1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е. второе слагаемое определяет вероятность квадрупольного электрического перехода. Оба слагаемых имеют одинаковый порядок величины. Оценим численно время жизни состояния относительно квадрупольного перехода. В отлично от дипольных переходов, в матричный элемеит добавляется множитель асг.
Следовательно, 1 аа тиааа тииа (аг)а гиии Еа Для атома водорода т,„,„— 10 '" 10' — 10 а сек. ЕА'(АИА Оценить время жизни водородоподобного атома по отношению к испусканию двух квантов. Ответ. х са/Еа. Тормозное излучение. Оценим эффективное сечение излучения у-квантов при рассеянии электрона на ядре. Предположим, что частота у-квантов много меньше энергии электрона. Тогда излучение слабо влияет на движение электрона и эффективное сечение приближенно равно произведению сечения рассеяния электрона на вероятность испускания у-кванта.
Оценим вороятпость испускания фотона при заданном движеяии электрона. Уравнение Шредингера для фотона в ГЗ. 1, РАЗМЕРНЫЕ П МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ энергетическом представлении имеет вид !! «'11 1С„.=- Я У„„РС„се (1.28) где К описывает взаимодействие электрона с электромагнитным полем, а С„ — амплитуда состояния с л квантами с заданными волновым вектором и поляризацией. В основном состоянии Се = 1, а все С„ = О. В первом е,ео порядке теории возмущений отлична от нуля амплитуда перехода в состояние с одним квантом, СР Из (1.28) получаем 1С1 — — $710е! ', откуда С1: — — — и ~ У е!"'й -=: + ! ~ ( — пе!) с™й. 1Е =-' т М!! написали взаимодействие с излучением для бесспиновых частиц.
Для частиц со спином взаимодействие усложняется, но по порядку величины может быть оценено по атой же формуле. Поскольку излучение не влияет на рассеявие электрона, то скорость Р мо;кно считать заданной функцией времени. Следовательно, так как -! / 2яее ь ° ' елее — !и— то еее С, =1.
~/ — ~ (п11) е ' й (1.29) где т) — единичный вектор поляризации кванта, и — единичный вектор Ф'!е. Так как время соудареиия электрона много меньше, Чем 1 интервал 1, существенный в этом интеграле, !— и (1 то можно считать, что скорость частицы в момент времени ео РЛ. Ь РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕНКИ или прн малых углах рассеяния (З1п 9, = 9, = фр) 11'((à — —,~ ~ 2* В,~за (1.34) а '1 сс 1 раса Ва с' 1 — — 1 (- ) «/ Найдем вероятность испускания кванта для произвольного изменения импульса электрона.
Для этого проинтегрируем (1.34) по о. Будем считать электрон ультрарелятивистским, т. е. 1 — Р1с((1. Так как УСЗЯС «- 1, те минимальный угол отклонения будет определяться дифракцией электрона на радиусе атома а — я ч, а максимальный условием (1.32) (см. стр. 48). Интегрируя (1.34) по о, получаем ~сапа яа Лсп Ч!паа яа йо с — Нд — —, — 1п — —,— 1п —,„, . (1.35) лс са аа и 1 са са 21М Оценим сечение тормозного излучения квантов с произвольными частотами. Интегрируя (1.35) по 1п, походим ) с, )п "~шаа съп а )и ° На айпь ('1.36) Максимальная частота кванта — порядка энергии электрона: пыа СО~пах а.ус а ЙЕ Лап с — — — — Е1п— с1п са Ена Обрааоваиие пар.
Напомним читателю, что релятивистски инвариантное уравнение движения электрона — уравнение Дирака — при заданном импульсе р электрона имеет собственные функции, отвечающие не только положительным, но и отрицательным значениям энергии: Нри гппа1п -+ 0 выражение (1.36) расходится (см. стр. 62). Однако потери энергии электрона на тормозное излучение ле будут конечными: — — = пгогаз, „, где п — число ядер пз в единице объема. Окончательно, 3.
Взхимодкйствие с излучкникм е! Ь' =- -+ у' тэс4 + р'с'. Для того чтобы объяснить, почему электрон не переходит в отрицательные состояния с понуканием кванта, Дирак предположил, что все отрицательные состояния в вакууме заполнены алектронами. Тогда переход в эти состояния запрещен принципом!1аули. Незаполненное отрицательно«состоянио означает, что в вакууме есть позитрон.
О этой точки зрения ме~анизм образования пар знало. гичеп механизму фотоэффекта: квант пер«водит электрон из состояния с отрицательной эноргией в состояние с полон'ительной энергией. В пустоте такой процесс невоаможе~, как это сразу видно пз законов сохранения энергии и импульса.
В поле идра процесс делается возможным, так как электрон передает излишек импульса ндру. Можно оценить сочени«образования пар на ндре аналогично тому, как это делалось для тормозного излучения: найти вероятность образования пар при заданной величине воредаваемого ядру импульса, а затем умножить эту верозтность на сечение рассояния электрона и» ядре и проинтегрировать по всем значениям передав««мого импульса. Мои<но получить сечение образоваиип н»р, !э1«смотри. вая этот процесс как обратный гормоэкочу везуч«ншо. Отрого говори. процесс, о«ратный тормозному пзлучепшо, соответствует поглощешпо кванта и пс!а ходу:ин ктрона пз одного состояния с положительной эш ргк«й в другое, Однако в ультрарелятивистском онуча«. которым мы длн простоты ограничимся, собств«ппые функции, соответству1«пще отрицательной энергии (т.
е. Се«пи тстеуанцп«позитрону), мало отличаготся от функций для положительной энергии (кулоновское поле ядра вносит малую поправку). Следовательно, сечение образования пар хпш но приближенно рассматривать как прож сс, обратный тормозному излучению. Сечения прямого и обратшно процессов от осятсп как статистические веса конечных состояний. )! случае тормозного излучения в конечном состоянии есть электрон и квант, тогда как в случае образовании пар — позитрон и электрон.
Но при больших энергиях статнстн гескпй вес кванта ке отлпчаетсн от статистического веса электрона той же энергии, и поэтому сечение образования пар совпадает по порядку величины с сечением тормозного пзлуч«ння, пйонптегрированным по энергиям квантов порлдка 62 ГЛ. Ь РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ внергии электрона. Таким образом, lс с спас сс Емз Потери энергии квантов на единице пути вследствие образования пар имеют порядок ПЕ сдс — — — — Н!и— Лс сс Енс т. е.
совпадают по порядку величины с потерями энергии ультрарелятивистского элоктрона на тормозное излучение. Рвкдение мягких квантов при рассеянии заряженных частиц ( «инфракрасная катастрофа» ). Рассмотрим задачу о рождении мягких квантов при рассеянии частицы на ядре. Будем предполагать частицу нсрелятивистской. Гамильтоииан системы имеет вид Н = Г+ Р— — спА ~-Н„. (1.37) Здесь Т вЂ” кинетическая энергия частицы, à — рассеиваю- 1 щий потенциал, — — 1ЗА — взаимодействие частицы с нос лем квантов, Н, — гамильтопиап поля квантов (см. выше).
Предположим, что энергия квантов много меньше энергии частицы. Тогда движение частицы можно считать заданнымм и рассматривать только ту часть гамильтониана, которая содержит операторы, действующие па ср-функцию квантов. Гамильтониан у-квантов за время столкновения, которое будем считать малым, меняется от величины Н, = ̈́— 1 $ — — 1тсА до столкновения к величине Н, = Н, — — р,А с с после столкновения.
Перейдем в систему координат, в которой частица до рассеяния покоилась. Тогда Нс =- Нт Н1 = Н» — — ДА, (1.88) где с7 = Тт, — тзс — изменение импУльса частицы в РезУльтате столкновения. $ Возмущение — —, дА для малых частот становится большим, так как Аь — 1/Зс ю. Поэтому мы не будем пользоваться теорией возмущений, а используем только внезапность изменения гамильтониана у-квантов. 63 3. Взхимодкйст!зик с певуч!!никм И, = $ ( —. Ае + — „(го1А)') дг, (1.39) в виде суммы гамнльтопиаяов отдельных осцилляторов поля.
Для этого запишем векторный потенциал 1 в виде А =,~~ ф'2пге !)ьх (дь! ехР (Уе!' — !еваД + -(- дьхехр ( — Ж!'+ !!ел!!)). (1 40) Здесь 1е — волновой вектор, Л вЂ” поляризация, е>ьх— энергия квантов, !)ах — единичный вектор поляризации. Опуская далее значки геЛ и обозначая получим, подставляя в (1.39) Н„=.
~~~' —,, (Р!+ ар()!). (1.41) В случае мягких квантов экспоненту е!ь" можно заменить единицей. Будем считать временные множители ехр (-+ !!о!) включенными в !!, о *. Тогда А = ~~", )! 2лс~ т~ ° 2(), Гамильтониан квантов И, имеет внд И, = ~~!', ~ — (Р' + со'(!') — 2 ф'2я (тру) ()~ . (1.42) Представим его в виде суммы осцилляторных гамильтониа- пов со смещенной координатой: Введем собственкь!е функции у„гамнльтоннана Н, и т„гаыпльтониана Н,.
Предположим. что до столкновония система у-квантов находилась в состоянии 2,. Ввиду внезапности столкновения волновая функция системы практически не изменяется. Следовательно, амплитуда перехода в состоянио у„равна (у ~ 2,) (см. стр, 86). Представим гамильтониан электромагнитного поля, равный Е4 ГЛ. Ь РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛ! НЫЕ ОПЕНКИ 2 3/2л где 6 .--, (т)от). Следовательно. еолновыс функции после столкновения Х„(()) имен>т вид осцилляторных функций, но со смещенной координатой: Х„' (()) = Х„(О 6). Таким образом, амплитуда перехода в состояние Х„имеет вид ~.=-~ о(Š— 6) .(()) (О.. (1.44) Рассмотрим сначала два продельных случая — малые и большие 6 по сравнению с амплитудой нулевых колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
