Полезная книга (543702), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Р - О Делая опять под интегралом замену переменных (22), получаем 2 а а у ду~ е е с(г= откуда ууке нетрудно вывести (23), Просто связанная с ГР, случайная величина (2) 1!+" +1-,'+ч'!+" +ч", имеет более симметричное р-распределение с плот постыл 1 -1 —, -! Р Ю х (1 — х) , 0 » х ~ ~1. (25) 2) Функции )(т-распределения, распределения Стьюдснта н е-распределения табулированы. 1, Случайные величины ь« $2 — координаты точки, равномерно раСпрсдЕЛЕВНОЕ а трЕуГОЛЬПИХЕ Е ~ О, Ет ~ О, Е! + Ет < 1. НайтИ нх двумерную характеристическую функцию.
2. Пусть 1(!) — характеристическая фупхцнн случайной величины $« Найти характеристическую функцию $г, йм если $2= 1 — $« 3. Случайные величины $« $2 имеют сферическое нормальное распределение с плотностью ! —., !Хчнев — и 2ж Найти вероятности Р 1)21< 1, 1Ч1«» Н и Р (йт+ 21'»11, г и 4. Случайные велвчнпы Ье, ев, й1, ..., Еч независимы и имеют нормальное распределение с парамстрамв (О, 1). Выразить через распределение Стьюдента распределение случайной величины Р $2 5. 11о«азат!ь что случайнаа аелнчнпа (24) имеет плотность 11-распределения (25).
л ЕЬ ЛЕММА ВОЕЕЛЯ вЂ” КЛПТЕЛЛИ !7в то 11струдпо видеть, что йй5= ~.', !И1л.= ~„Р(Л„), :л-! л=! Г л а в а 12. УСИЛЕННЬ1И ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Пусть на вероятностном пространстве (Я,,сФ, Р) оп!елелсна последовательность событий А„!.-л Ж С кажа.!й такой последователыгас!ью можно связать сабытвн Л'= (Еп Ьэли Лл дЛя 6ЕСКОНЕЧНО МНОГИХ П), Л,=(кч тле= Ал для всех, кроме конечного числа п), которые называются соответственно веркиин н кижнии иределал1и последовательности (Лл).
Мы будем обозначать А =Ип1зпр А„, Л,= Ига!п1 Л,. л.~. ю Л*= П Ц А„„Лл= Ц П А„, поэтому А' и А, принадлежат .Ф, т. е. являются сабь:- твял!и. Если А" = А„= А, то мы будем говорить, ыо Л есть предел А„и будем писать А =!Ип А„. Если внести индикаторы 1л, то легко видеть, что 1л* = Ига лир 1л л=,. Л' = 1ип з ар Ал, л юю 1л. =И7п 1п1 1л л=: А„= Игп !п1А, л-~ю л.л 1л = И7п 1л ч=>- Л = Рйп Л,, л-3 О л >ю Монотонные последовательности Лл всегда имеют предел. Если А1' Ае'= ..., то Л„(Л„= Л'= Ц Ал, а если А1:-з Аз=э...,то А„(, А"=А.= П Ал.
В этих случаях из аксиомы непрерывности легко получить Р(Ал) )' Р( Ц Л„) н Р(Ал)(, Р ( ! ! Ал). Поскольку для любой! паследова- ~ л тельности (Лл) Вл= Ц Ав(А*=ИгпапрЛл н Сл= П Лн('Л,=. Ш)~ ™ лФ Р м 'л =Ипт !п1 А„, Р(1ипаир А,) =!пи Р(Вл), Р(1нп1п1 Ал) =.!Ип Р (Сл). л.ъ ь л.л л -л л-? Условия, прн которых вероятность события А*=!ппзпрЛл равна нулю или единице, дает нижел-Л ю след ющая емма 1,',,(Лемма Бореля — Кантелли.) Если ~ Р(Ал) < оа, та Р(А") = О.
Если Л1, А1, ... незаеисижьс и Х Р(Ал) = (2) то Р (А") = 1. Д а к а з а т с л ь с т в о. Рассмотрим ел уча!Еиу!о вели. чипу л лю 1л л 1 равную числу тех номеров и, прн которых происходит А„(т. е. С(ьз)=/г, если ровно для А номеров и ь7 ~ А„). По теореме а монотонной схаднмасти поэтому из (1) следует М~ < аь, т. е. случайная величина с вероятностью 1 конечна, а так как Р(Л") = =Р(5= аа), та первая часть леммы доказана. Для !уб ГЛ. ГХ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН ВОЛЬШИХ ЧИСЕЛ % 46.
РАзличные виды сходимости аоказательства второй части воспользуемся независи- мостью Ль А„... в соотношении Р<«'>=О Р! 'о' .«.1-1 — «Р! й «.)- и-« ~ \. «л-и л-«Ч л«и т Ф 1 — 1!гп 11гп Р~ П Л,„~ 1,— 1ип 1нп П(1 — Р(А~))= и-»с и-л ш и л-» ю Ь.л ~ и«=и =1 — !ип Ц (1 — Р(А„))=1, так,как ряд (4) расходится.
«Следпт в,и.с) Если Аь Аы ... независимы, то Р(Л') равно О или 1 в зависимости ог того, сходится или рас- ' ходится ряд л Р(А„). Это следствие является частным случаем более общего закова «О или 1» Л. Н, Колмогорова. Пусть иа вероятностном пространстве (ь1, .4„ Р) апре- « делена последовательность $и 4, ... независимых случайных величин. (Это означает, что любая конечная нх совокупность |н ~ь ..., $н независима.) Ранее мы уже определяли о-алгебру Фь,.„ь„, порожденную случайными величинами $ь ..., з„, как о-алгебру всех событий Л, представимых в виде А=(еи Я,(«з), ..., ~„(е)))в= В„ где В е= Я" — борелевские множества из пространства Я"- 'Аналогично определяются я~ь„с';.Ф~ ь +, '= . Обьедннение всех газ, Фь ь, ...
есть алгебра событий; и' и и+И мииимальиую о-алгебру, порожденную этой алгеброй, обозначим л!ь„ь,, „. Последовательность Фе„~„, Ф1 х ..., ... есть последовательность певозрастаи+! и+2 "' юших а-алгебр. Назовем о-алгебру»'= П .4~ и остаточной о-алгеброй последовательности (з,); события А ы" .Ж также будем называть остаточными. Это название отражает тот факт, что любое Аев!У не зависит от любого конечного числа случайных величин $„$2, ..., 5„ и определяется лишь «бесконечно далекими» значениями последовательности $И $м ... Примерами остаточных событий являются 1,й, 5и сходится1, 1 л'., зи расходится~. л л Теорема 1. (Закон «О или 1» Колмогорова.) Если фь $»,, — независимые случайные величины, то всякое остаточное событие А а= Ж.имеет вероятность Р(А), разную О или 1.
Доказательство. Если Азий, то Аее М:, з при любом и. Твк как,Мз, ...ь„, и.4ь„«„~, „независимы, то Р(ЛВ)=Р(А) Р(В) для любого В е= М;,.„!„при каждом п. Следовательно, Л не зависит от л|обого В еи .сФ , а так как Ж с: — Ф , то А нс зависит Ы« °, ' «л» от самого себя, т. е. Р(АА) =Р(А) = Р'(А), откуда и следует утверждение. С лед ст в и е. Если зь зз,, „, независимы, то 'либо сходится с вероятностью 1, либо расходится с вероятностью 1; то же самое справедливо для ряда 2, си. Я~ й 43.
Различные виды сходнмостн случайных величин Сходимость пйчти нав Мы будем говорить, что Последоват ьность ь $ы .., сходится почти наверное л. и ,'1и,и,) к слУчайной величине $, и писать $и — «-К, если Р(!1гп $и Ц 1« и.э Ф~.в, вероятность события (еп 1!т $„(ьз) Ф й(ы)) равна нулю. п.и. Покажем, что сходимость $„-- $ эквивалентна !гому, что для каждого з ) О !ип Р (еи зпр ! $ — 4 ! > В) = О, (3) и-» « л« ~и 3-'свмом деле, событие Д,-«-з) можно записать так! ств !та ГЛ. М.
ССИЛВННЫИ ЗЛКОИ ВОЛЬШНХ ЧИСЕЛ $1е. Рхзличиые Виды сходимостн а противоположное событие представимо в виде В."В=Ц П () 1~В.— В1>Ц. г!и 1гппп 0 Для того чтобы Р(епт' 2), необходимо н достаточно, чтобы при всех г » ( П ! ! (! 1„ — ! ! » †' ) ~ - О, !Г! «и 1 тп""и а тах как () ~!~»с — $1> — „~ =- ( еир 1$ — ~1> ! ~, то из (4) следует, что при любом г ~~! 1!ш Р(епр1$ — $1> — ~ =О, п-» ~ »слыл что равносильно (3). Сходимость по вероятности. Мы говорим, что 2, сходится по вероятности к 2 (и обозначаем ń— 5), если для любого е > О Р (1 ь„, — ~ 1 > е) -» О, и -» со. Доказанный ранее закон больших чисел для суссм «„=11+... +5„независимых одинаково распределенных случайпых величин с ес(ьгс= а и Оььс= ог ( оо дает пример сходимости по вероятности — -»и, так как Че>О «и Р ~ ~ — „" — а ~ > е ~ -» О, и -» оо.
Поскольку (~ 5„— е! > е) :о-( зпр ) 5 — 21> е), то нз »сап условия (3) вытекает, что ап -» 5 влечет за собой $п — » 2. Мы будем говорить, что последовательность случайных величин $„ фундаментальна по вероятности, если ып> О Р(с$.— $ )> ) О, и. т Те о р,ем а 2. Для того чтобы 3„- $, необходимо н Р достаточно, чтооы последовательность Ц„ бьсла фундаментальна по верон!ности. Р Доказательство.
Если ~,—;, то нз неравенства Р(1$п — Йт1> е)е=~ ~1еп — 6~> 2 )+ Р)!2~~ е! 2~ вытекает фундаментальность (хйп). Для доказательства достаточности воспользуемся следующей леммой. Л е и м а 2. Еслсс последовательность 2, фундаментальна по вероятности, то из нее можно вьсбрать подпоследовательносгь, сходящугося п, и. Доказательство. Положим и! =1 н по индукции определим пь как наименьшее Ф > пь 1, для кото- рого Р~~ е, — 5с~> —,~ < — ь с ! ! 1 при всех г, я ~ Л'.
Тогда ~х ~~ ь+1 "~ 2" 1 ~-~~ 2" с ь поэтому по лемме Бореля — Кантелл!с с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий ~ еп — $„, ~ > —,. ПОЭтОМу ряд 21+ ~с ~$, „— чап„) СХОдИтСя Ь=-1 с вероятностью 1. Полагая Е=Ь+ л (епь+1 — е „) для тех ы, для которых ряд сходится, 'и нул!о в остальных точках, получаем 5„,-:-Ъ5.
Лемма доказана. Ь Докажем теперь достаточность 'в' теореме 2. Если еп фу~даменталыса по вероятности, то в силу леммы существует случайная величина $ и подпоследовательность $„„, $„,-'--' $, Но в этом случае еп — »$, так как Р»(12„! !>В) ЫР ~Є—...~>Я+Р1!~.,— Ч>Я Докажем еще одно следствиесходимости по вероятности.
180 гл, еь уснленныи злкон вольшнх чисел .Теорем-а 3; Если $„- $, то гРункция распределения Р Р;„(х) слабо сходится к ф1гнкции распреде гения Р1(х). Доказательство. Обозначим событие (1Ь вЂ” "ь- ~ » е) = А,, Так как при зг е= Ао е-е~«$„<5+е, то при любом х мы имеем ('-'„Х) с= (Е 99 Х + Е) (1 А (.9 < — е).= д.~.) () А„, откуда следует Р (1 » ~х — е) — Р (А„)» Р (~„~~ х) з, «~ Р (Й м х + е) + Р (А„), Р (з - х — с) - 11 пг Р й„< х) = 1! пг Р й, м х) ~ (Б) о-«со о «о »< Р (е » «х + е). Если х — точка непрерывности Р1(х), то из (б) получаем 1пп Рь (х) = Р1(х), что и требовалось доказать. о«о Если РЕ (х) слабо сходится к вырожденному распре.
делению, то имеет место обратное утверждение. -Теорема 4, Если Р! =ь Р1 и Р1 еырозкдено е точке с, Р то ео„— «с. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Р1„(с + е) -«1 и Р1„(с — е)«О, то Р (с — е < $„я=с + е) — «!, т. е. Р(1$„— с1> е)-«О, что и требовалось доказать, Следуюший пример показывает, что сходимость п.н„ сильнее сходимости по вероятности. Пусть пространство элементарных событий — это отрезок 11= (О, Ц, собы- тия — это борелевскне множества на нем, вероятность —. мера Лебега. Для 2':-= п.с. 2ь+' определим ь $„(оу) = и — 2 и+! — 2 1, — <оз( 2й О в остальных точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
