Полезная книга (543702), страница 11
Текст из файла (страница 11)
С какай вероятностью за 3 л»свных часа поступит более 1О вызововр 5, Какова вероятность, что в группе, состоящей из 30 студентов. из,;о не родился в январе месяпет Вычислить эту вероятность по тч » ой формуле и по пуассоновскому приближеншо, Глава 5. ЦЕПИ МАРКОВА 5 24. Марковская зависимость испытаний Очень часто реальные случайные явленпя можно изучать с помощью следующей модели. Пусть состоян1 е некоторой системы описывается точкой фазового пространства Е =(еье„..., е). В дальнейшем точки нз Е будем обозначать просто числами 1, 2, ..., г. Прел. положим, что время 1 дискретно и прнпнмаот значения 1= 0, 1, 2, ..., Т.
Эволюция изучаемой системы описывается траекторией со =(шш шь ..., шг), где шг если в момент 1 система находится в состоянии й В описываемом случае вероятностное пространство (И, лФ, Р) определяется пространством траекторий Я =(ш), алгеброй .рб всевозможных подмножеств й и вероятностью Р, задаваемой элементарными вероятностями р(ш). События Л;(1) = (он ш~ = 1), 1= 1...,, г, при каждом 1 определяют разбиение сеь которое порождает алгебру ' событий ягь Исходя из принятой нами в 9 11 термино логии,мы будем говорить, что 4е, Ф1 в~т 3~г (1) есть последовательность случайных испытаний.
В 5 11 мы описали модель последовательности пеза. висимых испытаний. В 1907 г. А. А. Марков ввел такой класс зависимых испытаний (1), который может слу. жить моделью многих случайных явлений. Этот класс впоследствии изучался очень интенсивно н привел к сильно продвинутой в настоящее время теории марковских процессов. Простейшая модель марковского процесса — цепь Маркова — определяется следующим образом. В последовательности испытаний (1) зафиксируем какой-нибудь момент времени й Алгебру событий Фт назовем настоягциж, алгебру .вб, ', порожденную алгебРамн .Фе, Ф» ..., .Ф1 н назовем прошлым, алгебру гл з цепи мм'ковх Ф за пврвходныз ввгоятностт! с!!бытий,за!+!, порожденную алгебрами.!Ф!+!, ..., Фт,— т будущняс Любое событие из Фз ' также назовем про- и!лыж, из Ф~!+! — будущил, из лФ! — настоящим, Напри- мер, событие (ьи найдется такое и, что ! ~ й < Т н ы.
= !ьз+!) принадлежит будущему, а событие (сп для всех /г, 0 < й ~ 1, тех ~ т) — прошлому. О и р е д ел е и н е 1, Последовательность испытаний (1) мы будем называть цепью й(арнова, если при любом ! ! фиксированном настоящем !з!=й прошлое Фо и бу- дущее '4!+! независимы, т. е, для любых 1ь.й =.т, т (=- 1, 2, ° ° ! у 1, 1!==в~0 ~ Вен ят!+! Р(ЛВ! гз! —— й)=Р(А! ы,=ЦР(В! сз,=й). (2) Поскольку из определения условных вероятностей следует, что для любых событий А, В, С с Р (ЛС) > 0 р Р (л)с) то условие (2) равносильно условию Р (В !е! —— - й, А) Р (В !гзт = Ц, (3) 6 23. Переходные вероятности Вычислим вероятность того, что траектория та =- =-= (ыс, ы!, ..., ыт) равна (1о,(!, °, !т) Для этого воск!ояьзтсмся введенными выше обозначениями А!(1) =--:,'ы: ы; = — 1) и теоремои умножения нз $ 6. Имеем Р=-(й! '! ° ° * 1т)) = т ==- Р (Л!,(О)) П Р(АФ)1АЯ,(О) Л!(1) ..
* А!!, (1 — 1)). (4) Из условия (3) получаем для цепей Маркова Р(Л,,И!Л,,(О)Л!,(1) ... А...(1 — 1))= = Р (Ак, (т) $ А;,, (т — 1)), по"тому (4) запишется проще: т Р(е!=(!а (ь " !т))=Р(А!,(0)) П Р(Аю,(Г)) Лт, !(1 — 1)1. (6) В дальнейшем мы будем рассматривать однородные цепи Маркова, в которых условные вероятности Р (А (1) 1А ! (1 — 1)) = ргр называемые переходными вероятностями, не зависят от 1. Таким образом, чтобы вычислить вероятность любой траектории тз в цепи Маркова, достаточно задать начальное распределение р!(0) = Р(А!(0)) н матрицу переходных вероятностей Р!! рм Рн яи рм Рм Рг! Рт! ° ° ° Ртт (6) Вероятность (5) записывается тогда так: т Р ( = (1 . и °, ' )) = р!, (О) П В..~.
с-! Элементы матрицы переходных вероятностей обладают следующими свойствами: Матрица Р(1)=ир Юн также будет стохастической. Переходные вероятности удовлетворяют при любых целых 1=«О, з «О уравне- нию р!!(1+ з) = Х,, рм(1) р„(з) (0) Это уравнение выводится с помощью формулы полной вероятности ры (т + з) = Р (А, (1 + з) ~ А, (О)) = = 2.' Р(Л1(1+ з)1А,(О) Аз(з)) Р (А,(з)!Л,(0)). з-! Р!!~~0 Х рп= 1 ° (6) ! Любая квадратная матрица (6), элементы которой улов* летворяют условиям (8), называется стохастичесной... Введем переходные вероятности за Г шагов: р,!(1)=Р(А,(К+в) ~Л,(з)).
зо ГЛ. О. ЦЕПИ МАРКОВА о оо. ТеОРвмА О ПРядвльных ВВРОятност51х В! Так как Р (А5 (! + е) ! А5 (О) А» (з)) = Р (А5 (Г + з) (А„(в)) в силу марковости н Р(А5(Г+ е)! А»(8)) = Р(А5(Г) (А»(0)! в силу однородности, то отсюда получаем (9). Уравнения (9) можно записать в матричной форме Р(1+ в) = Р(!) Р(з), откуда имеем Р(!) Р', где Р(1) = Р— матрица (6), Предполагая ру(О)=би (бу=О, если (я~* ь ба= 1), мы распространяем уравнения (9) на случай 1)~ О, в ~~ О, Через начальные вероятности р~(0) и переходныевс- роятности рц(!) мы можем выразить с помощью фор- мулы полной вероятности распределение вероятностей р5(1)= Р(А5(!)) при любом Г: г р5 (!)= ~' р»(0) рон(!).
(10) Пример 1. Блуждание' с послов!ением. Пусть по точкам О, 1, 2...,, Л5 прямой блуждает частица. Время 1 дискретно. Если в момент г частица была в точке Б то в следующий момент !+1 она независимо от ее по- ложений в более ранние моменты времени с вероя:- постью рн попадает в точку !. Если !!Рн!! задается ра- венствами Роо — — Рня — — 1, РА;+5 = Р, Рь;, = 1 — Р,если ! «! = У вЂ” 1 и рн=О при !! — 1)'-» 1, то мы полу- чаем цепь Маркова, которая описывает блуждание час- тпщы по целым точкам отрезка 10,У) с поглощением на коещах. Пример 2. Блуждание с отражением. Пусть пере- ходные вероятности рь ~+ь рь; 5 для 1 г 1«У — 1 и рн для !! — !!» 1 остаются теми же самыми.
Если оп- РСДЕЛИтЬ ЕЩЕ РОО = 1 — Р, Ро1 = Р, РНН = Р, Ря, Н 5 =1— — р, то полученная цепь Маркова моделирует блужда- 1 1Х ние частицы по целым точкам отрезка ( — --, Л5+-~ я1 с отражением па концах. $26. Теорема о предельных вероятностях Теорема 1. Если при некотором го все элементы Р„(!о) »1атРи5(ы Р' положительны, то сУЩествцют пРе- делы 1!П5 Ро'.,5) = Рр 1= 1, „г. (!!) Ф-»Ог Предельные вероятности р5 не зависят от начального состояния ! и являются единственным решением системы г г ,1 х»р» =х, 1=1, ..., г, ~,х1=1.
(12) Доказательство, Обозначим М (!) гпах рм (!), т5 (!) = 1П1п рм (г). ! с Так как т;(!)г р»5(1)г М5(!) при л1обом !г, то из равенства Рн (! + 1) = ~~~~ро»Р»5 (Г) следует, что при всех ! т1(г) «р,!(1+ 1) (М;(Г). Отсюда вытекает т5 (!) » «т5 (! + 1) ~.:, "М5 (! + 1) » М5 (!), Таким образом, при 1-» ьь имеются пределы у последовательностей т5(!) и М5(!). Докажем, что эти пределы совпадают.
Пусть ! и 1 таковы, что р5»(г+ го) =М»(1+ + Го), !55»(1+ Го) = т» (гг + го) . ВычитаЯ ДРУГ из ДРУга равенства г м»(1+ !о) -РР»(!+го) = Д; ри(го)ры(1) г т»(Г+!о) =Р5»(!+Го)= Е Р1(!о) Рг»(1) получаем М»(1+!о) т»(!+Го)= Е(ра(!о) Рд(то))рс»(!). 1 ! Разобьем сумму справа Х, на сумму 2', пол ожитель" ных слагаемых и сумму ~'., отрицательных слагаемых. Тогда М»(!+ !о) — т»(г+ !о) ««М»(") л'. (Ри(!о) — Рр(го)) + +та(!) 2: (Ри(!о) — Рр(!о)) (И) гл, а, ципи мариона Задачи х| — — Е хзрз| (|). (14) Так как О=,".(рп(/э) — р/1(/о)) = Е'+ ~',, то — .
Обозначим ~'„(р11(/о) — р|1 (/о))=г!1|. Из условий теоремы следует, что все с(11 < 1, поэтому 11' = и!ах г/1/<1, 1,! Теперь нз (13) имеем Ма(/+ |э? — тз(|+/э) ~1( (Ма(!) — лта(/)) О~М,(/) — з(/). (Ы О прн /-ь оо. Так как гпь(!) е' рм(|)~< Ма(/), то отсюда следует утверждение (!1), Перейдем в уравнениях г рц(| + 1) =- Х, рга(/) ра| Ь-1 к пределу по / — ь оо. Получаем г Р/= ЕРаР | ь-! г Кроме того, Х, р| — — 1, т.
е. предельные вероятности р/ |-! удовлетворяют системе (12), Предположим, что какие. либо х1, ..., х, удовлетворяют (12). Тогда они при лю. бом 1 удовлетворяют системе Это доказывается по индукции: г г 1' хара/(/+1)= Еха Х ра1р1/(г)- а-! З=1 1-1 г г г г хара!1 р1!(/) = ~, кгр11(/) =х|. ,1а! 1-1 Переходя в (14) к пределу по |-+со, получаем х|—- ~„хар! — — р|, Теорема доказана. а-! Из формулы (1О) следует, что в условиях теоремы 1 р1(/)- р| при Е-ьсо, причем предел не зависит от пер воначального распределения р;(О). Можно проверить, что цепь Маркова, описывающая блуждание с отражением в примере 2, удовлетворяет условиям теоремы, Предельные вероятности в этом случае можно найти с помощью системы уравнений (12).
1 В урне содержится 5 шарон бечыс и черные Испытание состоит п том, что каждыи раз аз урны случайно вынимается один шар и взамен в урну возвращается шар, но другого цвета (вместо белого — черный и наоборот), Найти матрицу переходных вероятностей 1 ро !! для цепи Маркова, состояниями которой является количе. ство белых шаров в урне. Найти вероятности перехода эа два шага рп(2).
Найти предельные вероятности 1!и! р (|) = р . 1-г ьь 2. Модель перемешиеекия колоды карт. Пусть имеется трн кар* точки с номерами 1, 2, 3. Состоянием системы назовем последовательность номеров этих карточек |дт|з. Предположим, что переме. шиванпе происходнт следующим образом: с вероятностями !/2 состояние |дь!г переходит в |ь!г|з нли в |г|г|1т. Найти матрицу вероят. ногтей перехода.
Найти предельные вероятности р|1 1,1,|. 3. Полагая в прямере ! 5 25 /г' 3, вычислить вероятности перехода ро(1) за | шагов и пределы 1пп р; (|) =р 1-ь 4, Пусть случайные величины 1!, ьз... „1е независимы и Р (йь — — 1) р, Р (э О) 4, р+ 4 1, Доказать, что пары (1ь Ы, ($з, Ы, °... (1„-ь 3„) образуют цепь Маркова. Найти переходные вероятности этой цепи за | шагов, | 1, 2, ... 5. Образуют лп цепь Маркова значения случайных величин ур = йг ..!51, где $! взяты из задачи 4, если 0 ( р - 13 5 2т. слтчлнные Величины и их РлспРеделепия аз Глава 6.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) й 27. Случайные величины н их распределения Пусть (Я, Ф, Р) — произвольное вероятностное пространство. Теперь уже случайной величиной мы будем называть не любую числовую функцию $ = $(ег). Определение 1. Числовая функции $ $(ег)' от элементарного события ег е= Я называется случайной величиной, если для любого числа х Я 'х)=(ее $(ег)»х«енлс.
(1) Смысл этого определения состоит в следующем. Поскольку не любое подмножество ьа является событием н все события составляют а-алгебру подмножеств ахс, то естественно рассматривать такие функции Ц = $(ег), для которых имеет смысл говорить о вероятностях попадания $ в достаточно простые числовые множества, в частности, в ($» х). Свойство (1) гарантирует, что при любом х неравенство Д = х) есть событие и, следовательно, имеет смысл говорить о его вероятности. Определение 2.
Функцию Р(х) =Ге(х) =Р($»х«, (2) определенную прн всех хан гт, назовем фуняциег! распределения случайной величины й. С помощью распрсделения (2) можно выразить вероятности попадания $ в различные интервалы вида х, »х х„х, < х < х„х, < х»х,, х, »х < х,. (3) Пусть х, <х,. Тогда нз разложения события Д»хз) на сумму несовместных событий ($»х!«+(х! <$»х!« следует Р (с» х!) = Р ($» х!) + Р (х! < $ «» хз) н Р(х! < $- 'хз) =Р(ха) — Р(х!). Событие Ц» х«можно представить как счетную сумму несовместных событий (х — — <$~»х — — „1г, х ! откуда с помощью (4) получаем: Р (5 < х) = ~~! Р ( х — — „, < й» х — — „1 = Р (х — 1) + х ! +" Х(Р( - —.')-Г~ — —.' ))- 1!пг Р (х — — ) = Р(х — О).
(5) ! х я-хм аг) Здесь и далее мы будем пользоваться обозначениями Р(х — 0)' — !пп Р (у), Г (х+ 0) = !!гп Р (у)„ егх егх Р(+ ° )= 1!!я Р(у), Р( — ж)= !!пг Р(у). е-х Р.+ — ОФ С помощью (3), (4) и (5) нетрудно угке получить ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
