Полезная книга (543702), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Этот закон можно задать веро- ятностями где р ~ ! ~~0, ~' . р~~ ! =1 н ха<хм<... 111"' А ! 1...„! !1'" В , < хач — значения, которые принимает случайная величина $1. Совокупность случайных величин $„~„..., ~„ порождает разбиение а1,1,„.1„, состоящее из событий вида А11 ~ — — (Ви! 51(а)=х,~,1=1...„п», н алгебру ,4~, ...-~, состоящую из событий вида Я1,..., 5„) с= В), где  — подмножество и-мерного пространства 1т". Так же, как в двумерном случае, по п-мерному закону (20) определяются маргинальные одномерные, двумерные и т. п.
законы распределения, например, Р(В1=хц)= Х рн „,, Р($, =хну ~,=х1,»= ~, Р„. Так же, как и в случае одной случайной величияы, мы часто будем считать, что случайные величины В» Вв .. , $, заданы, если задан их и-мерный закон распределения (20). В этом случае всегда можно построить такое конечное вероятностное пространство (11, .4, Р), на котором можно определить случайные величины $1, $э, ...
..., й„так, чтобы нх и-мерное распределение созна. дало с (20). Например„мы можем положить Я = (ы), где ы=(хы,...„х„1„), 1 <11~(й! и р(а)=р., Иногда и случайных величин й1, $1, ..., $„мы будем трактовать как компоненты случайного вектора В = = Я1, $Ы ..., с,). Распределением случайного вектора $, будет п-мерноераспредсленисРД ~ В) = ~, Р(в=х), х -В где  —.множество точек п-мерного пространства, х =. =' (х1, ..., х„) — возможные векторные значения случайного вектора $ 5 15.
Независимость случайных величин В общем случае одномерные законы распределения не определяют многомерного закона. Однако в важном случае независимых случайных величин по одномерным т4 Гл. А, случАйные величины (конечнАя схемА) А !а незАВисимОсть случкпиых величии вв законам распределения однозначно восстанавливаются многомерные распределения.
Определение 1. Случайные величины $1, $т, ... ..., 5 называются независимыми, если порожденные ими алгебры .411, Ф1т,..., А'1„ независимы. Поскольку каждая из алгебр л11„состоит из событий вида (й1ен В), где Вс:-В1, то данное выше определение эквивалентно следующему: случайные величины 51, ..., 5» независимы, если для любых числовых множеств В! р (х, ен В„..., Б„ан В») = — Ц Р й, ~ В!). (2Ц ! ! Из теоремы 6 в $ 1О следует, что независимость алгебр лаз,, ....,т!тз„равносильна независимости порождающих их разбиений аен ..., а1 .
Это приводит еще к одному эквивалентному определению независимости: случайные величины $„..., 5» независимы, если для любых хи, х»! Р (5! = х1п,..., 5„= х„г„~ = Ц Р (й! = х! 1!). ! ! Теорем а 1. Если случаиные величины $1, Кь ..., С» независимы, а у1(х) — числовые функции, то случайные величины т1! = д!(Я!), т)т = ут(зт),, ° °, Ч» = ь»(е») так ехе независимы. Доказательство.
Так как имеет место включе. ние Фе,(1,.) '— == Фгн то утверждение сразу следует из определения 1. Определение независимости (21) можно распространить на случайные векторы з!=1ьп,..., Ц!»!)„компоненты которых являются случайными величинами. Для этого надо потребовать, чтобы равенство (21) выполнялось для любых множеств В, с: — В' из г1-мерного евклидова пространства, Для таких независимых случайных векторов тоже будет справедлива теорема, аналогичная теореме 1, если д1(х) — функции, отображающие 1т'! и 1т'! Ей — г,-мерные случайные векторы.
й1удьтипликативное свойство математических ожиданий. Теорем а 2. Если случайные величинь! $1, $м ..„ .„,', ва независимы, то МЫЗ 6» =П Ма! Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем (22) сначала для двух случайных величин. Пусть Ч, т1 независимы, и ~=1 Лн Ч=Ху1., Е где х! «хз« ... «хы у! «ут - ... «у»,. Отсюда получаем, в силу алднтнвностн математического ожи- дания: А»! А !» 2'., х!утаил,е, М$т1 = ~.,,)„х!утР (А;В,). 1-! т-! 1=!1-! Из независимости $, т1 следует Р(А!В!) = Р(А!) Р(В!), поэтому М$т1 = Е х;Р (А;) К АР (В~) = Мк Мц, г! !! Общий случай можно доказать по индукции, если по.
ложить $ = 31 ... $» 1, й =$» и воспользоваться неза- висимостью $ и ть '" Из мультипликативного свойства (22) следует аддн- тивное свойство дисперсии. Геттрсма 3. Если случайнь1е величины $1, , $„независимы, то ОЕ,+ ". +й.)=О~,+ ... +ОЬ.. (23) Доказательство. Докажем (23) для двух неза- висимых случайных величин $ и т1. Общий случай по- лучаетси по индукции имеем 0(к+ т1)= М($+ т1)— — М Й + т1))' = М 1Й вЂ” М$) + (т) — Мт1))' = М Й вЂ” М1)т + +М(т1 — Мт1)т+2М(5,— Мз)(т1 — Мт1) Так как я, т1 не- зависимы, то а — М$' и т1 — Мт1 также независимы.
Поэтому М Ц вЂ” М~~) (т1 — Мт1) = М (в — М») М (т1 — Мт1). Отсюда следует утверждение, так как М (з — МЦ = М$ — М$ О. бе ГЛ. 3. СЛУЧАЙПЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1КОПЕЧПАЯ СХЕМА) )й 16. Евклидова пространство случайных величин Геометрическая интерпретация, Пусть пространство элементарных событий Я =(а) состоит нз н элементов ыь е)2, ..., В1,. Тогда каждой случайной величине К = = $(о1) можно поставить в соответствие и-мерный век.
тОр $ =($(о)))...,, $(о1„)). ЕСЛИ ввести скалярное произведение (й, ц)=Е$(ы)ч(ы)р(ы)=М~ч норму ~($~(=~($, $) н расстояние Рис. 9. Проекция $ иа РС ч)-~)Ц))=йЯ)=))1 — Е)) то множество всех случайных величин, определенных нз вероятностном пространстве (21, лр, Р), можно рассмагривать как н-мерное евклндово пространство. Определим в этом пространстве прямую констант 1е =($: $(о11) = Ч(е)2) = ... = С(о1„)). Спроектируем на прямую 1р, т. е.
найдем такую константу те ен 1о, что с(Я, те)= пппс((с, с). ри1, Так как прн любой константе с~ 12 М ($ — с)2 = М а — М$)2+ (М$ — с)2) 0$ то тт= Мй и 11Ц, тр)= "~/Щ. Таким образом, проекция $ на прямую констант 1о — это математическое ожидание М$, и $ — М$ ортогонально 1е (ортогональность мы будем обозначать знаком 1, так что в нашем случае $ — М$.1. 12), поскольку ($ — М5,1)= О. Расстояние $ от 1о равно среднему квадратическому отклонению ~10~ (см, рис, 9). Рассмотрим две случайные величины $ И 21. Полагая $ = МС+ 4„11 = М21+ 21„найдем косинус угла )рр,и, между $1 и 211: соз р ' — — . (24) (аь Ч,) М (й — МА) (и — МЧ) Ьа 11)1.1ч)1 е/Ой 011 А 16.
еВклидОВО пРОстРАнство случАЙных Величин Вт Этот косинус носит название коэффициента корреляции между $ и 21 и обозначается р(В,21). Числитель справа в (24) носит название ковариации между К и 21 и обозначается СОУЯ 21) = М Я вЂ” М1) (21 — М21). (25) Из (24) и (25) имеем сот(е, ч) ч/о; оч Из неравенства Коши — Буняковского (М~,21,)2» Мрс М212 следует, что всегда ~ р(э, 21) )»1.
если случайные величины $ и 21 независимы, то СОУ5, 21)=0 (таккак Сот(В, 21)=М5 — Мэ) (11— М21)™(й Мй) М(21 -М21)=0)„следовательно, и р ($,21) = О. Если р (й, 21)= р= 4+.а =О, то $1 .1 211 и случай- д тр ные величины еь и 21 12В рис 1о и е э ы В а ю 1 с я н э 1 с о 1 1 1 ) э л и р о э о ~ Р И С . 1 О . П Р О Е К И Ч Н а П С К < С 2 яэши. Из определения коэффициента корреляции вытекает, что прн а1а2 чь О Р(аЮ+Р), аец+Р2)= — — Р(Ь Ц).
Спроектируем вектор 21 на плоскость, в которой лежат ра и $. Проекция 21 = и",+(1 определяется константами чв и (1 (см. рнс. 10), прн которых 21 — ас — р ~ 1 н 21 — а$ — р 1 ~,т.е. М()1 — аэ — Р) 1=0, М()1 — а"„— б) К=О. Это приводит к системе линейных уравнений относительно а и р: а ° МВ + р = М11, а ° М$2+р ° МЗ=М$21. бз гл.
а. СлучАиные величины (конечная схемю й \т. услОВные мАтемдтические ОжидАния бй Решая эту систему, получаем Мйн — МЗ МЧ М$Я - (Ме)е МЕ'Мт! — Мбя Мб а~ а(а <т, — =р — ' ая ~а Ме = Мп — Р— б„, а где ат=0р бе=0ть р=р(с, т)). Таким образом, длн проекции т) получаем выражение т) = М т) + р —" Я вЂ” М$), (26) бт называемое уравнен!итм регрессии П ни й, Формула (26) дает линейное относительно й выражение т), для которого М (т) — т))' = шш.
Вычислим это расстояние: 1'(~ ()) = М(~ — й)е = М(ц — М~ — — " — Ме)')— = М(т)- Мц)с+ Ра — т М(ь — Мб)'— б( — 2Р—" М В вЂ” Ме) (т( — Мт)) = а; = — с:з + реат — 2рат! = а'„. (1 — Р'). ч Полученное выражение аа(1 — Ра) носит название остии точной дисперсии, Если ре= 1, то М(т) — т))я=О и т)=т) с вероятностью 1, т. е. с вероятностью 1 в этом случае $ и т) линейно связаны: — Р— Мч ~ — Мй ая а; Таким образом, коэффициент корреляции о = р(с, т() является мерой зависимости между с и и. Если е и т) независимы, то р = О; если же ра = 1, то $ и т) зависимы друг от друга линейно, причем при р =-1 т) монотонно возрастает вместе с 5, н при р =- — 1 — убываег.
Если случайные величины ц!, ..., е„зависимы, то при вычислении дисперсии их суммы можно пользоваться следующей теоремой, 7еор ем а 4. Имеет лтесто формула о ~ 0а+ ... +~.)=ХЩ+2 Е Со.аа, Ы. Д'оказ а тельство. Докажем теорему для суммы $+ т). Общий случай доказывается аналою!Чно. Имеем 0 а+ )) = М(( — Ми+() — Мч))'= М ($ — М~)'+ М (т) — Мт))е+ 2М й — МФ) (т) — Мт)) = =0$+0т(+2СОУЯ, т() й 17. Условные математические ожидания Вернемся к понятию условной вероятности.
Пусть дано разбиение а: А,+ ... +Аи=(а, (27) причем Р(Аа) > О для всех й. Относительно каждого события Аа из разбиения и любого события В !и!.я1 'можно образовать условную вероятность Р (В( Аа) =* — Пусть Ф(а) — алгебра событий, порожден- Р (ВАА) 1*(А,) ная разбиением (27). Определим условную вероятность 'Р(В !лр(а)) относительно Ф(а) как случайную величину, Таблица 5 Закон распределения условной вероятности Р (В(АО Р (В(Ат) Значения Р (В1.!Е (и)) Р (В1А„) Р (А!) Вероятности Р (Ат) Р (Аа) которая принимает значение Р(В(АА) при от ~ Аа.
Закон распределения этой случайной величины Р (В(Ф(а)1 определяется таблицей 5. Правую часть формулы полной вероятности Р (В),)„Р (Аа) Р (В(АА) во Гл. а слтчАнные Величины (конечнхя схемА! а !а ненлвенство чееышевА, ЕАкон вольшнх чисел 61 можно теперь трактовать как математическое ожидание МР(В$Ф(сс)) случайной величины Р(В$лФ(!х)). Пусть разбиение ат определяется случайной величиной Е! АА=($=хх).
Обозначим Фт алгебру, порожден. ную е. Условная вероятность Р(В!Ф!) в этом случае есть функция от значений Е, н мы обозначаем ее Р(В~3), а ее значение — через Р(В1е=кх). Предположим теперь, что В!=(Ч=у!), 1=1, ... ..., и, образуют разбиение, порожденное случайной величиной т1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
