Полезная книга (543702), страница 20
Текст из файла (страница 20)
мерную функцию распределения Е„... г»(хг, ..., х»)= Р ($г «~ хп..., ч» ~~х»), которую мы иногда будем обозначать кратко Е»(х), полагая х =(хь ..., х»). Аналогично, плотность р», ... »»(хь .. „х»), если опа существует, будем обозначать р;(х). Многомерной характеристической функцией случайного вектора е назовем [1(р) = [1, .„5 (1г, ...„Г») = Ме'П»р, (1) где Р =(Ро ..., Р»), (Р', $)= ~„раЗа. ХаРактеРистическаа а=» функция определена для всех 1 с дейстгительными ком. понснтами г . Характеристическая функция (1) опреде. ляется с помощью Е»(х) и р»(х) следующим образом: )„(Р) — ~ еыг, »)йу» (х) [ь (1) ~ зги, М ра(х)йх где интегралы берутся по всему й-мерному пространству р»».
Свойства характеристических функций. 1) При всех 1 е= К» /[(г) / ' 1, ЦО) = 1. Очевидное следсгвие нз [еггг Ы[= 1. 2) р'(1) равномерно непрерывна по й Доказательство. Обозначим событие Л =: = — (~$а1.-= Х, и, = 1, ..., я) и напишем неравенство 1)'(Г+ й) — [(1)!==[Мега М(е"" "— 1) ! = ~ М~ ем" 1> — 1 1= М!ем"  — 1 ~Ул + + М~ем чР— 117Х.- М1(А, а) ~1 +2МУХ~~ = Х [ й ~ + 2Р (ь ф [ — Х, Х[»), где [й!= ~„1Ь„! и [ — Х, Х)» — прямоугольник а р! (х: ~ ха 1~Х, а = 1...
„Ц. Пусть дано е > О. Выбираем сначала Х так, чтобря РК ~[ — Х, Х] ) <е/4. Тогда при всех ~рр~:. а/(2Х) [1(Г+ й) — р'(1) ~ а:: е, что и требовалось доказать. 3) Если а(1), е(2), ..., а(п) — независимые случайные векторы и ь= Е(1)+ ~(2)+ ... + ~(рг), то [Нар( ). Доказывается с помощью мультипликативного свойства матемзтвческого ожидания.
4) Характеристическая функция для вектора ($ь,. ..., Е ), тп ~ я, получается из характеристической функции [Е, ... »» (Го ..., р») следующим образом: р», 1 (1Г*... 1м)=р'Е,...т„(ГЬ °,,1, О, ..., 0). Очевидно. 6) й,+ ... +:,(Р) = 1:, ... „(1, 1.... 1). Вытекает из )' $, ° 1=1',) а-г а 1 6) Для незаеисилрости Вг, ..., В» необходимо и до. статочно, чтобы р"», .-1»(р» ° ° "») =П р»а(1а) Необходимость следует из мультипликативного свойства математического ожидания.
Достаточность будет следовать из доказываемой ниже формулы обращения. 7) Если и = Се†линейное преобразование »1а=) с„Д, а=1, ..., Рп, а ! с матрицей С=[|с,з1~, а=1, ..., т; р=1, ..., й, то Уч(г) = Й (С'г) 1ба гл. !!. мг!огоа«агг!ыв клглктвгнстцческив егпкцнн $ «3.
ОПРвделе«п«в и пгоствйп«нв свойствл от е««е С" — сопряясенная С матрица, преобразу!ои(ая сектор 1=((ь ., (~) по формулам аа Са!«(а а ! Д о к а з а т е л ь с т в о. /И и«« 2 «„ч ! Б «а 2 Мег!«,ч! Ме а=! " Ме!(«,са! Ме а-! а а-! «Е! 2 М а-! на=! аа ' Ме!!с««,в ! (С"!) 3 а м е ч а и и е 1.
Если и! = й, детерминант ~ С~ Ф О и имеется плотность р«(х), то т( = Сй также имеет плотность р„(у), которая связана с р«(х) формулой р.(у)= с р:(С у) (2) В самом деле, для любого А ~ Я~ имеем Р (йенА) = ~ ре(х)«(х. Делая в интеграле замену х=С !у, полул чаем Р(6е:— А)= ~ р«,(С 'у) 1С '(г(1(= сл = Р (т( еи СА) = ~ рч(уеду откуда следует (2). 3 а меч а н не 2, Из 3) и 7) следует, что при преоб. разовании т( = С$+6 имеется следующая связь между хаРактеРистическими фУнкциЯми ~т н (ч! ~ (()=е«(! ы~(~ 1). 8) Ы вЂ” 1) =г(1(1) =1 1(().
Очевидно, Обозначим моменты н«а, „. аа = Мз~ вз ° ° ° $а 9) Если конечны есе п«а, „. „„с и«+ ... +п«=г, то а д"1( (О,, „, О) гпа ... а =! „*а, а=а!+ +па~~с, (3) « и! а« !«(!) =. ~~. «а «! — '' — '" «па, ... аа + й1! (!), (4) а!! ... а«! а=.:а а,+ ... -~.а„=а где 1(,(г)=-о(1(1') при '1(1=1(!1+ „. +1!„1-«-О, Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (3) доказывается так тке, как в одномерном случае. Для доказательства (4) опять введем событие А = ( ~ 'аа ! «Х; с! = 1,, ° .
..., Ц н в правой части неравенства ! «, !а~ =.~«! (.««« — г ""„"')1< а а -=М е!('г! — ~ «а — '" ~У +У-) «-~ а«(! «)а -о воспользуемся неравенством е«а — 1 — '~: — при ~" (! Оа 1ч!'" ,~, а! ((+!)! а а 1= !' н 1 = г — 1. Получаем 1((г1) 1"+' М((!, й) 1'(к 11(,(()1«М ' ц, 1л+2 Для каждого а ~ О выбираем сначала Х так, чтобы второй член был «е((!'/2, Тогда прн = а(т-1-1) 1/(2Х"+!) получаем (т(,(г) ~ < е11(', Примеры. 1. Если Р(1=с) =1, то ~г (!) = е ' !" 4. 2.
Пусть !р«, ... ~ (е!, ..., ек) = Ме! ! ..., з,." — многомерная производящая функция случайного вектора ч= ««, !«е'« =-(й!, ..„«а). Тогда ~а((„., „1«)=!р! ~е !, ..., е е), В частности, для полиномнального распределения чч(з! ° ° ° ел) =(р«з! + ° ° «+ Раза) 1((1!, ..., г„) =(р!е '+ ... + р„е а)". 158 гл. и. многомвеныа хлглктаенстичаскиа ет!»кцни % 4к ПРьдвлы!Ыс теОРБмы 3. Пусть $!, ..., 5» — нормально распределенные не. зависимые случайные величины с М5„=а, н 0$„=6 ° Тогда » » »„~~ (1) е а-!»'! О 44. Формула обращении Мы будем исходить из следующей формулы обраще ния для преобразования Фурье, доказываемой в ана. лизе, Пусть случайный вектор 5 = Я!,, „$») имеет непрерывную плотность рт (х) и характеристическую функцию )а(1)е= ь! (т.
е. ~ ~ ~т(1) !а1 < ). Тогда н» р» (х) = — » ~ е ' П»'71 (1) с(1. 1 (2я)» а» (5) Поэтому по формуле (5) р~ (х) = — '. ~ е-' !»!Ы) д1. (б) (2а)» Обозначим Л(х, 1) прямоугольник с вершинами ха~1„ а == 1, ..., 1г, Так же, как в одномерном случае, дока. зыпается, что прн о — э.О рс(х) -» р»+ч(х) = „Р ($ ~ 1!(х, 1)) Основываясь на (5), докажем формулу обращения в общем случае. Пусть т1 =(т1!, ..., »1») имеет независимые компоненты, причем П„имеет равномерное а ( — -1~, 1») распределение, а О = (О!...,, О») — случайпын вектор с независимыми нормально распределен. пымн компонентами с МО,=О, 05„=1. Образуем век.
тор ь = 5+т1+о О. Его характеристическая функции, если 5, т), О независимы, равна » т 1 (1)=1 (1)п Б!п! ~ е 2 = БТи а-! в точках непрерывности х предельной плотности. Поэтому из (б) получаем общу!о формулу обращения Р(5ен Л(х, 1)) = » = —,, Итп 1 е-!~'"~т(1)Ц вЂ” ''" е "=' й1, (7) я»-н3 а=! !а справедливую для всех тех прямоугольников Л(х, Д. для которых вероятность попадания 5 на границу равна пулю. Поскольку в (7) Ь(х, 1) можно выбирать так,что х„и 1„образуют всюду плотное множество, то мы получаем из нее следующую теорему единственности.
Теорема 1, По характеристической функции )т(1)' функиия раснределения восстанаеливаетсн однозначно. й 45. Предельные теоремы для характеристических функций Пусть случайный вектор $!=(ь!, . „$») имеет функцию распределения р~,.„!»(х!...., х»)=с'(х!, ..., х»). По этой функции мы определяем одномерные функции распределения Р» (х).
Обозначим В„множество точек разрыва Рт (х). Как известно, В, не более чем счетно, а Множество й=»т! () .. () 0»также не более чем счетно. г (х„..., х») непрерывна во всех точках х =(х,, ..., х»), если никакое х„Ф В, так как при Ь =(Ьо..., Ь») с Ь, ~ О О «< г (х + Ь) — Р (х) = Р Д, < х„+ Ь„, а = 1, ..., Ьт— — Р Д, < х„а = 1, ..., Ь) < «.- Х (РВ„(х»+ Ь») — Рт„(х»)1, и аналогичное неравенство можно написать при Ь» < О.
Ь-мерный прямоугольник х„ - 4„ < у», с! = 1, ..., Ь, назовем прямоугольником нелрер»!вности, если никакое х„ или у„ не принадлежит 1). Для прямоугольника непрерывности вероятность Р(х <~ <«у„, а=1, ° ° °, Ь)=Л» „,» р(х!, ° ° ° х»1, Ьа уа ха» непрерывна по всем своим аргументам ха, уч. гв! 1ав гл, 11, мнОгомеРныг ХАРАктеРггстич!!скис Функции уча ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Определение, гчгы будем говорить, что последа вательцость Г,(х) слабо сходится к Р(х), и писать Р„(х) =:- Р (х), если Р„(х)-э Р(х) в каждой точке непрерывности предельной функции. Если Р,(х) — функция распределения ьл, Р(х)-- функц»»я распределения 'В, то при Р„(х)=Р Г(х) мы будем также говорить, что $„ слабо сходится к к, и обозначать $„ Ф 3; иногда мы будем говорить, что й„ схггдится к а по распределению.
Из слабой сходи»юсти сл-- дует,,в частности, что Р (е„ ~г Д) — ~ Р (г=„: еп Ь) для >иобого прямоугольника непрерывности гэ по предельному распределению. Если $„ сходится к й по распределению, то это значит, что распределения $, и $ близки друг к другу. Требовать в (8) сходимости в каждой точке было бы неразумно, так как, например, прн и =- 1, $„.=- = 1/тг, а=О Р»л(х)=~Р»(х), ио Р» (О) -рл Р»(0), в тоже время Цл и $ близки друг к другу. Нетрудно доказать, что нз Рл(х)ФР(х) и непрерывности Р(х) во всех то 1- ках следует раигомерцая сходимость Р„(х)-~ Р(х), Одно из самых важных свойств характеристических функций содержится в следующих предельных тсоре. мах.
Пусть Р„(х), Гь(х) — функции распределения, (,(1), Ц1) — соответствующие им характеристические функции. Т е о р е м а 2, (Прямая предельная теорема.) Если Рл(х)=»-Р(х), то 1„(г) — «! (1) в каждой точке те= гч». Теорема 3. (Обратная предельная теорема) Если )„(8) сходится в каждой точке ! Ен Я» к некоторой функции 1(1), непрерывной в нуле, то Р (х)=~Р(х) и 1(г) есть характеристггческая функция Р(х). Доказательство этих теорем вытекает из следующей леммы-и двух теорем Хелли.
Лемма. Если г!) — всюду плотное множество >чгг и Р (х)-+. Р(х) для всех х ив О, то Р„(х)=)>Р(х). Доказательство. Будем писать х у, х «у, если при всех а хл«ул или хь«у„соответственно. Пусть х — точка непрерывности Р(х). Тогда для любых х', х" ен гг>, х' < х «х", имеем Р„(х') «Р. (х):= Р„(х ), Р(х') = !пп Г„(х') «!1пэ Р„(х) «! Ип Р„(х) «1пп Р„(х")=Р (х"). Поскольку Р(х') «Р(х).-" Р(х") и разность Г(х")— — Р(х') может быть сделана как угодно малой, имеем !1га Р„(х) =Р(х).
Л.+ а Т е о р е м а 4. (Первая теорема Хелли,) Из всякой последовательности функций распределения (Р,) можно выбрать слабо сходяи1уюся подпоследовательность. Доказательство. Пусть О=(х„) — всюду плотное в гг»» счетное множество. Из ограниченной последовательности 0 ~ Р„(хг) < 1 выбираем сходящуюся подпоследовательность Рг„(хг) †: Р(хг) (так мы обозначаем предел). Из ограниченной последовательности 0 ~ ~ «Рг„(х»)«1 выбираем сходящуюся подпоследователь. ность Р»,(х»)-».Р(х») и т. д. Далее выбираем диагональную подпоследовательность Р,„(х), для которой Р:(х»)- Р(х») для любого х» ~ »т. По лемме отсгода вытекает Р„л(х) =Ф т~ Р(х). 3 а м е ч а и и е 3. Р (х) может не быть функцией р аспределения, Построить пример, Т е о р е м а 5. (Вторая теорема Хелли.) Если в (х)— непрерывная ограниченная функция на Я» и Р,(х)Ф рФ Р„(х), то !пп ~ д (х) ЙР„(т) = ~ й(х) 11Р (х).
(9) тг» я» Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 㻠— прямоугольник непрерывности Р(х), Докажем сначала, что !пп ~д(х)йР»(х)= ~д(х)йР(х). (10) л а Пусть ~д(х) ~ = М. Выберем а ~ О. Разобьем гх иа прямоугольппкп непрерывности г» с центрами х„и поло- 1Ей гл. н. многомз ныв хлглктв нстпчвскис фкпкции 5 46. Пгелелы(ыя теоогмы жим А'с(х) = л(х ), если хан Л(с. Выберем разбиение Л' атоль мелким, чтобы для любого х (и: Л 1 я (х) — д„(х)! < е (зто можно сделать из-за равномерной непрерывности я(х) на Л). Тогда ! ! с ( ( сс. (( — ! с ( ( сс ( ( ~ ( ~ ! с. с>. — ! с.
с ~~ -(- + ~1а(.) — йс( ) ! (Р. + ~!а.( ) — а(.) ! (Р(х) =а л л л ~~ 2о + М - 2, ! Р Д„ев Л ) — Р ($ ~ Ло) ), где У вЂ” число прямоугольников разбиении. При и — >.оо последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, что и доказывает (!О). Для доказательства (9) выберем столь большой прямоугольник непрерывности Л, что Р(Л) с 1 — е (через Р(А) мы иногда будем обозначать Р (ч ен А) для случайного вектора ь' с функцией распределения Р(х)). Тогда существует такое ло, что для всякого и ~ и, Р„(Л) р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
