1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть скорость гз направлена по оси з. Тогда и" = '„) ( Р„~ ~ 1г,,) ~ '. (2.20) Наоборот, если г„ )) гэ, то экспонента е""В'1 в (2.18) (или (2.19)) быстро осциллирует. Следовательпо, вероятность перехода И' не мала, только если Ч', — е "" "г, т. е., когда электроны в новой системе движутся со скоростью -- н,;. В лабораторной системе координат зто соответствует тому, что электронная оболочка не увлекается ядром при ударе. Если скорость ядра г„болыне скорости внешних электронов, но меньше скорости внутренних электронов, т.
е. 1 н„с. Х, то внутренние оболочки атома увлекаются ядром, а наружныо — нет. Заряд получающегося иона равен по порядку величины числу электронов на наружных оболочках. Такио соображения позволяют оценить заряд осколков при делении. Заряд определяется как число электронов со скоростями, меньшими чем скорость осколка (см. стр. 93). Для атома водорода н для внутренних оболочек других атомов вычисления можно донести до конца. Вероятность нонизации и возбуждения для этих случаев Приводится в задачах. Оценим полную вероятность возбуждения и иопизации )Г прн г, ~ 1.
Из (2.20) находим И' =. С,с'„, где С, — число порядка единицы. Из решения задачи 4 (см. стр. 94) следует, что вероятность атому водорода остаться в основном состоянии равна 1 И оо -= (1+ — ") Отсюда находим,что для атома водорода С, ==- 1.
92 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Передача энергии при вылете кванта пз ядра молекулы (аффект Мессбаузра). Предположим, что квант с энергией Лоо вылетает из ядра, входящего в молекулу. Если Лоо мало, то молекула получает слабый толчок и воспринимает отдачу как единое целое. Если Лоо велико, то ядро вылетает иа молекулы — происходит возбуждение системы (те же соображения применимы и к металлам: при малом оо отдачу воспринимает вся кристаллическая решетка). Оценим время вылета т кванта из ядра; т — зто время пролета пакета радиуса Х = с/а через область ядра, т.
е. т Х/с = 1/оо. Эта оценка неверна при Х (/7, где Л— радиус ядра, т. е. при оо ) с//т 137 10'27 ээ 40 Мэв. Время т ничтожно по сравнению с временами, характеризующими колебания и вращения молекулы. Следозателыю, Ч'-функция молекулы не успевает измениться за время вылета кванта. Задача напоминает задачу об ионизации при ядерных реакциях. Волновая функция молекулы в начальный момент после испускания кванта имеет зид Ч" = Ч~ (т „о 2, ...) э'и' где е — скорость отдачи, г, — радиус-вектор ядра, из которого вылетел квант, М вЂ” масса атома.
Функция Ч' описывает основное состояние молекулы. Вероятность того, что молекула останется невоабужденной, равна Р1 о = ! (Ч/о ) е™~1! Чго) ! о. (2.21) Если Мгт,((1, то )т"о 1, т. е. отдача воспринимается всей молекулой, возбуждения нет. Оценим частоту у-кванта оо, начиная с которой возбуждаются колебательные степени свободы молекулы. Как мы увидим, амплитуда колебаний имеет порядок ве- 4 А личины 1/у' М. Поэтому в (2.21) г, 1/у М. Следовательно, для того чтобы колебания не возбун<дались, должно быть Ми — ((1. Так как импульс ядра р„= МУ равен м импульсу кванта ю/с, ато условие означает, что оо/с (( «Су'М, ияли иоо ~ 137у'М (в атомных единицах); в ээ: оо((137 у'400 1840 27 ээ — 70 кэв (здесь взято ядро с А 100). а внкзапнын возмтщвния Критерий применимости (2.21): 27 еа)) <екоа — 1/аг' М вЂ” — 0,06 зе, Р'1ОО 1З4О где ю„а — колебательная частота молекулы. Оценим теперь частоту кванта, начиная с которой возбуакдаются вращательные степени свободы молекулы.
Для этого рассмотрим плоский ротатор. Его волновая функция аг =- е' т. Вероятность перехода пз состояния ага в состояние ар согласно (2.21) равна ал в я а"то = ~~фтеа~а'ауодэ'~ ~ ') е'а'аымаасоа рд(р~, (2 22) о где а — величина порядка размеров молекулы.
Следовательно, для того чтобы вращательные уровни не возбуягдались, необходимо, чтобы момент количества движения Маа, сообщенный молекуле квантом, был много меньше момента количества движения ротатора т. В атом случае из (2.22) находим ае а «~ 1. Для наинизта~ а шаго возбуждения (па = 1) получаем Миа<' 1 или — а ~1, откуда еа <-=е = 137 27 эв 4 кэв.
ЗАДАИИ 1. Убедиться в том, что отдача ядра ве существенна для ионизацви атома при р-распаде. 2. Используя метод Томаса — Ферми, оценить заряд осколков при делении ядра, считая его равным числу злектронов со скоростью, меныпей скорости осколков. Ответ. 2„„8. 3. Оценить ионизацию атома из-за магнитного взаимодействия налетающего нейтрона с злектроном.
О т в е т. 94 Гл. к РАзличные случАи теОРии Возмущвиий 4. Определить вероятность того, что при ударе нейтрона о ядро атома водорода электрон останется в основном состоянии. 1 О т в е т. РР'„= ( + —,' ".)' 4. АДИАВАсИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В этом разделе рассматривается случай, когда возмущение, действующее на квантовомеханическую систему, медленно меняется со временем. При этом система успевает перестраиваться вслед за медленным изменением параметров. Такие возмущения называются адиабатичесними. В случае адиабатических возмущений удобно искать решение уравнения Шредингера в виде суперпозиции стационарных собственных функций, вычисленных прн произвольных, но фиксированных значениях параметров.
Предпоссоским, что гамильтониан Н (х, э) зависит от медленно меняющегося параметра $. Введем собственные функции ср (х, З) гамильтониана (хс $), в которых значение $ зафиксировано: (2.23) Н (а, э) ср (х, $) = з ($) ср (х, $). Будем искать решение уравнения Шредингера (2.24) с — = НЧ' эс в виде Ч" = ~а (г)ср (х, $)ехр( — 1 ) е„($)ссг~. (2.25) Подставляя (2.25) в (2.24), находим с — „," +,,2~ (ср„~ — ) $а,„ехр ~ — 1 ~ (з — з„)ссс~ = О. (2.26) ссс Ю Уравнение (2.26) удобно для нахождения последователь- ных приближений при малых $.
4. АдиАвАтическне возмущкния Именно а„ы (1) = а„( — оо), "И(~) =- à — ~ Й',~~(е~„~ —,) оа (0)ехр~ — е ~ (е,„— е„)ае'~ Х те (2.27) и т. д. дт Выразим ~~р„~ —.) через матричный элемент гаыильтониана Н. Дифференцируя соотношение (2.23) по параметру з, находим дН вЂ” р +Н вЂ” "=- — з-+е —. де ~е д» дб 7Й Умножая это равенство на ~р„слева и интегрируя по х, получаем (2.28) Подставляя (2.28) в (2.27), получаем (, .(.„~ф~..) ~ е — е„ т» М а ( — о) ехр ( — е ~ (е — е„) й') .
(2.29) Штрих в сумме по т означает, что в ней нет диагональных членов. Будем предполагать, что собственные состояния (р„не вырождены. Тогда волновые функции ед„можно выбрать вещественными, и, следовательно, диагональный матрич- ный элемент эе гл. з. глзличныв слтчли ткоэии возмтщкнии Критерий применимости адиабатической теории возмущений состоит в том, чтобы изменение гамильтониана за время порядка обратных частот системы было малым по сравнению с энергиями, соответствующими атим частотам.
Критерий применимости легко получить, если оценить отношение поправки а„м (г) к амплитуде а„п (С): учитывая (2.29), находим дН 1 (2.30) „ш дю (е — е„)' Как видно из (2.30), требует отдельного рассмотрения случай, когда при некоторых значениях параметров уровни энергии пересекаются. В этом случае волновую функцию следует искать в виде суперпозиции состояний, соответствующих этим пересекающимся термам. Покажем, что если обратные собственные частоты системы в '„много меньше времени т, за которое существенно изменяется гамильтониан системы, то эта система, как правило, будет возбуждаться экспоненциально слабо. Действительно, выражение (2.29) для амплитуды перехода а)п(8) сводится к фурье-компонентам от функции .
Ранее (см. 1.1) мы видели, что такие п т фурье-компоненты при гэ „т )) 1 экспоненциально малы ( е "'), если зти функции или их производные не имеют особенностей на вещественной оси. Применение теории возмущений к зкспоненциально малым выражениям требует осторожности, поскольку небольшое изменение з показателе экспоненты может скомпенсировать следующий порядок по степеням 5. Формула (2.29) дает величину поправки с точностью до множителя порядка единицы (Дыхне, 1961).
Как будет показано (см. стр. 192), кулоновскне волновые функции имеют особенность в точке гз = О. Поэтому, например, вероятность ионизации атома пролетающей медленной частицей мала степенным образом, а не экспоненциально (см. следуюшдй раздел). 4. АдиАБАтические ВОзмущения ЗАДАЧА Используя соотношение (2.28), вычислить (1ги для центрально-симметричного движения.
1аР1 Ответ. — = — (— ж 1 (ш Г 2 Ионизация атома прп пролете медленной тяжелой частицы. Оценим, как зависит вероятность ионизации атома при пролете мимо него медленной тяжелой заряя'енной частицы от скорости этой частицы. Для простоты будем рассматривать атом водорода. Предположим„ что скорость пролетающей частицы у много меньше скорости атомного электрона, т. е.
У((1. Энергия взаимодействия пролетающей частицы с атом- 1 ным электроном имеет вид— . Матричный элемент 1р — гг! ' перехода электрона из состояния гри в состояние Чг» и тяжелой частицы иэ состояния Ч' в Ч' ° в первом порядке теории возмущений равен: Критерий применимости теории возмущений мы ука- жем позже, когда оценим этот матричный элемент. Покажем, что функции Ч", Чгр можно заменить в Мгр на плоские волны. Действительно, запишем Ч' в виде Г Ч"„е'р'у, где у = ехр ~1М ~ —, р ганг) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
