Полезная книга (543702), страница 13
Текст из файла (страница 13)
так как множества ($»- ~ х») е—: ,яФ, т. е. Являются событиями, то и нх пересечение П Ц» ~ х») ен ЛФ. Поэтому существует вероят» | ность этого события, которая называется многомерной Функцией распределения Р(»»1 <«х„..., $„~.;Х„)=РВ, ...2„(х„..., х„). Многомерную функцию, распределения мы будем иногда записывать просто Р(хь ..., х,), не указывая индексами 31...., $,. Обозначим |2»„.,»„Р(хь ..., х„) разность и-го порядка по аргументам х|...,, х„с приращениями Ьь ... ..., Ь,.
Последовательно зти разности можно определить следующим образом: Ь»,Р(«1„..., х„)= =Р(х, +Ь„х„..., х„) — Р(хи х|ь ..., х„), о»,»»Р(«1, хь ° ° х»)= г»ь.(ЬА,Р(х» ° ° х»)) =Р(х, +Ь1, х2+ЬВ, хз... „х„) — Р(«|+ Ь1, х|ь ..., х„)— Р (Х|» «2 + Ь2» ХВ» Х») + Р (Х|» Х2» Х»)» и т.д. В общем случае имеет место равенство Ь»1 ... А„Р (хь ° ° ° х») = 1 ( — 1)'+В|+ '"+В»Р(х + 0 Ьи ..., х +О Ь ), где суммирование ведется по всем 01 = 0 и 1. С помощью Р;,,2 (х|, ..., Х,) можно вычислить вероятность попадания в любой прямоугольник вида х,-»" $1'<««1+Ь1, | = 1, ° ° ° » и: ' +Ь, 1=1..., п)=Ь»,„.» Р(«1 ''' х»») (12) Доказательство формулы (12) можно провести после» довательно: Р (х| < 21 «< «1 + Ь|» $2 «< «2»»»2»»» «< х»») — Р Д1 «< «1 + Ь| ь»2 < ««2, ° ° '., »ь < х ) — Р61<х|, ..., 3,<«х.) =Ь»,РВ,...|„(хь ..., Х„); 12(х, <$1 <х, +Ь„х»< Ь2<««2+Ь2, Ь<х,„, 1~<«х )= Р(х <ЫА~+Ьь 5~<~~~+Ь2 Ь~<~м ''' ь <~ ) — Р(Х| < $1» Х|+ Ь|, 42 <ХМ ° °, $»»«<«с) = = Ь»,(А»,РВ, ...
2» («1, х2, ..., х )) = =й»,А,РВ, ..., (Хь х, ° ° °, х )' и т.д. Из формулы (12) и из определения многомерноп функции распределения Р(х|, ... х„) вытекают следую- щие свойства (которые доказываются аналогично одн»1- мерному случаю): 1) Р(хьхь ..., х„) по каждому аргументу не убы- вает и непрерывна справа; 2) Р( — оо» «2» ° ° ° » х»)=Р(«1» — оо» хз»» х»)= =Р(х|, ..., х„|, — со)=О; 3) Р(+ оо, + оо, ..., + оо) = 1; 4) при любых Ь| О, ..., Ь, 0 Ь», ...» Р(х„.. „х„)~0, Здесь, как и ранее, Р( — оо» Х„..., Х„)= 11П| Р(Х„Х„..., Х„), »»Ф»» Р(+ со, х2...
„х„)= И|п Р(х„х„..., х„). «»++» :!юбая функция Р(х„..., х„), удовлетворяющая свой- ствам !) — 4), есть многомерная функция распределения некоторых $,, ..., 5„. Пример функции 0 прн х1+х2 < 1 прн х +«2~1, в» Гл. 6 случАиные Величины 1авщни случАи! Э М. МНОГОМВЭНЫВ УАСПГЕДЕЛЕНИЯ вб для которой выполнены свойства 1) — 3) н ие выполнено свойство 4) (так как Ьцр(О, О) = Р(1, 1) — Р(1, 0)— — Р(0, 1)+ Р(0, 0)= — 1), показывает, что свойства 4) не вытекает нз первых трех, Из формулы (12) н свойства счетной аддитивности вероятности следует, что Р;, „» (хь .. „х )=Р„...» (хь ..., х„„+оа,..., +со). Назовем а-алгебру множеств и-мерного пространства й", порожденную всеаозможнымн и-мернымн прямоугольниками вида а, < х, ~» Ьь 1 = 1, ..., и, баре- левской и будем ее обозначать Я".
Множества нз Я" также будем называть барелевсиими. Как это было и в одномерном случае, многомерная функция распределения Р», „, »,(хь ..., х„) позволяет иам при помощи формулы (12) вычислять вероятности событпй вида 6еи В, где $ =(»л, ..., $л),  — прямоуголыщкн и ко. псчные их суммы. Лналогично таму, как мы зто делали в 3 27, доказывается„по с помощью таких вероятностей однозначна определяется вероятность события $ ~ В для всех ВеэЯ". События (ки ~(а)еэ В), где В ни Я". образуют а-падалгебру дл», „,» а-алгебры вд. Мы будем называть л»с», „, » в-алгеброй, порожденной слу. 1айными величинами сь ..., а„. Функция Р»(В)=Р(4'== ~ы В), определенная для всех В е— : Я", назывзстсп и-.иернььи распределснисти вероятностей' случайного век тора $=($~, ..., $„).
2(искретнае многомерное распределение задается капе:.ным илп счетным набором значений х = (хь ..., хк) и неотрицательных р(х) с ~р(х)=1. Вероятность Р»(В) = Р 5 ~ В) определяются в этом случае как Х р(х). Другой частный случай дают распределения с плотностью. 31наеомерной плотностью распределения р»(х), х =-(х, , х„) называется такая функция, что Р»(В) = Р ($ е В) = $ р»(х) их, (13) где справа стоит и-мерный интеграл па области В.
Интегралу справа можно придать смысл прн любам Вез ни Я", поэтому формула (13), вообще говоря, действует прн всех В в=Я". Из определения плотности р(х) еле« дуют ее свойства: р(х)- О, $р(х)д =~ °" $р(х)с( =1. (14) Функция р (х)", удовлетворяющая (14), может быть плотностью некоторого распределения, Из определения плотности вытекают следующие ее связи с функцией распределения: Г», ... »„(хь ..., х„)= к1 р», „, »„(и1, °... и ) с1и1 ° ° ° тти~ ОО 40 дЧ'(кь ..., «А) р(ха ..„хв)= дк~, „дкч В точках непрерывностн х = (х1, ..., х„) плотности р(хи хи ", хк) имеет место равенство Р (х1 < Ь < х, + Лх„1= 1, ..., и) = р(х1„..., х„) Ьх, ... Лх„+ а(йх1 ... Ьх„), п1 ах Ьх, -+ О. Примером многомерной плотности служит платность р(х) равномерного распределения на области В =1т" конечного и-мерного объема 15), задаваемая равен.
ствами 1 р(х) = — при х~8, О при х ФЮ. Вероятность Р К еи В) в этом случае определиется от. ношением объемов В()5 и 5: ~дйд) 1д ! Па втой формуле вычисляются так называемые геомет. рические вероятности (см. $51, 9е Гл, е случлнные Величины (аещнп случАЙ) $29. Независимость случайных величин Случайные величины 52, 5м ...„5„называются незавиеизеыми, если независимы порожденные ими а-алгебры ,41и л2тт,, ..., Фз„.
Это определение эквивалентно тому, что для любых В2ЕЕ Я л Р ($! ее Вь, . „$„ее В„» = Ц Р (5! ее В!», (15) ! ! Частным случаем (15) является равенство Р2, .„!„(х2, „хл) = РО, (х!) ... Ра„(хл), (16) справедливое при всех хь Из (16) нетрудно установить, чта при всех х; и й! ~ 0 Л26, РО, „, 2 (х2, ..., х„) = П АА Ге (х!), (17) 2=! чта эквивалентно (15) для В2=(хьх2+1!!». Как уже отмечалась выше, значения вероятности на всех интервалах однозначно определяют ее на борелевских мнаО жествах, поэтому из справедливости (17) вытекает справедливость (15) для любых В2е-:Я.
Таким образом, ра» вснства (16) илп (17) можно взять за определение независимости случайных величин $2, ..., $ . Если случайные величины дискретны, то из (17) еле« дует, что за определение независимости в этом случае можно принять равенство Р(2;=х2, ! — — 1, ..., п)=ПРЙ! — — х!», (16) 2-! справедливые при всех возможных х!. Для распределений с плотностью р2, ...2„(х2, ..., х,) за определение независимости можно взять равенство РЕ, „.2„(х2, ..., х„)=р2,(х!) ... Р2„(хл), (19) так кае нз (19), в силу (13), вытекает (15), а из (17» следует (19).
$ 22, незАВисимасть случАнных Величин 97 Если 5!...,, Сл независимы и п2(х) — борелевские функции, то случайные величины д2(5!), ..., Ул(9„) также независимы, так как Фе! 1221 '=.Фг!. Аналогн22но можно определить независимость векторов 52=(Ц„..., $„) как независимость порожденных имн в-алгебр ~2 ~2 2л где .тат,.=Фа!!,...,1,, Иначе это определение можно еаенсать в виде равенства Р(52ееВ2, 1=1, ..., п)=ЦР(52~В!», справсдлнвага для любых барелевскех В; ее Я'!. Аналогична, если $2,, $л независимы, у2(х) — борелевские функции, отображающие 1г ' в )ТО2, та векторы д2(5!), Е2(Ь2) ", дл(Е,) таКжЕ НЕЗаВИСИМЫ.
Формула композиции. Пусть 9 и 21 — независимые случайные величины, рм р„— нх плотности. Плотность совместного их распределения равна р2„(х, у) = = р2 (х) р„(у). Функция распределения суммы 5+ 21 равна следукнцему интегралу: Рт+„(г)= РВ+ 21~а»= ~ РЗ(х) рч(у)21хг(у. (20) л+У<2 Интеграл в (20) можно вычислять как повторный (для непрерывных плотностей — это факт из анализа, в об. щем случае†следствие теоремы Фубини, доказываемой в теории интеграла Лебега), поэтому ОО 2-Л ОО Рь2 (е)= ~ рт(х)е2х ~ рч(у)2(у ~ Гч(г — х)ра(х)22х -ОО ОО ОО О Л ОО ~ Рт(х) ~ Рч(У х)!ЕУ2гх= ~ 2!У ~ РЗ(х)рч(У х)22х Формулы Ра 2ч (е) — $ г'ч (е — х) Ра (х) 42х ЗАДАЧИ Задачи йй Гл.
а. слпчАиныв величины (овшии слнчАГИ СФ Р(+ч(я) = $ Рй (х)рп(я — х)«Ь' «« носит название формул кол!позиции или свертки. С по мощью нх мы выражаем плотность рйьв(а1 н фуикцинв распределения Рйч„(г) суммы независимых случайных величин через, плотности н функции распределения слагаемых. Пример 3. Пусть й и т! Независимы, Рй(х); — функ.
ция распределения й, а т) имеет плотность ( ) ! для и %~~ х% Ьэ О в остальных случаях. Применяя формулу композиции, имеем СФ ь Рй+ч(а) ~ Р((а-х)рч(х)дх= — „' ~РЬ(а-х)г(х« откуда получаем, делая в интеграле замену я- х и! ! Рй+„, (г) = — ~ Рй (и) лги. Отсюда следует существование плотности Рс (а — а) — Р» (в ь) Рй+ч(а)- Ь;а « 1, На прямоугольнике О ~ х.а~,а, О а'-' р < Ь с равномерным распределением случайно беретса точка (х, р). Найти фуакпвю распределения и плотность плопгадн й примоугольннка с вергпн. нами (О, 0), (О.
Ь), (х, 0), (х, р). Уь На отрезке [О, !) независимо друг от друга берутся две слу чайные точки е равномерным распределением. Йайтв функцвю рас. пределення Р(х) в плотность р(х) расстояния между ними. 3. Пусть случайные величины йг с функциями распределения Р~(х) независимы. Найти функции распределения а) !пах(йь ..., а.)," б) пт(п(йь ..., $,). 4«Пусть случайные величины йм ..., й, независимы и одинаково аспределеаы с функцией распределения Р(х] н плотностью р(»). 'порядочна вк по возрастанию, образуем «варнацноииый» рзд , ( .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
