Полезная книга (543702), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2 соответствующие области заштрихованы). В настоящее время в теории вероятностей наиболее распространенным является подход, в котором событие определяется через пеапределяемое понятие элементарного события. Паиболее употребительная теоретико-вероятностная модель в простых случаях †э урнавая модель.
Пусть имеется урна с н одннакавымн шарами, Испытание состоит в том, чта мы случайно выбираем нз урны один шар, Обозначим й =(оз!,о!а, .". В!4 множество шаров в урне. Если нз урны при испытании мы вынимаем шар са, си Л, где А — некоторое подмио. жество множества шаров й, то мы будем говорить, что пронзош.чо событие,4; если же о>!аеЛ, то мы будем говоригть что событие Л пе произошло. В данном случае событие Л отождествляется с подмножеством Л множества всех возможных исходов или, как мы будем далее ганарнть, элементарных событий.
Б общем случае мы будем в каждой теоретико-всраятнастиай модели рассматривать некоторое основное множество й = з!аз~, Вудам называ!ь его элементы оз зле.яснгпрньсмм сабам пал!!з, сама множество й — щ>а- "Р"" ' !л" '" Р« * ' З ~а ".ЬйИЮ~~ *ч~ поймнааксства--Лы,й — йабытиялзи. Операини над событиямн — эта апсрацнн !зад йодмнажестяамн. Приэтам в теории Вероятностей употребляется своя терминология, связь которой с теоретика-множественной термина.
лагнсй отражена в таблице 1. Операш!и суммы н произведения событий можно распространить на лзобое конечное нлн бесконечное множество событий ! ! Л„, П Аа.Обычные свайстваопеа а раций нзд множествамн переносятся на операции иад событиями, например, ПЛ =ПЛ ПЛ =БА, А=А а а а а А=йь,А, Б=Гз, Й=З, А,В=А АВ=АВ, Л,ЛЛ,В!=ЛВ, Л в>в Л Таблпда ! пространство [основное множество) пространство элементарных событвй, достоверное событие элемент пространства ьз элементарное событие оз событие А сумма событий А н и множество А АВВ, А+В сумма или объединение множеств А и В произведение событий Л н и А!"!В,ЛВ пересечение множеств ЛпВ А ь~ В ~ разность множеств Л и В ~ разность событий Л и В нсвозможное событие пустое множество противоположное А собы- тие дополнительное множест- во Л АВ~ Я ~ А и В не пересекмотся ~ Л и В несовместны А Я=В ~ Л есть подмножество В ~ А влечет событие В А В ~Ливравны А и В равносильны 1 и т.
д. Иногда придерживаются следующего соглашения: если Л!, Аз, ..., А„попарно несовместны, то вместо !! ! !А; = А! 'ц Аз Б ° ° . 0 Л„пишут К Л! = А!+ ! ! ! =. ! +А,+ ... +Л„. В общем случае бесконечного пространства й мы рассматриваем не все подмножества й, а лишь некото. рые классы этих подмнолсеств, называемые алгебрами и и-алгебрами множеств. ГЛ. !. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО !в ф 3, ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО Определение 1. Назовем класс .РР подмножеств пространства й алгеброй мноаеест, если 1) Я спи, йен~Ф; 2) нз Аеы,Ф следует Л Е=Ф; 3) из А, Вен,я~ следует Л()В сна, ЛПВенФ.
Определение 2, Алгебру множеств я~ назовем о-алгеброй, если из А„ ~ лг, и = 1, 2... „ следует 0 Л. ~. П Л. - =~. ь-! ь ! ф 3. Вероятностное пространство Определение З.Тройку (й, .4, Р), где й — про- странство элементарных событий, Ф вЂ” о-алгебра под- множеств й, называемых событиями, Р— числоня!з функция, определенная на событиях н называемая ве- роятностью, будем называть вероятностным простран- ством, если выполнены следующие аксиомы: 1'.
Р(А).~ 0 для всех Л С=,Ф (неотричательность Р); 2'. Р(й) 1 (нормированность Р); 3'. Р(А+ В) = Р(А)+ Р(В), если АВ = 8 (аддитив- ность Р); о Ю . 4'. Если А„,) Я, т. е. А,:-= А,=-'... и Ц А„=-;.~, ь ! то ! Оп Р (А„) = О (непрерывность Р). и-+ Из этих аксиом вытекают следующие свойства ве- роятности, 1) Если А ы В, то Р(В'~ А)=Р(В) — Р(Л).
Так как В=А+(В '~Л) и А!)(В ~,А)!=2, то по аксиоме 3' Р (В).= Р(Л)+ Р(В ' Л), (1) 2) Если А с:- В, то Р (Л) :„ Р (В). Слсдуст из (1). 3) Для любого Лез Ф О! Р(Л) ..!. Следуе! из 2), так как З сс Л ы й. 4) Р(Л)=1 — Р(А). Следует нз аксиомы 3', так как А+ Л =й, ЛЛ = Я. б) Р (!с!) = О. Следует из 4) и аксиомы 2'. 6) Ил!ест место конечная аддитивностьс если А!А! = Ы для любых ! Ф !, то Р(Л!+Аз+ ... +А,) Х Р(Ль).
(2) Ф ! Следует из аксиомы 3'. Доказывается по индукции. 7) Для любых событий А„..., Л„ Р (Ц, А ) ~Е Р!л'>' Представим Ц ЛА в виде суммы попарно несовместь-! ных событий ВА=ЛА~,(А!ЦА,() ... ()АА !)! () Ля=иВ,. По свойству аддитивности 6) имеем Р(,0 А,)-Е Р(Ю, откуда следует (3), так как Р(ВА) ~~Р(Ль). 8) Для любых событий А и В Р (Л () В) = Р (Л) + Р (В) — Р (ЛВ), Слсдует нз А() В=А+(В ',ЛВ), аксиомы 3": Р (А () В) = Р (А) + Р (В '~ АВ) и свойства 1): Р (В; АВ)= = Р(В) '— Р(АВ). Аксиомы 3' и 4' можно заменить одной аксиомой счетной аддитивности (нли, как еще говорят, аксиомой о-аддитивности). 3"; Если события А„в последовательности А!, Аг, ...
попарно несовместны, то (4) Гл, г, БНРОятмостное пРостпхнство Теорсма 1. Сисге.яа аксиоьч 1, 2', 3', 4' равносильна сиегеме аксиом 1', 2', 3'. Доказательство, Пусть справедливы аксиомы 1', 2', 3', 4', и пусть Л,,— последовательяость попарно несовместных событий. Обозначим В„= ), Ам А = х а+! = )„А„. Тогда А при любом !г разлагается на ко. ь- ! печную сумму попарно несовместных событии А=Л,+А,+ ... +А„+В„, поэтому Р (Л) = Х Р (А ) + Р (В„).
Так как В,(,Я, т. е. В!лВ,= ... и П В„=З, то и ! по аксиоме 4' имеем Р(В„) 4 О, Отсюда вытекает счетная адднтнвность (4). Пусть теперь выполнены аксиомы 1', 2', 3*, и пусть В„(, Я. Обозначим А„= В„", В,„„а = 1, 2, ... События Л„попарно несовместны и В,= Х А., В„= 2 Л„ поэтому по аксиоме 3' ряд Р(В,)= )' Р(А„) сходится, а- ! и сумма остатка этого ряда Р(В„)= ) Р(Лх)-+О. Теорема доказана. Система аксиом 1', 2; 3; 4' илн 1; 2', 3' опреде. ляет вероятностную меру на а-алгебре лг пространства И. Эта система аксиом предложена А. Н, Колмогоровым. Происхождение аксиом 1', 2', 3' можно объяснить, исходя из свойства статистической устойчивости частот. Пусть А и  — несовместные события, М(А)/М и М(В) /М вЂ” их относительные частоты в какой-лябо длинной серии наблюдений.Так как М(Л) ~ О,то М(А)/М > =~ О, следовательно, то число Р(А), к которому близко отношение М(А)/М, должно быть неотрицательным, э 4.
к<йчечное вегоятностнов пеостР!м!Ство 19 Для достоверного события М(И)= М, поэтому надо по. требовать Р(И)= 1. Для несовместных событий М(А+ + В) = М(А) + М(В), откуда У (А+ В) У (А) ))! (В) = — +— х( у хг что и приводит к аксиоме 3'. Аксиома 4' (или 3*) имеет несколько другое прои!!- хождение, связанное ие с реальным свойством устойчивости частот, а с нуждамя развиваемой на основе аксиоматики мател!атической тео. рии. Поясним сказанпод иа примере, Пусть на единичный квадрат бросается случайно частица, причем вероятность попадапг!я в любой внутрен- / иий квадрат со сторопамв, пзраллельиыми сторонам основного квадрата, равна площади меньшего квадрата, С по- Т) мощью аксиомы 3' отсюда можно получить вероятность Рис.
3. попадания в л!абу!о фигуру, составленную из суммы конечного числа квадратов. Но нам хотелось бы иметь также возможность находить вероятность попадания в более сложные фигуры, напри. мер, в круг, Это можно сделать с помощью аксиомы 3', приближая круг фигурами, составленными из конечяых сумм таких квадратов (см, рис.
3). $4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности Рассмотрим простой случай конечного вероятностного пространства. Б этом случае И = (ы) — кояечное пространство,,Ф вЂ” алгебра всех подмножеств множества И (ввиду конечности .Ф эта алгебра автоматяческ;! представляет собой о-алгебру). Вероятность Р(А) дла любого подмножества А иэ И в этом случае моткно задать следующим образом. Пусть заданы неотрицательные числа р„ такие, что ,)' р„, = 1. Вероятность Р(Л) 20 ГЛ. 1.
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО 5 4, кОначнае ВВРаятнастнае ПРОстРАнстВО Я1 определим как сумму Р(А)= Х р„. Легко видеть, что так определенная вероятность (вместе с Р(Э)=0) удовлетворяет всем аксиомам, Обозначим !А~ число элементов в множестве А. Частным случаем определения вероятности (6) будет так называемое КЛОССи«ЕСКОЕ ОПРЕдЕЛЕНиЕ ВЕРОЛтиаСтио КОГДа ВСЕ Р» равны друг другу. Так как 1= ~~1 р„=р» !О1, то в В~и ! этом случае р = — и !!! ! Р(А) = — ° (8) Модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятности, используется е тех случаях, когда элементарные события обладают свойством «симметрии» в там смысле, что Все элементарные события находятся в одинаковом отношении к тем условиям, которые определяют характер испытания.
Например, бросание игральной кости или монеты обладает свойством «симметрии» по отношепн1о к выпада. нию того или нного числа очков на кости или тай вли иной стороны монеты, если, конечно, при броске они были достаточно высоко от горизонтальной поверхности и им было придана В начале броска вращательное движение (на пе вокруг оси симметрии), Таким же свой. ствам симметрии обладают правильно организованная жеребьевка и тираж лотереи. При нахождении вероятностей в схеме классического определения широко используется комбинаторика. Мы часто будем использовать камбпнатарные понятия раз. мещения, перестановки и сочетания.
Будем исходить из конечного множества Х = (х1, хо, ..., хк), состоящего из У элементов хр Пусть 1 ~ и = У. Разл1ещениеля иэ У элементов множества Х по и элементам (коротко, размещением из У по и) назовем любой упорядоченный набор (х1, х, ..., х ) элементов множества Х. 1 2 Два размещения ~х, х, ..., х, 1 и Гх,, х,, ..., х, ) (10) равны тогда и только тогда, когда все х,„ = хьн й= 1,... , и. Число всех различных размещений из У зле* ментов по п обозначается Ай и равно У(У вЂ” 1) ... (У— — а+ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
