Полезная книга (543702), страница 14
Текст из файла (страница 14)
з, ~ Нанти птотность распрелстенкя «ьг»> и дау мерную плотность распределения $~»> н 3пь Ь 5. На прямоугольнике О ~ х «К а, О е. р «~ Ь случайно с равно. Мерным распределюшси берется точка. Доказать. что се коордийаты (й, т!) независимы. 6. На круге х'+р' < )(» с равномерным распределением слу.
чайно. берется точка. Покааать, что ее координаты Я, Ч) зависимы. 7. Найти плотность распределения суммы $~+Ь» иезавасимык -АН случайных величин, если нх плотности р„(х) А.е, х -»О, (г г рз (х) = О, х < О. З. Найти платность распределения р„(х) суммы й1 +... + й» независимых случайных величин, каждая из которых имеет плот. ность Ле ~», х~»0. а. Случзкиые величины $ь й» независимы и имеют.плотность е ", Я х ° О. Найти функцию распределекпя т! й +»»' $ о>. Опгедвлвннн млтемАтичяского ожидАния 1О1 Г л а в а». МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ $30.
Определение математического ожидания Математическое ожидание Мй случайной величины $ = $(о>), заданной на вероятностном пространстве (О, .оЯ, Р), определяется последовательно сначала для простых случайных величин, затем для неотрицательных случайных величин и, наконец, в общем случае. 1. Мы будем называть случайную величину $ простой, если она представима в виде ф = ь (о>) = Д» х»» А (о>), »-» где события Аь Аь ..., А составляют разбиение, т. е.
А;А»=»с» при 1Ф1 н ~ А»=О.Для простой случайной »=» величины (!) М3 определяется равенством (2) Мй= ~ х»Р(А,). П. Для неотрицательной случайной величины $ математическое ожидание определяется как предел М$= 11ш М$„ У! +~ю (конечный илн бесконечный), где $„(о>)(' $(о>) для каждого о> чн О, $„— последователыюсть простых случайных величин. П1. В общем случае любая случайная величина однозначно представнма в виде $ =4+ — Г, где В~=УМ;ьо> Г=!ч!Ум<о». Полагаем Мь = М$+ — МГ, (3) если правая часть равенства (3) имеет смысл, т.
е. если М$+ и М$ не равны оо одновременно. Если М3+= Мв оо, то мы говорим, что М$ не существует. Если М~+=Оо, Мй ~оо, то полагаем М$=оо. Если М$ = оо, Мч+ < со, то полагаем Мь= — оо. Определенное выше математическое ожидание Мь Обладает следующими свойствами. 1'. Свойство линейности. Пусть Мч, М>) и М$+ М>) существуют и с — константа. Тогда М(ь+т))=Мь+Мт) М(сь)=сМ4. 2.
Свойство положительности. Если $:ь О, то и М~~) О. Если М$ и Мт) существуют и $~>! то М$--'М>1. 3'. Свойство конечности. Если М$ конечно, то и М!5! конечно. Если !к !(Ч и М>1 конечно, то М$ конечно. Если Мя и М>) конечны, то М($+ >)) конечно.
Эти свойства мы докажем ниже параллельно с доказательством корректности определения математического ожидания. Здесь лишь заметим, что М$ всегда существует н конечно, когда ~ — простая, н М$ существует для всех неотрицательных Ц. И, наконец, заметим, что свойство 3' вытекает из определения М$=Мч+ — МГ, М($! = =ЬЦ++ М' и из свойств 1' н 2 . Корректность определения М4.
Для того чтобыданное выше определение М$ было настоящим определением, нам надо убедиться в его корректности, т. е. не. зависимости М$ от представления (1) простой случайной величины й и независимости предела (2) от выбора последовательности простых случайных величин $„) $, 1. Простые случайные величины. Пусть имеется два представления одной и той же случайной величины $ = Е к»1л = Е уо1гы (4) » ь» где (А») и (Вь) — разбиения. Поскольку А» — — Х А»ВА ь-» при каждом 1 и Во=ХА»ВА при каждом й и для ! ! 1оа гл. т.
И»там»тичаскон ожил»авиа » м. опеадаланма м»там»тического ожидания птв чт ен Ат Д В» $ (ьт) = хт —— у», то М$= Х хтР(А~)= Х 2„'хтР(АтВ») /-1 е м ь = „Е Х, у»Р (АтВ») = Х у»Р(В»), Доказательство свойств. 1'. Пусть случайные величины $ и т) представимы в виде (4).
Так как (А;В»), 1=1, ..., вт; Й= = 1, . „и,— разбиение н для в ен АтВ» $(ьт)+т!(е)=' х~+у», то $+ т! = Х Х (х, + У») Ул,е». откуда следует >ь ь м ь М Я+ 2!)= ~'., ) (хт+у»)Р(АтВ»)= ~„„хт»~'., Р(А,В»)+ + Е у» Е Р (А~В~) = Х х~Р (Ат) + Х у»Р (В»)=ЬВ+Мт! Если 4 представимо в виде (1), то с$= ,')' сх~7л, н 2 1 М (с5) = с М$. 2'. Если $ »0, то в (1) все х2~~0, позтому М3~~0. Если а'" т1, то а=т1+(а — 21) и М$= — Мт!+ М($ — 21)~~ ,.=- Меь так как из $ — т1- О следует М($ — т!)~0.
И, Неотрицательные случайные величины Если $ ~ О, то всегда существует последователь ность неотрицательных простых 5„таких, что $„(ьт) 1 $(ть) при любом еты Й. За такую последовательность можно взять, например, ь2 (б) Нетрудно видеть, что 0:-= а К $,+т:-- $ и при $(ет) ~ л ~(~) "~п(~)+ 2 следовательно, $. (оэ) ф а (ть) для любого ьт ев»г, Покажем теперь, что для любых двух последова- тельностей О ч-$„! $, 0 <2),у $ простых случайных ве- личин Ипт М$ь=, !пп МЧ». (б) Докажем сначала лемму.
Лемма 1. Пусть т) и а„— арест»хе неотрицатель- ные случайные величины и $„Т $ =."ю т!. Тогда 1ип Ме„) Мт), и-2 Доказательство. Пусть е > О. Обозначим А„= =(ак $„(ьт) ~т!(»2) — е). Тогда А„(, !с! при а-» оо, сле- довательно, Р(А„) Ь О, Далее, из очевидных неравенств чь ~~ ьч1л ~ ~(т! е) Тл т! еРл т)~л и свойства 2 математического ожидания ЬЦ„з Мт! — еР (А„) — сР (А„), тде число с выбрано так, чтобы т!(ат)~ с при любом ыаз й.
Имеем М$„. Мт! — е — сР (А„), а так как Р(А„) (,О, то !пп М»„> Мт! — е е +со .при любом а.- О. Поскольку а произвольно, то отсюда получаем доказываемое неравенство. Используем теперь это неравенство для доказатель- ства (б).
Пусть 2„'(3, т1„') $ — две последовательности простых случайных величин. Зафиксируем т и применим к с„('~~>т! лемму. Получаем !нп М$„~М21,„, откуда следует !ип М4„~ ~Итп Мть,, Меняя местами $„и т1„, к+ш е +во гпрнходим к равенству (б), Доказательство сво йс та. 1' Пусть Юч-$„!.$, Оч т)„('т!. Тогда $„+ т)„('5+ т! и по определению МЙ+т!)= Итп МЯч+ 2)„)= Игп М$ч+ Ипт М21„= ь'» ае лч' ь ФОо М~+ М21. 1ОЛ гл, к млтемлтическое ожидхние А в ОпРеделение мАтемАтическОго ОжидАния 1се Если $ ~ ~0 н с ~ О, то из $ч лг е следует е~„~ е$ н М (ее) = 11 щ М (е$„) = с 1пп М$„= сМ$.
ч-~ со л.+ со 2'. Из Оч $„('Е следует 0 <М$„') МЕ, Если ~) Ч, то из Е=Ч+(Š— т1) вытекает МЕ=МЧ+М($ — Ч) ч МЧ. 3'. Прн Кв О имеем ~ $ )=$ н М~ $ ~= Ме. Если О<$<Ч н Мт) < оо, то из МЕ „МЧ следует М$ < сю. П1. Общий случай. Так как разложение $ = ~+ — $- единственно, то математическое ожидание Ме = Мà — М$ определяется однозначно, если оно существует. Доказательство свойств. 1, Из е = $+ — $- следует се = еч+ — ее- для е > 0 и счь =1е~ Е- — 1с1$+ для с < О. Отсюда М(с$) = сМ$. До. кажем тепсрь свойство аддитивности М($+ч)=МЯ+ + МЧ, Заметим прежде всего,что нз равенства $ $1— — Ь, где $~ э. О, $е ~ О, следует ~~ — — $л +б, $з — й-+, +б, где 6 =~ О.
В самом деле, нз равенства $= $+— — — — вытекает, что 3~ — $+ = $, — й- » «0; обозначая $~ — $+ = б, получаем ',р = е-+ б. Далее, из ч = е1 — $л нетрудно получить Ме = М$~ — М$,„, если М~„МЕл конечны. ПосколькУ $+Ч =($++Ч+) — (ь + +Ч вЂ” ), то нз только что доказанного равенства имеем М(6+ Ч) = М ($'+ Ч") — М 6 + Ч ) откуда уже легко следует Мф+Ч)=М~+МЧ, Этот вывод справедлив, когда Ме и Мч конечны. Случай бесконечных М$ или МЧ легко анализируется отдельно.
2'. Докажем, что нз ЗЪ Ч н существования М$ н МЧ следует М$ > М11. Случай Мт1 = — оо тривиален. Предположим, 1то МЧ ) — со. Тогда в разложении = Ч+ ($ — Ч) можно воспользоваться аддитивностью математического ожидания М$ = МЧ+ М($ — Ч) и неравенством МЯ вЂ” т1)=-.: О. Получаем М$) МЧ. 3'.
Так как нз 3 =3+ — $ следует ! Е1=$++Г, то из конечности М4 следует конечность МГР и МГ. Все остальные свойства 3' проверяются просто. Мультнпликативное свойство. Те ар си а 1. Если $ и Ч независи.иы и имеют «онечные математичес«ие ожидания М$ и МЧ, го (7) Доказательство. Пусть | и Ч независимы. Если е и Ч простые и представимы в виде $= Х хл?АА„Ч= А-! ч =Яу?в, где х,<хз« ° .. х, у,<уз« ...
у„, 3 л то Р(ААВл)=Р(АА)Р(В~). Поэтому М~Ч=М~' Е хек в =~ Е хАУ,Р(А,В~)= ы 3$ Ш ч =~',')'„х„улР(А,) Р(Вл)=): хАР(АА) ~.',улР(В,)=ЬЦ.МЧ, Если неотрицательные $, Ч независимы, то простые $ =. =В„(~) и Ч,=д„(Ч), построенные по формуле (5) ° тоже будут независимы. Поэтому М$,Ч„= М$„° МЧ„. Так как Ь ( $, Ч, ( Ч, то $ Ч, 1 еЧ н М$„Чч 1 МЕЧ. Таким образом, равенство (?) доказано для неотрицательных Е и Ч. В общем случае Е = $+ — $-, Ч = Ч+ — Ч-. Так как $- и Ч- есть функции от $ и Ч„то они независимы. Поэтому МЯ+ — $ )(Ч~ — Ч )=М$+Ч+ — М~+Ч вЂ” М$ Ч++М$ Ч = % МЧ вЂ” М$ МЧ вЂ” МГ МЧ++МГ МЧ = =(М~" — Мй )(МЧ+ — МЧ )=Ма Мт).
Теорема доказана. Следствие 1. Если йь ..., $„независимы и имеют конечные математичес«ие оехидания, го М$, ... $„= =М$~ ." М$,. Доказывается по индукции. Интеграл Лебега. Данное нами определение математического ожидания есть не что иное, как интеграл Лебега от функции $= $(в) по вероятностной мере Р. Для такого интеграла используют обозначения $е(в)е(Р(в), $е(в)Р(сХв), $ К(в)БАКР, $еаР, причем прн и а а и интегрировании по всему пространству И иногда вместо пишут просто ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
