е' "с(ЕО(х), Полагая в (12) 1= О, приходим к (10). Для обоснования законности дифференцирования под знаком математического ожидания в (12) рассуждаем по индукции. Пусть формула (12) справедлива прн й < н, Поскольку 11 (С+ А) — 1!М (С1, „~Но ЬСАЬ вЂ” !) (13) =1 М~ 1'"' — ' (ю$ !) то в правой части (13) по теореме Лебега о мажорируе. мой сходимости можно перейти к пределу по 11-с-О. Таким образом мы доказываем справедливость (12) при й + 1. Для оценки остаточного члена 1г„(1) в (11) применим лемму 1 к разности А=О л ! 1 1л-1-1 ь=о + 2М вЂ”,1д, ! 1!' ! В !" тде с4 — событие, введенное в 2) (здесь в первом слцГаемом мы воспользовались неравенством (8), а во вто.
ром — неравенством л л-! о-о А-О сХак как 1л -— 1 ври !$! < Х, то из (14) получаем гл, е. хльлс<тееистичгсцссв чиикции Пусть В>О. Выбираем сначала Х таким, чтобы М ! $ !"Е < е (е+!) е < — „', а затем б =, . Тогда прн ! Е ! < 6 имеем (с !и (Г?и (Е) 1~» — „е„что и требовалось. - Ф ~7~Если <рь (г) = Мв =' производя!с(ан (Ьупкс(ия целочисленной случайной величиньс, то Еь(Е) = <рь (е").
(15) Следуст из определения. Вычисление характеристических функций некоторых законов распределений. !) С помощью формулы (!5) получаем характери. стические функции следующих распределений целочислщспых случайных величин: а) Бсснолсиальное распределение Р(ь= пс) =<.ир (1 — р) ", и = О 1 п Й(Е) =(реп+ 1 — р)". б) )7уассоноесное распределение РД=п)= — „, е ", п=О, 1, 2, ..., а" )1(Е) = ехр (а (еи — 1)).
в) Геометрическое распределение Р(4=п) =р<Е", п=О, 1, 2, ..., <)=1 — р, )ь(Е) = ! — <се~ 2) Вьсроессденное распределение Р Д = С) = 1, )1(Е) = е 3) Нормальное распределение. Если случайная вечичина $ имеет нормальное распределение с нараме<- рами (О, 1), то ) (Е) = =, ~ е ' "' ах. Ч/ 2?с (1б) Ь т? ОПЕЕ иЕЛЕЦЦЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОНСТВА дифференцируя равенство (15) по Е, по.ту чаем ) (Е) ' ~ хе'" "' йх. -~Е 2В Интегрируя по частям, приходим к дифференциальному уравнению !'<<=='-1 — *"' ""'< ~-« ~ ""-"" с*]= — !с<!<.
чЕ 2й Решая это уравнение с начальным услонием )(О) = 1, получаем ) (Е) =е В общем случае нормального распределения с параметрами (а, о) имеем, согласно свойству 3): ! си - 02< Че сс(Е)=е (17) 4) Равномерное на (а, Ь) распределение иь сси ! Г ии ' ес — е ) (Е) = — ~е йх= ь — ) и(ь-а) ' и При а=О, Ь= 7. имеем ип 1(Е) = — с, 5) Гамма-распределение с плотностью а-! р, (х) = —, е ", х ~ О.
р (а) Обозначим Еа(Е) характеристическую <)?уцкцшо, соответствуишусо ра (х) Поскольку ра.ь(с (х) есть свертка ра (хе! Отметим частные случаи (18), При а = — Е, Ь = Е имеем ес'! — е ис е<к ((й) гл, О. хлРАктгРистпческпв ФР11кцин )зт а ОО. Фогммлы ОБРлщепня и ра(х)1 к к р~+а(х)=-~ ра(х — у) р,(у)г(у=у(„) г (р) ~ у" (х — у) '(у О О ХО+О-1Р-к Р 1 Ки+Р-1 еи '(1- )" 'а~ = — "е ' х'.>0 Х' Ок) Г (р) ~ р (и+ р) с 1лУ 4)' 1 а(1) = У (1) РО Р) Вычислим сначала р' (х) 1(х = ~ е"" *1(х. Интегрируя по частям, О О получаем Г(Х = — Енк " ~ + И ~ Е"" "НХ = 1 + Щ1 (т) О О О и Л1 (1) = —, ! (20) Из (20) для любого целого ц имеем 1 1к (т) (1 Ейи . Из г1(г) = [1, „(1))" получаем ~„„(~) = (1 — 11) ~~", и, далее, )„„„()) = [~1 „(г)1'" =(1 — 11) ".
Таким образом, для любого рационального и: 0 т. ()) =(1 - У)-'. (21) Так как плотность р (х) непрерывно зависит от и и, как мы увидим в й 39, из р„(х) -ь р„(х) следует ), (1) -+ ~„(1), формула (21) справедлива для всех и ~ О. Заметим, что при дробных и из многозначной функции (21) вы- деляется однозначная встать для которой )и(0)= 1.
5 38. Формулы обращения для характеристических функций' В 3 37 мы установили, что каждой функции распредслепггв ре(х) соответствует характеристическан функция (ь(т). Пусть существует непрерывная плотность рь(х). Тогда характеристическая функция вычисляетсн кз и к(-и „,„ОО-.„.ОО- —..] ] О11"- ] кь1О'1 ° 'к: — Ь к -ь " р (х и)-р ( — Ь), ах, Ь вЂ” и откуда и следует утверждение. по формуле (22) т. е. ]О(1) есть прсобразовануге" Фурье функции рь(х)", В анализе доказывается, что при ]т(1)ен Л1, т. е. при конечности интеграла ~ ]]О(1)]г(1, имеет место формула обращения для преобразования Фурье (22): рО( ) з-1 ~ ~~ () (23) Исходя из этой формулы, мы докажем формулу обращения в общем случае.
Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений. ГЛ Д)ПО 1 О дм,.к 1 функциго распределения г(х), а т) равнолгерно распределена на отрезке 1а,(1], то существует плотность ра+„(х), которая выражается формулой Г (х — и) — Р" (к — Ь) рь+ч(х) = ь и Доказатель'ство.
По формуле композиции ЮО ь т. (х)= ~ ре(х — у)рч(у) "у= ь- О и — ~ Р(г)Ыг. (24» к-ь Исходя из (24)', мы мажем для любых х1 .-- хз записать Гл. В. КАРлктеРпстические ФуцкцР!и )зв $ ВВ. ФОРМУЛЫ ОБРХ1ЦЮ!ИЯ Ва меч ание, Если т) равномерно распределена на ( — (, !'1, то Р (х + Π— Р (х — !) РВ+„(х) = 2р Л ем м а 3.
Пусть а и т) независимы, $ имеет ограни. ченную плотность ре(х) = р(х) и т) имеет плотность рч(х), Обозначим ре(х) плотность суммы Ч+Огь где 0 — параметр, Тогда в точках непрерывности р(х) имеет место равенство 1! Го РВ (х) — -- р (х). а-ра ,! о к аз атель ство. По формуле композиции имеем ь(х)= 1 р( — у) р„® в! ° откуда Р (х) Р(х) = $ [Р(х у) р(х))(! ~Д (РВ(х) — р(х) ~ < ~ !Р(х У) Р(х)! Рч(, в ) В + !ю ~Ь + 1 1р(х — у) — Р(х)!Рч(й в . (25) !В,.
В Пусть х — точка непрерывности р(х). Зафиксируел! любое а. О. Тогда можно выбрать такое б 0 что прн р ~у! -'б выполняется неравенство (р(х — у) — р(х) ~ -"- — — х г/2. Так как плотность р(х) ограничена, то существует такая константа С " оо, что р(х) = С. Тогда из (25) следует 1РВ(х) — р(х)1<- ~ рч® — 'у +СР(1!11=-- "— „~- !В! "Ь Выберем Оа>О так, чтобы Р((т))= — а-1< —,' . Тогда и!и ис 1и всех !!О!!~ Оа имеет место неравенство (ро(х) — р(х) ~ ь.. Фора1Улу обращения в общем случае дает Т е о е м а 1. Пусть (ь(1) — характеристическая функция и 'р х — соответствую!цая 4!дикция распределения.
Тогда, если точки х+1 и х — 1 являются точкали непрерь!вности функции РВ(х), то рр а*р' Р1(х+ 1) — РВ(х — 1)=.)ип — 1 е !К)В(1) — 'е ' а(. (20) () о.кл.зат-е-гн еч-в-е. Пусть случайные величины к, т), Ц независимы, е имеет функцию распределения Ре(х), т) имеет равномерное распределение на интервале ( — 1,!), Ь имеет нормальное распределение с параметрами (О, 1).
Тогда по лемме 2 й+ 1п имеет плотность Р( (х + Π— РВ (х — !) р(х) = 2! а в+ 1!) + о, имеет характеристическую функцию Й (1) — е поэтому ее плотность ра(х) выражается по формуле обращения (23): р,(х)= — „~ е '"')~(() — ", е ' с(1. (27) По лемме 3 Рт (х+ !) — Рр (х — !) )нп Ра(х) = а.+О если х+1 и х — 1 — точки непрерывности РВ(х). Переходя к пределу в (27) и пользуясь равенством (28), получ 6).
! арра р.,хжр~*р р ж ааааа р )е(1 соответствует только одна функция распределения Р;(х ок аз а тел ь створ В формуле (20) разность 'РВ(ха7 — Рр(х!) для тох!ек хх =х+1 и х! — — х — 1 непрерйвности РЕ(х) однозначно определяется по )1(1). Полагая в разности Рь(хх) — РВ(х!) х! — р.— аа по точкам непрерывности х1, мы однозначно определяем Рр(хх) 140 Гл, 9. ХАРАктелонстическип Функции в точках непрерывности хгь а так как в любой точке Г9(х) =1!и! Р(хь), где предел берется по точкам непрерывности хьь то Ру(х) однозначно определяется Гь(!), Теорема доказана.
9 39, Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и л!ножеством функций распределения В 5 38 мы установили, что между множеством функций распределения (Рь(х)) и множеством их характеристических функций (1ь(1)) имеется взаимно однозначное соответствие. Покажем, что это соответствие ие тол!*ко..взаимна- ачпое, но и взаимно непрерывно;.. ОКО п е елен ие 2. Мы будем говорить, что последовательность функции распределения Рл(х) слабо сход!ется к Р(х), н писать Р„(х);-:.
Г (х), если Рл(х)-+.Р(х) в каждой точке непрерывности предельной функции. 1='слн Р„(х) — функция распределения $„„ Г(х)— функция распределения $, то мы будем также иногда говорить, что йл слабо сходится к $, и обозначать $, Ф 5; иногда мы будем говорить, что 9, сходитсд и $ ао рас т!ределени!о.
Из слабой сход!пгостй~„=~ $ следует, что Р (х, < 4„«хь) -+ Р (х! < 3 «хь), и -+ ОО„ если только Р Д=х!)=Р Д = хь)=О. Пример Р)!$ = — ~= л) =1, Р5=-О) =1 показывает, что пз $„=:-с пе вытекает сходимость Г (х) — эР (х) в каждой точке, так как Г! (О) = 0 и Р, (0) = 1. Одно из самых важных свойств характеристических функций содержится в следующих двух теоремах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
