1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если 6 мало, то из ()о14) следует эх„ о о 6 ~ Хо~((~ = об (Р)оо (1 ° 1)) где 1~ — оператор импульса. Он имеет отличные от нуля матричные элементы лишь для изменения числа квантов на единицу. Так как энергия нулевых колебаний равна оо!2, то из (1 61) вытекает, что ~ (Р)м ) о = оо/2.
Поэтому ве- 1 ронтность испускания одного кванта равна ю, = — ообо = 2 4п = —,(тщ) Эта формула совпадает с результатом ооычной теории возмущений. Оценим матричный элемент С„=.—.) Х„(() — 6) Хо М)Ф когда смещение 6 много больше амплитуды колебаний осциллнтора. Для этого воспользуемся кваэикласснческим выражением для функции Х„(см. 1 1 и 3.1): Х„(0) =, " соэ (1 у' Ь'„— '/Ф' дΠ— — ') . ~'"'. — ч е Для простоты здесь частота осциллятора оо взята равной единице (результаты легко переносятся на случай оо -"- 1), Нормировочный мпоноитель ао порядка единицы. Действи- тельно, 3. ВЗАимодействие с излучением Поэтому ф— оир ( — 04/2) 1, и„— /,а — 6) Х соа (~)/ ń— '/о ф — 6)' д(7 — — ", ) ой3. (1.46) Так как величина 6, по предположению, много больше амплитуды нулевых колебаний, то можно под знаком корня в (1.46) пренебречь членом (74/2.
Обозначим ń— 6'/2 =— = ЬЕ и заменим переменную интегрирования 4',4: ЬЕ/6 + у = х. Тогда из (1.46) находим: ф— ехр( 2 + х и )4(хсхр~ 2 ( бя) ~ (1.47) Значения х, существенные в атом интеграле, соответствуют аргументу косинуса порядка единицы, т. е. имеют порядок величины х — 6 Ч'. Поэтому ф— —, у'6 6 ~ ехр [ — — ( — ) ~, (С„)о — — ехр ~ — ( — ) ~ . Таким образом, распределение вероятности испускания квантов имеет вид гауссовой кривой с максимумом юиы„— — 1/6 и шириной ЛŠ— 6 около значения Е =- 6'/2, которое, как нетрудно видеть, совпадает с энергией классического осциллятора, начало координат которого внезапно сдвинуто на величину 6.
Теперь перейдем к вычислению С„для произвольных 6. Вычислим сначала вероятность того, что не будет рождено ни одного кванта данного типа, т. е. И4о = ~ ~ Хо (Π— 6) Хо (Г) ) Ф3 ~ . Так как волновая функция основного состояния осцилля- тора имеет вид 3 А. Б. Мыгиии 66 ГЛ. К РАЗМЕРНЫЕ и МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ то па=~ф ч ) ехр( — М3 2 ю6 + ю~)басф~ =- ехр( — — юб') = ехр[ — — „, (дл))'1. (1.48) Восстановим теперь значки «ц Х. Тогда ал Г 4я ,1 юо — ехР ~ — †, (дт)ал) ~ ыал — вероятностьтого, что не будет излучен ни один квант 1С, А. Вероятность того, что вообще не родится ни одного кванта ни в каком состоянии, равна И'о = Ц юо — — ехр ~ —,Я~ —, (ЧЧал)"1 ал ал '"лал Для вычисления И'и нужно найти сумму Х вЂ” "; (ЧЧ.л) =-Х4п(ЧЧ.,) ~,'"",";",.
(14О) ал ыал л. Мы видим, что при малых частотах это выражение логарифмически расходится. Следовательно, И", = О, т. е. любое торможение всегда будет сопровождаться излучением мягких квантов. Вычислим матричный элемент С„=- ~~„У вЂ” 6) 2, (О) а~ для произвольных п. Осцклляторная волновая функция у„((~) имеет вид Х ((?) = р' „— „ехр( 2 Сл0 )Н (ггюО) где И вЂ” полиномы Эрмита. Поэтому С„= 1л ехр1 — — а~1 — ю ф — 6)'1 Ни(~ю11)д1). Этот интеграл легко вычислить, используя производящую функцию полиномов Эрмита п ехр( — 11+21Е) =,Я вЂ” П„Я).
Вэлнллоделтствие с излученпвл| В результате получается С = — ехр ( — —.а ), ) 21 (1.50) где и = — юб" = — (дл)) . 1 о 4а 2 ол' Вероятность испускания квантов с различными й, ), равна произведению квадратов выражений вида (1.50), т. е. "" ~1 а л. И' =- ехр~ — ~~~~~пал~[~ Найдем среднее число квантов, излученных при торможении: о~ал с~ (тю ) пал = ~~ палвл, = ехр( — алн) ~~ пал =- "а л "ал о 4л = палл = — (ят)ал) ° атал. Таким образом, для вероятности испускания п квантов типа В, Х мы получаем следующую формулу: "«л ал ("ал) ю„=-, ехр ( — бал), (1.51) которая совпадает с распределением Пуассона.
Вероятность испускания одного кванта данного типа, как видно из (1.51), равна ал ю, = палехр (-- пал). Полоз = по)) о . лл При пал = 1 получаем и, = пал. Зто выражение совпадает с результатом обычной теории возмущений. Из (1.49) мы видим, что сечение чисто упругого рассеяния строго равняется нулю. На опыте под упругим рассеянием поннллают рассеяние, при котором энергия излученных квантов меныне некоторой величины Е„которая определяется точностью измерения.
Наблюдаемое сечение рассеяния равно 68 гл. ь Размеэные и модельные опенки Здесь ао — вычисленное сечение упругого рассеяния беа учета излучения, Ио — вероятность того, что не излучено ни одного кванта с энергией, большей Ь',. Как мы видели, И'о = ехр~ — ~ —,(до)аа)о ь~ г 1 о Р1 = ехр~ — 4я — —,—.1а — ', 1. 3 (2л)' о' н1 1 ' (1.52) В качестве верхнего предела мы взяли энергию электрона, хотя предположение о мягкости квантов нарушается уже при меньших энергиях. Если 1п (Е/Е,) достаточно велико, то это внесет малую ошибку. Сечение излучения произвольного числа квантов любого типа равно с = но,Я Иг„= ею л Если бы мы пользовались теорией возмущений, то получи- лось бы з (~1Ча ) ' мах Е ал о т. е.
выражение, расходящееся на нижнем пределе. Эта расходимость, связанная с незаконным применением теории возмущений, называется инфракрасной расходимостью (оинфракрасной катастрофой»). Лэмбовское смещение. Электрон атома, взаимодействуя с нулевыми колебаниями электромагнитного поля, дрожит на своей орбите. Вследствие этого его заряд размазывается в пространстве и взаимодействие с кулоповским полем ядра ослабевает.
Таким образом, уровни энергии из-за взаимодействия с нулевыми колебаниями повышаются. Это явление называется лэмбовским смещением. Оценим величину смещения, Пусть Ь вЂ” отклонение электрона от равновесного положения из-эа взаимодействия с нулевыми колебаниями. з. взаимодвиствив с излвчвнивм 69 Тогда изменение потенциала взаимодействия равно ЕЕ(1+6)7(л)дб+2дд 6~61 дУ 1 дЧ~ (1, 1.= л, у,г). Здесь и — координата электрона относительно ядра. Усредним зто выражение по дрожанию электрона. Тогда Ь = О, аб',.
=-6, =- 6~ = —.Ьл. Гледоеательно, ЕЕ' —.— —, ЬлМ'. Итак, для определения величины лзмбовского смещения необходимо знать средний квадрат амплитуды дрожания электрона Ьа. Уравнение движения электрона в поле нулевых колебаний е для оценок можно записать в виде где «ла — частота обращения электрона.
Разложил1 в ряд Фурье отклонение электрона Ь и поле нулевых колебаний е: Ь = ~Ьале '~ал и = ~ Жалеыиал ал ал При этом мы предположили, что л6 <( 1. Ниже мы в этом убедимся. Уравнение движения электрона в фурье-представлении приобретает вид 2 л ( — юа + алал) бал — — Зал. Отсюда (., 1 1 Ьал = вал, + ыал — ам мал+ ыа ) 2ыал Первое слагаемое в правой части соответствует поглощению, а второе — испусканию квантов.
При квантовомеханическом подходе зту формулу пуялно модифицировать следующим образом (см. стр. 51); У".~ бал =- Жал ( + 6 — е ( „+ ! 70 ГЛ. !. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ где пал — число квантов. В рассматриваемом случае пал = О, следовательно, 1 6«л = еал. Е«!«л («!«л + са) Средний квадрат амплитуды дрожания 6« равен 6« = Хб'ал = Х ал «л 4«!«л(мал -'- ы')" Найдем Жаал. Энергия нулевых колебаний тица А!), равна !' ®ю,л акал 1 Бал = ~ — гй' = — =- —. Ыал 4я 4Е Е (нормировочный объем равен 1).
Ото!ода !'«л — — 2 ныал, следовательно, Р = — "У. ыал ( ° >ал -!- <Е)' Заменим суммирование по ус интегрированием: ~~д р 4я««Еа 1 (' «Уйа ~ ~= 2ал (множитель 2 соответствует суммированию по двум поляриаациям кванта). Тогда получаем — Г ол«!«л 1 «!т«х бай — —,1Ц Еям Э (ы+о«)«ТН «л« где юм«х определяется условием нерелятлвистского движения электрона в поле нулевых колебаний. Действительно, если электрон при дрожании приобретает релятивистский импульс, то в уравнение движения войдет релятивистская масса и бал будет уменыпеца. Поэтому интеграл обрезается условием й .-- с, ел~ с«. При этом величина, которой мы пренебрегли, й6 — с-ЧА:а=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
