Полезная книга (543702), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Последнее произведение мы иногда будем обозначать как обобщенную степень У!"!. Таким образом,:для числа всех размещений из У элементов по п мы имеем формулу А:,=У'"'=У(У вЂ” Ц ... (У вЂ” и+1). Р) В дальнейшем будем полагать Лн = У = 1 при любом о 1о! целом У-: 1. Формула (7) легко доказывается по ин дукции. Частный случай размещения при У = и пазы.
вается перестановкой нз У элементов. Число всех пере. становок нз У элементов равно А =У' " У(У вЂ” 1) ... 2 1=У! (8) Из (7) и (8) следует также формула о А! Ан= (ж-.)! (0) Сочетанием из У элементов множества Х по и называется любое подмножества (х1, ..., х ) мощности и множества Х, Общее число всех сочетаний из У по и обозначается Сй и равно Ай Ж! Сй= — = и! и! (12' — и)! ' Из (10) имеем соотношение Сй=Сй ", В дальнейшем будем полагать О! = 1, Си = 1 и Сй = О, если 72 — целое и к <О или й> У. Пример 3.
Выборка без возвраи!ения. Пусть имеется урна с У шарами, которые мы занумеруем числами 1, 2, ..., У. Предположим, что шары с номерами 1, 2, ..., М белого цвета, остальные — черного. Выборка без возвращения состоит в том, что мы наугад вынимаем из урны последовательно п шаров, не возвращая их обратно, В этом случае за пространства элементарных событий Й =(оо) естественна принять множество всех упорядоченных пабарав ы=(а1, ая, ..., а„) (11) 22 гл, ь ввгоятностион пгостглпство $5.
ГеомвтРическив авэоятности чисел аь 1 =. сц К >э', не равных друг другу. Мощность множества Йравиа в этом случае ~а)=М(йг — Ц ... (й — + Ц=йГ'"' (12) — числу размещений Ж элементов по а. Вычислим вероятность события Л, состоягцего в том, что среди выбрвшгых и,шаров имеется ровно ги беды;~„, Для этого подсчитаем ~А„ф ~ Лм ~ = С М~ 1(Л' — М)~'" " 1, (13) В самом деле, число элементарных событий (11), у которых ровно в лч случаях 1 = а; - М, определяется как произведение: С„" — числа способов выбора ги координат из общего количества нх и. на которые мы помещаем 1:-= а; ~» М; М~"~ — числа различных наборов 1 » ~и, ~ М, попадающих иа отмеченные и> мест; (У вЂ” М) м- 1 — числа различных наборов М+ 1» и> » Л>, попадающих на остальные места.
Из (12) и (13) получаем СмМ!3721 (л> М)м >>и Р(Л )= Пользуясь (1О), мы можем вероятность Р(А„,) выра-зить в следующих эквивалентных видах: ~ Смсй„'м) С„"'Снм „'" П р н и е р 4. Быборка с возвращением. Пусть имеется та же урна, но выборка и шаров из нее происходит последовательно по одному шару, и при этом каждый раз фиксируется номер шара, а сам шар возвращается обратно в урну. В этом случае пространство элементарных событий состоит из всевозможных векторов (1Ц, у которых координаты не имеют никаких дополнительных ограничений, кроме 1» я; » йГ, Вэтом случае ~й !=У", а вероятность события Ааь вычисляемая аналогичным способом, равна Р(А )=С~" „=Сь (у) ~1 — у) ° (и) $5. Геометрические вероятности Еще один важный класс моделей вероятностных пространств дают так называемые аеометричесние аеролгносги.
Пусть Я =(ь>) — область евклидова и-мерного пространства с конечным и-мерным объемом. Собы. тнямн назовем подмножества Й, для которгях можно определить и-мерный объем. За множестно событий можно принять так пазываему>о и-алгебру Я борелев. ских подмножеств й (подробнее об этом см. гл. 6, 2 27), За вероятность события А еэ Я примем ~л~ ю ~(з зцз где ) 1' ~ означает и-м ерный об ь- Рнс, 1 ем множества К Понимая под и-мерным объемом соответствующую меру Лебсга, мь| получаем вероятностное пространство (й, Я, Р), где вероятность Р определена равенством (16).
Это вероятностное пространство служит моделью задач, в ко. торых частица случайно оросается в область Я. Предпо. лагается, что ее положение равномерно распределено н этой области, т. е, вероятность попасть частице в область А пропорциональна а-мерному объему этой области. П р н м е р б. Стержень разламывается на две части в слугайпой точке, равномерно распределенной подливе стер:кня, Найти вероятность того, что меньшпй обломок имеет длину, не превосходящую одной трети длины стержня, Обозначим длину стержня 1, а расстояннеточ. кп разлома от одного (фиксированного) конца стерж. ня — х. Тогда описанное событие произойдет тогда и только тогда, когда либо к » 1/3, либо х ~ «21/3.
Искомая вероятность равна отношеншо (1/3+ 1/3):1= 2/3 (см. рис. 4). П р и м е р 6, Задана Бюффона, На плоскость, расчерченную параллельными прямыми, находящимися на расстоянии и др~» от друга, случайно брошена ишш длины 1 ~ а. Найти вероятность пересечения иглы с ка. кой-нибудь нз параллельных прямых. Обозначим у расстояние от середины шлы до ближайшей прямой, х-- острый угол между иглой и перпендикуляром к парал 24 ГЛ. 1.
ВВРОЯТНОСТНОН ПРОСТРАНСТВО ЗАДАЧИ лельным прямым (рис. 5). Координаты (х,у), определя1ощие положение иглы относительно параллельных прямых, удовлетворяют условиям О ~ х ~ п(2, О а- "д а:. «~ (/2. На плоскости (х,у) оии образуют прямоугольник ь). Попадание точки (х,у) в заштрихованную об. ласть Л (см. рис, б) приводит к пересечению иглы с у а/г з(г у=умах Рнс.
6. Рис. Ь. одной из параллельных прямых, По формуле (16) искомая вероятность равна — соз х ах 2 ~А) е 21 )М! а(2 л!2 ап Задачи 1, События А и В несовместны. Доказать, что В= А тогда к только тогда, когда А + В Р, 2. Известно, что АОВ= Я н АПВ= О. Доказать, что в атом случае В=А.
3. Доказать, что события АВВА и В 'ъ, Л равносильны. 4, Доказать, чта А ', (А ', В) = АВ. б, Доказать, что; а) АВ = В тогда и только тогда, когда В к А; 6) Л О В = В тогда и только тогда, когда А = В. 6. На карточке спортлото из 49 клеток отмечено шесть. Какова вероятность того, что равна трн из отмеченных клеток выпадут в очередном тиражеР (В тираже производится случайная выборка шести элементов без возврашеиия нз множества 49 клеток карточки спортлото.) 7. Трехзначное число случайно и равновероятно выбирается из всего множества трехзначных чисел.
Найти вероятность тога, что оно делится: а) на 3; 6) на 6. 8. Деталь с всроятностью 0,01 имеет дефект А, с вероятностью 0,02 имеет дефект В и с вероятностью 0,005 имест оба дефекта. Найти вероятность того, что деталь имеет хотя бы один дсфскт, 9. При жеребьевке йг человек тянут билеты с номерами 1, 2, ..., У. Первые три человека вытянули номера ха хз, хз. Какова веронтность того, что ш!и (хь хз) < хз < тпах (хь хз) Р 10.
Из кармана, в котором находится 1О монет достоинствам 20 коп. и 10 монет достоинством 3 кап., вынимается пригоршня из 10 случайно взятых монет. Какова вероятность тога, чта в кармане осталась сумма денег, не меньшая той, что вынута? 11. Из 10' чисел 0000, 0001, 0002, ..., 9999 случайно и рав- и новероятво выбирается чвсла. Какова вероятность того, чта в выбрашюм числе: а) все цифры разные; 6) имеются только за " 3 разные цифры; в) нмеются только 2 разные цифры; г) все цифры однпаковыеР 12.
На бесконечную шахматную доску са стороной квзд. рата а бросается наудачу мане. та радиуса г, 2г ~ а. Найти вероятность рь того, что монета Рис. 7. будет иметь общие точки с а квадратами, л = 1,2,3,4. 13. На паркет, изображенный на рис. 7, случайно падает монета радиуса г„2г.С а. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри маленького квадрата.
14. На квадрат случайно с равномерным распределением бра. сается частица. Йайти вероятность того, что она удалена от вершин квадрата на расстояние, ие меньшее половины длины стороны квад. $ к услОВные ВВРоятности Г л а в а 2. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ 2 б. Условные вероятности Пусть при Л' испытаниях события А, В и АВ произошли с частотами И(А), 1У" (В) и Л)(АВ). Назовем отношение )Ч(АВ) /Л) (В) Условной относительной частотой события А при условии, что произошло событие В, Если имеет место устойчивость частот А' 'А) и Р(В) >О, то относительная частота Х(АВ)/М(В) тоже усгойч`за: Х(АИ Н(АЛ)1Н Р(АП)' (!) ь' (В~ и (и)) н Р (и) Соотношение (1) приводит к следующему естественному определению. Определение 1, Г1усть Р(В)>О.
Условной втронтносте о Р (А ! В) события А при условии, что произо1пло событие В (илн просто; при условии В), назоВеч отпо1псннс Р.(А1! В) = — '' Р (и) (2) В Ф У Для уело. ной вероятности Р(А,'В) приченястся также обозначс"ше Ре(А). Гслп В фиксировано, а Аы 4 пз.некото11ого вероятаостного пространства'(й, Ф, Р), тр условная вероятность Ре(А), рассматриваемая как функция Ре от события А ~ М, определяет новое вероятностное простпанстзо ((1, Ф, Рв). Дла того чтобь: это Установить, надо про.ернть, что Р„удовлетворяет аксиомам 1" — 4'.
Это легко делается, так как в с:1лу (2): Р (Ай) Р (()Л) 1 в('4)" Р (()) ~~ ()! 1 в (О) = р (1)) =' 1) если А,А. = (с), то (А,В)()(АеВ)= О и Р (А,п -~ А,))) Р (А и) Р (А Л) '+ "' Р(п) Р Ф) Р(п) =Р (А)+ Р (А~)1 и, наконец, нз А„,) (г) следует ВЛ„4 Я, поэтому 1, Р(ВА) О Р (П) Переписывая (2) в форме Р(АВ) = Р(В) Рв(А), (3) мы получаем равенства, которое называют теоремой длноженил.
Если исходить из определения (2), то содержательность теоремы умножения (3) представляегся весьма невысокой. Однако в применениях мы часто условную вероятность Ре(А) будем вычислять, исходя не пз формулы (2), а из каких-либо других соооражений, В этом случае формула (3) уже определяет Р(АВ) с помощью Р(В) и Р(В(А), а не наоборот. Пример 1. В урне находится М белых и Л) — М черных шаров. По схеме выборки без возвращения по* следовательно выбираются два шара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
