Полезная книга (543702), страница 23
Текст из файла (страница 23)
5 49- тсиленг!ыи здкон вольших чисел 181 ! Гак как пря любом 1>е>О Р(1$„1> е)= — „, то 2з ' ";„-»О, но в то же время Р(с„— ""'т" О) =1. Скодимость в среднем. Мы будем говорить, что последовательность $„сходится е среднетя порядка г > О, если М~$,— ~1'-«О, и-«бе>' г (б) Если г = 2. то сходимость (6) называется сходимостшо в средне:и кзадратическоль Сходимость в среднем порядка г будем обозначать Е„-'«2. Из неравенства Чебышева Р0$„— ~!> )~ "! "„ с Р вытекает, что сходпмость ем — $ влечет 5„— е.
Рве. 13. Связь между рзззинвмми видами сход!!мости случзавмх величии. Таким образом, мы установнлп соотношения между разными видами сходимостя случайных величин (см. рис, 13), $49. Усиленный закон больших чисел Исходя из неравенства Чебышева „„~ > )~о~„ примененного к суммам Ь„= аг+ ... + $„независггмых слу шйных величин 2„,.„$„мы доказали ранее ракон больших чисел (теорема т1ебышева)л который (вз гл. нь тсплпнпыи закон полынях чисел Ь!».
ксилвпп!(и злхоп волыппх чпггл. (аз' можно сформулировать так: если $(, $».. г, независимы и Рай ограничены, то йй Мйй (7) В случае, когда В!, 8», ... независимы н одинаково рас. предслены, сходпмость по вероятности (7) имеет место при более слабом условии конечности М5„=а. Теорем а 5 (Хинчип). Если В„"В», ... независимы, одинаково рас!»ределены и Май=а конечно, то имеет место закон больших чисел: До к а з а тел ь ство.
Характеристическая функция 1(!) случайной величины Вй — и представима в окрестности нуля в виде 7(!)= 1+о(1), поэтому, обозначая ~„' = Ц! + ... + (:„— на, имеем (,~„(() =~(®~" откуда следует слабая сходимость ~„'~н к нулю, что равносильно (см. теоремы 3 и 4 $ 48) ~„'/н- О, Оназывается, можно доказать в условиях теоремы 1 более сильное утвсрждсние, принадлежащее Л. Н, Колу. Э «йч»»йййрд~д Ду ° ших чисел, утвержда(ощпй.
что 1!+ ... +."«пи Далее нам понадобится неравенство Колмогорова, усиливавшее известное неравенство Чебышева. Т ео р е м а 6. (Неравенство Колмогорова.) Пусть $(, ..., $й независимы и имеют конечнь!е М$» и 0»». ТогдаР ( тах ! !.» — Мг„!=йх) ~~ —;", (8) ! йй:,и где ьй = 5! + ... + $».
Д ° ° .»..Дд»» б~«, » М!, -Ой Это не ограничивает общности, так как всегда можно перейти от ~й к ~й — Мвй. Введем случайную величину ч=(п1п(гм~йй~~х). Если гпах 1ь»1<х, то положим ! л«с« « ч=п+ 1. Так как (»й ьй,! У(,=й(, то М~й ~~ М';1(й-й; = = Х М (в!+ ° ° ° + Ьф (ай. ! + ° ° ° + «)»«( =й! йй ~ ~К М Й!+ ° ° ° + йй)» 7( -.й! + й=! и -! + 2 Х М ('!+ ° ° ° + йй) 7( -»! («й + ° ° + „). «-.! СлучаГп(ая величина /(, „зависит лишь ог,.-„ поэтому (»! + ... + ",, ) 1(й й нс зависит от йй „..., В„и М(1(+" +ь,)1(«й(Я»„.!+" +1~„)=- =М(.',,+ ...
+$»)7(й ! ° М(ай+!+... +Ц=О. Так как для ыс=-(т=й) имеем ьй~~х=н 'Р(т: 'г!) = = Р ( шах )",„.(~~х), то !:"й: « М~„~ Х М~(,.1(, м - х Р(ч<н)=х»Р((пах ~1»~ х), й-! ! !«„« (ом законе больших чиссл для незааисимь(х разно распределенных случайных величин. Теорема 7. Пусть ~», й», ... независимы, М'„,=О, Тогда ' " = — ~" О.
(О) и Доказательство. Обозначим „, =-'.!+ ... -ь й.. 11о критерию (3) из й 48 сходпмосгь (О) рав. носильна условию А„=( шах ~ — 'ь ~ > з)~. и соотношений ,Тогда (10) равроснльно л(5 А) о, вытскают неравенства инакова Ь! + 52+ «+ 1л л(0 л,)ЧХ л!л.! твл гл. Ух усилеинын' ЗАкон Больших чисел Р (знр~ — „~ ~>е~-+О, и-+со, (10) прн л!Обом г > О.
Обозначим А, событие По неравенству Колмогорова Р(А„)<Р( шах 1~в!>з 2" 2л ! 4А<2л О1зл <Р( шах ~ЬА! > з ° 2 1«<4"' 2и ' !~ь~~л .Е Ь Далее Ю зь Р(АА)«<4г ~~! 2 ' ~~! а„'..: СО СЮ ! (4з ~~~~ о„~~! 2 < Зз ~~! — ", со; л ! (мзь>л1 л ! так как ~„2 '~ »»2 ° 2~". Из сходимости ряда л„Р (АА) ь зю л следует (11), так как Докажем следу!Ощу!о вспомогательную лемму. Л е м м а 3, Математическое ожидание $ конечно тогда ц только тогда, когда Е Р (~ а! > и) < о.
л ! зза УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 185 Доказательство. Если Ме конечно, то н М~$~ конечно, и наоборот. Из очевидных неравенств ~, (а — 1) Р(и — 1 <!$~<»и)«< М~ Ц~«< л ! «=. Х иР (и — 1 <! е | = и) л ! иР (и — 1 < ~ $ ! < «и) = л ! Е Р (! В1> и) -= 1+ .С Р (! В ! > и) ,), (а — 1) Р (а — 1 < ~ $ ~ < »и) = л ! Я а Р (а — 1 < ! $ ~: и) — Р ($ > 0) = ~ Р ( ) $ [ > и) К Р ( ~ $ ! > и) « М ! $1: 1 + ~ Р Ц 5 ~ > и), откуда следует утверждение леммы.
Для независимых одинаково распределенных слу. чайных величин справедливо более сильное утвержде. нне, да!ощее необходимое и достаточное условие усиленного закона больших чисел. Теорема 8. (Уснлениь й закон больших чисел Кол. мого ова. и ... независ саределены. Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы существовало конечное М~„= а. До к а з а телье т в о. 'Достато«ность, Введем слу- чайные величины (Е„, если !$л!«<и, Ьл ~ О, если ~$л1> и, 186 Гл. 1е тсиляипыи закон БОльших чисел т и. тсилв11ныи зхкои Больших чисел 187 я ь„=51+ ... +$„, Случайные величины также независимы, так как й есть функция С,.
Из равенства ьп — лп Гп — ьи + Си — )!у)ппп + (' М~„ и л У1 п заключаем, что теорема будет доказана, если мы пока ° жем, что справа все три слагаемых с вероятностью 1 сходятся к нул(о. Третье слагаемое неслучайно и бес» конечно мало, так как оно равно среднему арифметическому ! х-~ ° Л, М~А)еь1>ь) сходящихся к нулю МВп1!11 !ь.ь) -и О, й-поп, членов. Обозначим Л„=(5п Ф';и). Имеем Х Р(Л.)=Х,Р(!В,.!>.)=ХР(Я,!> ). где послсдннй ряд сходится в силу конечности М~1 по только У(то доказанной лемме. Поэтому по лемме Еореля — Кантсллн лишь для конечного числа номеров и ~, ~ с„. Следовательно, в (12) à — п. — О. Сп — Я~„п п.
л. Осталось доказать " "'" — — О. Применим теорему 3. Для этого докажем, что ~ч, о;-. п 1 Поп у ь)й„«ЬЦ,«,)'„й (Уп — ! <! я !:и), УУ=-1 »» »» У1 — ~:~$Р( - <Л,1 )= Л 1 л-1Ь =,У',"пР(А — 1<! Ь !«й) ~,-„—. Так как Х— ГУ)п ! Ч ! 1 1 Ь+! — — — то ~ — — + — = —, ли - ) к' Ь ' ,~п ЛП - уП ЛП ап Х вЂ” ".," «Х ' „, Р(А — 1<);1!«и РЦ т( (УУ+ 1) л 1 Ь-1 (й + 1) Р (А — 1 < ! $1 1«й) « А — 1 (2+ ~У (й — 1)Р (й — 1 <~ ~1)ж й) «2+ М ! ~1! < ьо, Ь=1 Ги п.
п. Необходимость, Если —" — а, то $п йи и — ! Гп-! п ". О, и и†! т. е, с вероятностью 1 осуществляется. лишь конечное число событий ~ — ' ~ > 1. По лемме Ьорсля — Кантеллн йп это влечет за собой Х Р(! $п ~>и)= Х, Р(! 1, !> и) < Следовательно, по лемме этого параграфа конечно Мс!.
С л е д с т в и е, В схеме Бернулли для числа успехов имеет место не только закон больших чисел Ип л но и усиленный закон больших чисел )Уп П. П УХ Следствие вытекает из теоремы 8, так как рп = ПЬ1+ ... +$п, ГдЕ С1...,, $и НЕЗаВИСИМЫ И РД~ =-1)=р, РВ =.О) =1 — р 188 ГЛ. ]й. УСИЛЕННЫИ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Задкчв 1. Случайные величины $« » 1, 2...., незеппснмы н адина. коза распределены. Доказать, чта с вероятностью 1 пронзойдет лн!пь конечное число сабытнй А» ( 1 1» ~,в ч/и ) тогда н только тогда, когда 0к» конечна.
2. Дакзззть, что сходкмость $, к $ почти наверное нлн по ее ° роятностн влечет зз собой сходпмость в том же смысле )(й,) к )(я), если )(х) — вепрермвнзя функпня, 3. Если !(х) — непрерыввзя огрпннчепнзя фупкппя, то нз Р к» вЂ” «й следует сходнмасть )(к,) к )(С) в среднем !*го порядка ырн любом г > О. Доказать. 4. Пакзззть, что в условиях теоремы 7 можно получить более сильное утверждение о сходкмостн »!йс+ ° ° ° + Х»2» ."'". » где 2» некоторая последовательность, стремяшкяся к бесконеч.
посты. в. Случайные велячнны 2!, $з, ..., $», ... пеззвнскмы, одпна. ыова распределены, М$! конечно. Неззвнснмые от пнх случзйныо величины Оь Оз, ..., 0„, ... неззвнснмы между собой н удовлетворяют условию 10„1(! н Мв» =О, » 1, 2, ... Спрзведлнво лн утвержденна! О!2! + ... + 0»1 » Г л а в а 13. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ 5 50. Основные задачи математической статистики В гл. 1 говорилось, что .теория вероятностей занимается изучением математических моделей случайных явлений. Имея подходящую математическую модель ка.
кого-либо случайного явления, мы можем рассчитывать вероятности тех нли штых событий н по этим вероятностям мы но!кем, пользуясь статистической устойчивостью частот, предсказывать частоты этих событий. Если вероятностная модель выбрана правильно, то такие предсказания будут выполняться со случайными ошибками, которые также можно рассчитывать в рамках выбранной модели. Математическая статистика выделяется из теории вероятностей в самостоятельную область, хотя основные методы н приемы рассуждений в ней остаются теми же самымп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
