Полезная книга (543702), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Докажем теперь достаточность. Из ограниченной последовательности О я,.р~'> ~~! выбираем сходящуюся подпоследовательность р'„"»- р,, Из ограниченной последовательности О~р<>><>» 1 выбираем сходящуюся подпоследовательность р>!»' — >. р! и т. д. Из последовательностей Рп, >> р<х <> р<з, !> Р„ > Р„ > Р„ Р<!.е> р<з,з> в<з,з> выбираем диагональную сходящуюся подпоследовательность р',"">, которая сходится к р„при любом п. Предположим, что хотя бы при одном а последовательность р<„" не сходится к р„.
Тогда можно выбрать две сходящиеся к разным пределам подпоследовательиости р<„"-+р', р<„'">- р„'*. По первой части теоремы ф,,(з)->. -+ >р'(з) = Х, р'„з" и >р,. (з) — ф (з) = Е р„"з'. Так как по условию <р„(з) — »р(з), то ф'(з) = <р" (з) = >р(з) и р„'= >за =Рю 'г е '!" Рп' Рл. Г-~сю 3 а и е ч а н и е. Как показывает пример >р, (з) = з'-э -+О=-ф(з), 0~а < 1, предельные величины р„могут не образовывать распределение вероятностей, так как, вообще говоря, ~ р„> 1. Если потребовать, чтобы » <> 1пп>р(з) =1, то Е р„=1 и в пределе мы получаем расез! -0 прсделение вероятностей (р„).
Применим теорему 3 к доказательству предельной теореьиы Пуассона (см. $20)! В С„Я ~1 — — ') - — ', -". (И) й 35. Ветвящиеся процессы Проиллюстрируем применение аппарата производящих функций на примере ззтвяп<ихся процессов. Пусть имеются некоторые однотипные частицы, которые размножаются независимо друг от друга. Пусть р„— вероятность того, что одна частица превращается в п частиц, ф(з) = К р„з" — производящая функция распредеа-о ления вероятностей (р,). Обозначим»(1) — число частиц в 1-м поколении и <р>(з) = Мзя<'> — производящую функцию ><(1).
Предположим, что р(О) = 1. Тогда <р>(з)= =>р(з). Пусть $><, $>з..... $>„... — независимые случайные величины с распределением, определяемым производящей функцией ф(з). Тогда число частиц >>(1+1) в (1+1)-и поколении, согласно нашему определению, есть сумма $><+ $>з+ ...
+ р, „<с> случайного числа независимых случайных слагаемых Д>! — зто число потомков Й-й частицы 1-го поколения). По теореме 2 отсюда вытекает, что ф! (з) =ф (ф(з)) (15) т. е. фз(з)= <р(<р(з)), фз(з)= <р(<р(>р(з))) и <р>(з) есть 1-я итерация функции ф(з), Соотношение (15) позволяет нам вычислить М><(!) = А(<).
Обозначим <р'(1) =. = А. Проднфференпнруем (15) по з в точке 1. Получим А (1+ 1) = А (1) А, откуда А(1)= А'. Производя>цая функция бнномиального распределения а для р= †„ равна (з —, + 1 — — ) = ~1 + — „(з — 1)) . Из равенства 1!гп (1+ — „(з — 1)) =е'<' '> й-> ~о по теореме Э вытекает (14), что и доказывает предель- ную теорему Пуассона. гл. з, пгоизводяшиг оянкци!« 1йа 1йт Поведение ветвящегося процесса существенна определяется значением параметра А — средним числом испо.
средствеииых потомков одной частицы. Из (16) мы видим, что при 1-+- со А(1) — »О, если А < 1, А(«) -»ос„если Л > 1, А(1)=-1, если Л=!. 11««зовем ветвящийся процесс докритическим, надкригиче«э«ил«или критическим, если соответственно А < 1, А:» 1 илн А = 1. е лс! ! 5 е 1 л-"! Ряс. 1!. Графики пгонззсдяшях фуякцяй ф (я) до««пягнчсскогз к крн. тячясксго ветвящихся процессов.
Если )х(1)= О, то мы будем говорить, что ветвящийся процесс,вз«родился к л«о,кенту времени й Вероят.ность этого событии равна Р()«(1) О) = р,(О). Та; как (И(1)=:О) с (р(1 + 1) О), та Р()л(1) =О) ие убь!изет и при 1-» вс имеет предел 1)ш Р()«(1)= — О) «), «.» который мы назовем вероятг«ость«о вырождения. Пределы!ая вероятность у — это вероятность того, что процесс вь(родится в каком-либо поколении. Предположим, что ф(з) «си з. Докажем следующую теорему. '1'еоре и а 4. Для тово чтобь««) < 1, необдрд««мв и достаточно, чтобы про«(есс был надкритическим, Дока з а тельство.
(;оотношеййе (15) можно записать иначе: ф«+1(з) 'ф(ф (з)). Подотавляя в (17) з = О; имеем ф«+1(0) = ф (ф« (О)). (18) Переходя в (18) к пределу по 1-» оо, имеем «у=ф(«)) так как «)= Ип« ф,(0). Таким образом, «) есть решение уравнения = ф (з). (19) Это уравнение всегда имеет решение з = 1. Если других решений в 10, 1] нет, то отсюда следует, что д = 1. При А а!- 1 других решений уравнения (19) нет, таи как при всех О я» з У » 1 выполнено неравенство з < 'с «р(з) (см.
рис. 11). Действительно, 1 — «р(з) = «р'(8) (1 — з), где з" ',6 с 1, поэтому нз ф(0) <1 4 вытекает 1- «р(з)» 1 — з. При О» з С 1 вторая производная «р"(з) О, поэтому уравнение з=- в =«р(з) не может иметь более двух Я»1 корней в (О, !]. Так как ф(0) ~ О и Ркс.ш.гряфнкпро!«зпри А » 1 существуют з« < 1, для водящейфункцппф(з) которых ф(з«) с з1, то найдется ко- падкрптнчсского всгрень 0» з, .с- 1 уравнения (19) впшсгосЯ пупцсссз, (рнс. 12) Докажем, что в этом случае «) =зс, В самом деле, нетрудно установить, что.
ф(з)»з при 0 < з зс и ф(з)с з при зз < з < 1, Так как фг+1(О) ~ «р«(0), то нз (18) вытекает, что ч«(0) < ф(ф«(О)) при л«обом 1, следовательно„ф«(0) с зз при всех 1 н «) 1цп фс(0)~зс < 1. Таким образом, вероятность «) не ! может быть равна 1, а таи как она есть корень уран. пения (19), то «) = зс~" 1. Теорема доказана, 3здячя т, Найти производящую функцию рззнопсрного распределения, сосредоточенного в точках О, 1, 2, . „ Ф вЂ” 1. С помощью проязпод. вмх пропзвсдяшсй функции вычислить ыятсмпгнческос ожндннне ы дпспсрсню зтого распределения, ГЛ.
З. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 1й8 б в. д. Севаетьяввв 2. функция ! — З~1 — «есть вероятностная производящая функцня. Найти соответствующе распределенно. Что можно сказать о его матемвтнческом окенданннс а. Дана пронзводящвя функция ~р(«) ~, Р И=в)зл случаев ев ной величины Х, Найти пРонзводащУю фУнкцню А(«) ) алел л е для вероятностей о„=Р (й > л). 4. Пусть число потомков одной частицы в ветвящемся процессе определяется пропзводящей функцией «Р(з) =1— А (1 — «)  — (1 — «) + 1 2А Нвцтн ее Ью нтерввлю ча(г). Найти вероятность выррпедення ф Г л а в а 9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ й 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций В предыдущей главе мы познакомились с аналитическим аппаратом производящих функций, который ус.
пешне используется в задачах исследования свойств ,распределений целочисленных случайных всличяп, В об!цем случае аналогичную раль играют характеристические функции. Для их определенна нам нужно попчтие -математического ожидания распространить на комплексныс случайные величины. Пусть Ь = й+ (е), где $ и т) — пара дей!ствитеч!ьных случайных величин, у котойвых существуют и конечны Мй и МЧ. Тогда математическое ожидание комплексной случайной величины определим ках сумму М~ г= Мь+ )Мть (!) Основные свойства математического ожидания (напри.
мер, свойства аддитивности и мультипликативности) йестественным образом переносятся на случай (1). Остцйювимся лишь на доказательстве неравенства ! М~! М ):!.,! (2) Вели случанная велйа!!!на ь йростая, т. е. принимасг лишь, конечное число значений Ь = я« =хе+ (ув, прн. чем Р(~=ге)е рз, то (2) есть простое следствие свай ьтва модуля комплексных величин: ! Мвв,) = ~ кз' гзр«1< Х ~ яв (д = М4( (3) з Пусть $=ь" — 5, т) =т)+ — т), а й„", т)~ — последовательности простых случайных величин, для которых ав, 18~, т)„1Ч н, аначнт, $л=$„— $, — $, т)„=т)~— — т)„-в Ч, ТаГда Ь,— Р~, И ПО ОирЕдЕЛЕНИЮ М$, Мт) ГЛ 9 ХЛРЛКТЕРИСТТ<ЧЕСКИЕ ФУНК<ни< !зо 5 те опгеделениа и неостейшие свояства !з! имеем М!.= !!и< Мь„, где ~,=$„+ !и„.
В силу (3) прн любом п !М~„!«М!,„!. Покажел<, что. !!<и М!1„!= М !С!. В саъ<ом леле, из ~В„! =-~Ь,~+1п„~=В~+В„+ч,'+ <1,, « «~'+~ +ч'+ч =!~!+!ч! н ~„-+ <, по теореме Лебега о мажорируемой сходи- мости вытекает М! с„! — э М !' !, так как мы рассматриваем лишь случай М! $! «<, М !т!! «С«. О и р е д с л с н и е 1. Характеристической функцией случай<!1бйвелйчи«ы й мы будем называть функцию ~т(1)' от действительного аргумента й равную ~;(!) =Ме". ' (4) Раскрь<ваяв (4) ел< по формуле Эйлера е<З = сов <р'+ + 1 з!и <р, мы имеем ~Т(г)=М сов~!+<М з!и К, (5) Иногда мы будем вместо !Т(!) писать просто 1(!).
Если рь(х) есть функция распределения $, а ра(х) — ее плотность (если она существует), то по общим формулам вычисления математического ожидания имеем: ~з (а) = ~ е'1" <(рт (х), Если распределение Ц дискретно, то (7) Из (6) и (7) видно, что характеристическая функция )т (!) вполне определяется функцией распределения Гт(х) случайной величины С. Перечислим несколько простейших свойств харак- теристических функций.
1) ~!(!) ~:-.=! ари каждом действительном 1;)(0) = 1. казательство просто получается из неравенства (2) .-Так как ! е"т 1= 1 и ! !' (1) ! = ~ Меи! ! ««М ! е«4 ! = 1. <'2 1(Г) раейомЕрнб неарерьшна ла й ля доказательства этого свойства установим сна* чала справедливость следующей леммы, которая нам понадобится далее. Лемма 1, При действительных <р и А<обои целоА< и ~ «1 имеют тиесто неравенства ! л-< х' 1<т~ в< <=-о (8) Доказательство. Поскольку !е<т!= 1, то Ф <т1 е' ди =1е<а — 1!~ ~ а<и=!<р!. Далеедоказываем(8) н по индукции, Пусть (8) справедливо прп некотором п. Тогда, так как <21 на !, !и+< —,ди=— и: <«+11! й гда 1 --и 7 — индикаторы событий А и Х, применим А неравенство (8) при н = 1 прп оценке первого слагае мого и !ент — 1) ««2 прн оценке второго слагаемого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
