Полезная книга (543702), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Найдем всроят ность того, что оба шара будут белыми. Эту вероятность можно найти с помощью теоремы умножения (3). Обозначим события А = (первый вынутый шар — бе. лый), В =(второй вынутый шар — белый). Тогда вы. М А( — ! числение вероятностей Р (А) = — н РА (В) =, сводится к более простым задачам о вынимании белого шара из урны, содержащей М белых и Лг — М черных шаров (соответственно во втором случае М вЂ” 1 белых и 1У' — М черных шаров). Имеем окончательно Р(АВ) = М (М вЂ” 1) -'(А) Рл(') = л~(н- Н С помощью (3) по индукпии легко доказывается бо. лес общая Теорема 1.
(Теорема умножения.) Пусть событие А1, ..., А„таковы, что Р (А1 ... А„,) > О. Тогда Р(А1. ° ° А„) =- Р (А1) Рл, (Аа) Рл,л, (Аз)... Рл, ... А„, (А ) (4) ВЗ ГЛ. В УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ, НЕЗАВИСИМОСТЬ Доказательство. Из условия теоремьх'вытекает, что су!цеству!От все условные вероятности в (4). Дли доказательства (4) по индукции обозначим В = А! ... ... АВ !, А = А„и применим (3) н индукционное предположение о справедливости (4), когда и заменяется на и†1. Справедливость (4) при и =, 2 также следует из (3).
Формулы типа (3) и (4) показывают, что на одно»! и том же пространстве элементарных событий»г с о-алгеброй Ф удобно рассматривать, наряду с вероятностью Р, условные вероятности РВ. $7. Формула полной вероятности О и р е д е л е н и е 2. Систему событий А о А», ..., А будем называть конечным разбиениел! (в дальнейшем— просто разбиением), если они попарно несовместны и А!+ А»+ ... + А„=!!. (6) Теорема 2. (Формула полной вероятности.) Если А!, ..., А„— разбиение и все Р(Л») > О, то д~я любого события В имеет место формула Р(В)= ~', Р(А»)Р(В)А»), ~ (6) называемая формулой полной вероятл!Ости. Доказательство.
Из (5) следует разложение В на сумму В»!) ВА, + ВА,+ ... +ВЛ„ попарно несовместных событий, поэтому Р(В) =,'!', Р(ВЛ,). Применяя к слагаемым Р(ВА») теорему умножения, получаем (6), П р и м е р 2. Вычислим в урновой схеме примера ! вероятность события В = (второй вынутый шар — бе. лытй!), Из классического определения вероятностиимеем М А! — М Р(А)= —, Р(А) = —, Ат ' Ф Р (В) = — — Р-(В) =-- — —. М вЂ” ! . М % К ФОРМУЛЫ В»ИССА По формуле полной вероятности Р(В)= Р(Л) Р„(В)+ Р(А) Рл(В) = ММ вЂ” !А! — МММ ~Ч У вЂ” ! ' А! 1Ч вЂ” 1 А! ' т с Р(А)=- Р(В). Аналогично можно установить, что вынимал последовательно без возврашення шары, мы получаем одну и ту же вероятность вынуть белын шар на любом месте.
Таким образом, при правильно орта. низованпой жеребьевке шансы всех участников одинаковы, независимо от того, в какой очередности онн тя. нут жребий. Эту же задачу можно интерпретировать как Вычисление вероятности Вытащить белый шар нз урчы, из которой был случайно утерян одни или несколько шаров, и 8. Формулы Байеса Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 2 и Р (В) > О, то имеют место формулы Р (А» ~ В) = — „ р(л») р(н~л„) (7) х ~Р(л,.)р(в!л,) !=1 называел!ые формулами Ба!Теса.
Доказательство. По теореме умножения Р (Л»В) =. Р (А») Р (В ! Л») = Р (В) Р (А» ~ В), откуда имеем р(л») р(н1л») Р(А,1В) = "р (в, Применяя к знаменателю Р(В) формулу полной ве- роятности (6), получаем (?). Формулы Байеса можно интерпретировать следую !пнм образом. Назовем события А» гипотезами. Пусть событее  — результат некоторого эксперимента. ВВ. роятности Р (А») — это априорные вероятности гипотез, вычисляемые до произведенпя опыта, а условные ве- роятности Р(А» !В) — это апостериорные вероятности гипотез, вычисляемые после того, как стал известен (Е ГЛ.
2. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ э з нвзлвпсимость совытии исход эксперимента В. Формулы Вайеса позволяют по априорным вероятностям гипотез и по условным вероятностям события В при гипотезах Лх вычислять апостернорные вероятности Р (Аь(В). Пример 3. Пусть имеются две урны, в каждой из которых по Л( шаров, причем в первой урне М, белых шаров, а во второй урне МВ белых шаров. Проводимый эксперимент состоит в том, что мы сначала с вероятностью 1/2 выбираем первую нлн вторую урну, а затем из выбранной урны случайно вынимаем (с возвращением) и шаров. Пусть событие В состоит в том, что вге вынутые шары — белые. В этом случае имеем две гипо. тезы: А~ — выбор первой урны и Ат — выбор второй урны.
По условиям задачи априорные вероятности равны друг другу: Р(Л,)=Р(Ат)=1/2, Далее, легко вычнсгл( ~л лаютсЯ Условные веРОЯтности Р (В ~ Ал) — ( " ) ФоР. (,У.)' мулы Вайеса дают пам априорные вероятности: ( ~л~,~" ( ы, " ' л(п л(р' Если М., <Мн то прп п-»Оо Р(Л, ~В)= „„-» 1, 1 +%У таким образом, знание исхода В эксперимента в этом случае дает нам возможность существенным образом изменить паши априорные сведения о гипотезах А~ и Аь 5 9. Независимость событий Попятив независимости относится к одному из основных в теории вероятностей. Если события А и В таковы, что Р(В) > О, то существует условная вероятность Р(Л ~ В). В случае. когда Р(Л ~В) = Р(А), мы говорим, что событие А не зависит от события В.
Если и Р(Л) > О„то в этом случае и из независимости А от В следует независимость В ог А, т. е. понятие независимости Л н В симметрично, Из теоремы умножения вероятностей (3) следует, что для независимых событий Л и В имеет место равенство Р(АВ)=Р(А) Р(В), Зто приводит нас к следующему определению независимости. Определение 3. События А и В называются независимыми, если Р(ЛВ) = Р(А) Р(В). (8) Если равенство (8) не выполняется, то события будем называть зависимыми. Зто определение уже не содержит ограничений типа Р(А) > О. В частности, если Р(Л)=0, то из АВы А следует, что и Р(АВ)=-0, а тогда, в силу (8), А н В независимы. Из определения (8) следует Р(А)= Р(А(В) и Р(В) = Р(В(А), если эти условные вероятности существуют (т. е. Р(В) > О и Р(А) > 0 соответственно).
Обычно независимость А и В, которую иногда назывшот теоретико-вероятностной, илп статистической, независимостью (в отличие от причинной независимости реальных явлений), не устанавливается с помощью равенства (8), а постулнруется на основе каких-либо внешних соображений. С помощью же равенства (8) мы вычисляем вероятность Р (ЛВ), зная вероятности Р(Л) и Р(В) двух независимых событий. При установлении независимости событий Л и В часто используют следующий принцип: события А и В, реальньге прообразы которых Л и В причинно независимы, независимы в теоретико-вероятностном смысле.
Реальный смысл этого принципа можно связать со свойством устойчивости частот, Пусть при ЛГ наблюдениях 1(1(А), )т'(В), Ж(АВ) — частоты событий Л, В и АВ. Так как из устойчивости частот следует — = Р(А), —,, =~ Р(В), — = Р(ЛВ), — ж Р(А (В)= Лг (Д-) Р (АВ) лг(в) Р (в) ' то нз независимости событий А и В, т. е. из Р(А(В) = = Р(А), вытекает й (АВ) в' (Х~ й (й) лг зз ЗЯ ГЛ. З. УСЛОВНЫЕ ВВРОЯТНОСТИ.
НЕЗАВИСИМОСТЬ $ !О. НЕЗАВИСИМОСТЬ АЛГЕБР И Е.АЛГЕВР нлн, что равносильно, у (ЛВ) !ч (А) й' (й) у Ф и Свойство (9) для причинно независимых реальных со. бытий Л и В установлено многовековой практикой человека. Это н позволяет нам сформулировать приве. денный выше принцип. Надо отметить, что этот принцип ни в коем случае не является теоремой. Так как он сформулирован не в терминах математической модели, то он и не может быть теоремой, И, конечно, из теоретико-вероятностной независимости событий А н В не следует причинная независимость их реальных прообразов Л и В. Следующий пример показывает, что независимость может исчезнуть, если незначительно изменить вероятностную модель. Пример 4. Из колоды в 52 карты (состоящей нз 13 карт каждой из четырех мастей) случайно вынимаегбя карта.
Рассмотрим события Л =(вынут туз) н В = — (вынута карта бубновой масти).Тогда событие ЛВ =. =(вынут туз бубновой масти). Поскольку в этом случае Р (А) = 4/52 = 1/13, Р (В) = 13/52 = 1/4, Р (АВ) = 1/52 = Р (Л) Р (В), то события А и В независимы.
Если же колода карт со. держит еще и джокер, то А и В станут зависимыми, так как Р (А) = 4/53, Р (В) = 13/53, Р (ЛВ) =- 1/53 и Р(ЛВ) ~ Р(Л) Р(В). 11онятне независимости двух событий распространяется на случай нескольких событий. Определение 4. События Аь Аз, ..., Л, называются независил!ыми,еслидля лзобых 1 ~11~ зз.с: ... ==' 1г, 2 ~ пз: и, выполняются разс1ютва Р(Л1,А1, ... А! )=Р(Л1,)Р(А,) ° ° ° Р(А1 )1 (1О) в противном случае события называ1отся зависил!Ыжи, Независимость нескольких событий называется иногда независимостью событий в саво!гуаности.
Из определения 4 сразу следует, что события любого подмножества Азв А)„..., А), независимых событий А„Аз, ..., А„также независимы. Нижеследующий пример показывает, что независи- мость событий А1, Ам ..., А„в совокупности — более сильное свойство, чем попарная их независимость. П р им ер 5. Пусть из чисел 2, 3, 5 н 30 выбирается .одно число, причем каждое нз чисел может быть вы- брано с вероятностью 1/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
