1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3.2), И вЂ” ку- лоновское взаимодействие пролетающей частицы с ядром атома, М вЂ” приведенная масса частицы и ядра. Г Мил 1 Фаза М~ — рг(г имеет оценку — — — (а — при1ги Р гг цельный параметр). Так нак е((1, то фаза функции т не мала. Однако фаза 22', как мы сейчас убедимся, мала. Действительно, О' = ехр ~1М ~ — — "1 = ехр ~1М ~ —," г1г1 . Здесь дг — импульс, передаваемый вдоль движения ча- стицы. Оценим его. 4 А.
В. Мигали 93 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ Передаваемая энергия равна: ЕР— Е„= Ь ( 2 Ми~) = нй12 = Удк. С другой стороны, Ер — Ер — — ек — ео 1. Следовательно, дк Чу и тт' ехр~ХМ вЂ” — „2 1 ехр~1 — 1жехр~ — „,1. При условии Мгз ':-> 1 величина ц' = 1 и замена 1г' 'К на плоские волны становится оправданной.
Оценим теперь М„. Так как кк 1 е-'к' сь = е-ы' —, то зи - ° — — (<р е-22'~рк). т1( дк ' РР тк Дифференциальное сечение иониэации получим, деля ~ М" ° ( ' на поток падающих частиц (он пропорционален и), умножая на О-функцию, соответствующую закону сохранения энергии, и суммируя по возможным состояниям электрона с положительной энергией и возможным значениям 12'. с — — ~.Š—, ~(Щое-кк" гук) (к о(ńń— еь + е,) 312'. к Величина Ыр' = Ыд = 2лдАНд2НдА. Интегрирование по продольным передаваемым импульсам дк уничтожается б-функцией: ')О(Е„,— Е ° — ек+ ек) Идк = ~Ь(д2и — еь+ее)дд2 = 1/о, причем д2 = (ек — е,)/Р. Следовательно, Из этого выражения видно, что существенные значения ОА имеют порядок 1/у.
Оценим матричный элемент (~рке-™'~рь). Он равен ~е "-22'~й, где а — число порядка единицы. Такая же далекая фурье-компонента оценивалась при рассмотрении зз 4. АдиАБАтические ВОзмущения дипольного фотоэффекта, где было получено (см. стр. 55) 1 (~РЗЕ 'Я'~РА) Подставляя найденное значение матричного элемента в формулу для и, получаем -4~ "." Так как д~ дА 1/у, то а Рч,'~ = гз. Итак, сечение ионизации атома при пролете тяжелой медленной частицы — восьмой степени ее снорости. Почему оно не мало экспоненциальным образом, как это обычно бывает для адиабитического процесса? Это связано с корневой особенностью кулоновсних волновых функций е-"" = е-"У~+в'т" по кагкдой из переменных при фиксированных значениях других переменных. Эта особенность может достигать вещественной оси, из-за чего и получается степенная, а не экспоневциальная малость (см.
также стр. 192), Проверим критерий применимости теории возмущений. Так как еь — за 1 и М ° — — (грос ""ЮА) — —. — — г ((1 оь 1 .„1 1 4 РР Чг дй д4 то М'„'У„4(ев — е4) (( 1, что и требуется для применимости теории возмущений. Приведем в заключение условия,при которых пригодны полученные выше результаты: ,з 1~М В частности, отсюда следует, что энергия пролетающей частицы должна быть много больше атомных энергий. Захват атомного электрона протоном (перезарядка).
Применим адиабатическую теорию возмущений к задаче о перезарядке при пролете медленного протона мимо атома водорода. Предположим, что скорость протона много меньше атомной скорости. Тогда можно применять адиабатическое приближение (Фирсов 1955). Кроме того, предположим, что энергия налетающего протона много больше атомной. Тогда можно считать движение протона заданным. 4" а АдиАБАтические Возмущения ю~ <р*, и ~р,'„, после чего нужно применять адиабатическую теорию возмущений. Итак, Ч" = С* (г) ~р'„(г, Л) ехр ( — 1 ~ е'й ) + с + С" (г) ср,„(и, Л) ехр ( — $ ~ е'й) . (2.32) Подставляя (2.32) в (2.31), умножая на ~р,'„и интегрируя по и, получаем — + С' — (ср*„,~ — ~)~ехр ( — Г ~ е'й) = Ф д = — С" — „„(гр*„,~ д ~) ехр ( — с ~ е'й) . (2.33) С* = С' (~ = — о ) = =, "У' 2 С'=С (г'= — с ) == У'г (зто соответствует электрону, находящемуся в начальный момент времени возле протона с координатой Л/2). При этих значениях С', С' из (2.32) получаем т ]~ „= — [ехр ( — ю ~ е'й) + О Ш ! + ехр ( — ~ ~ е"й)1 <р',„(г — — Л) + ОЭ Ю~ + — [ехр( — Е ~ е'й) — ехр( — Е ~ е'й)~ ср,'„(м' + — Л).
(2.35) Если нуклоны находятся далеко друг от друга, то ,рь~(,. тт) ' [ре (,. ' тг) +,рз (,.+ ' У~)1 (234) Учитывая (2.34), из (2.33) в нулевом приближении полу- чаем $02 гл е РАзличные случАи теОРии возмущении Первое слагаемое здесь соответствует обычному рассеянию, а второе — перезарядке. Квадрат модуля козффиа г 1 циента при ~р,, (г + — Л) дает вероятность перезарядки 2 СО 'гт' (р) = зпР ( —, ~ (е' — е') ог ) = з1па ( ~ (за — з') ог ), ОЭ а (2.36) где р — прицельный параметр. Мы считаем, что величины е' (В) и е' (В) известны из решения задачи с неподвижными ядрами.
Предполагая траекторию налетающей частицы прямолинейной, заменим интегрирование по г интегрированием по В. Так как В' = р'+ уаГа ЛЕЛ Обозначая е" (В) — е* (В) ее Ф (В), из (2.36) находим са И'(р) = з(п' ( — ~ Ф(В) ) . (2.37) Р Рассмотрим прицельные расстояния р 1. Тогда расстояния между частицами, существенные при взаимодействии, также порядка 1. Следовательно, интеграл в (2.37) порядка 1. Поскольку и(( 1, то выражение для И' (р) сильно меняется при малом изменении р. Усредним (2.37) по некоторому интервалу значений р, малому по сравнению с р: — 1 И~ = —, 2 т.
е. перезарядка будет в половине всех случаев. Рассмотрим теперь вероятность перезарядки при р )) 1. Как можно показать а), при больших расстояниях между а) Л. Д. Ландау, Е.М. Лкфюиц, Кваатовая механика, Фнаматгкз, 1963, стр. 246. о, выстРАя и мвдленнАя подсиствмы 1ОЗ протонами разность энергий симметричного и антисимметричного состояний равна за (д) зе (д) де-В 4 а Поэтому при р )) 1 получаем Р(р) = — ~ Ф(д) 1 "г я ей ~)/'Ло оо а 4 1 Яое и 4Рое е 1 (о+ 4)оао р, 'г' (*+ 2) е о = — е-о = ~ е-Ч*е-еее(г = — ряее е. 4Ро 1 г,, я'р2 ео у й ~ ео о Мы видим, чтоР (р)<=1 при р))р, 1п 1Ь.Следовательно, г)е = з(пег'(р) — Ро(р) = —, рое-~. Таким обрааом,прир ~р, величииа г (р) )) 1, а при р )) р, величина г (р) <= 1. Теперь оценим полное сечение перезарядки еа с = ~з)п'Р(р) 2яре(р.
о По порядку величины получаем Рю Г 1 4 о 1 о1 С = )е 2 2яре(р = —,яр,— — я1п 2 2 о (2.38) 5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ Рассмотрим две подсистемы, одна из которых характеризуется большими, а другая — малыми частотами. Взаимодействие между подсистемами пе предполагается малым. Пусть $ — совокупность координат медлевпой подсистемы.
Таким образом, при малых скоростях и сечение перезаряд- ки много больше геометрического сечения. 2ОА ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ Гамильтониан всей системы имеет вид Н = Нд (х~ 5) + Н2 ($)г где Н, включает гамильтониан быстрой подсистемы и ее взаимодействие с медленной подсистемой. В предыдущем разделе мы считали, что движение медленной подсистемы классично: мы задавали траекторию $ = $ (2) и вводили скорость С. Теперь зто не будет предполагаться. Введем систему собственные функций гамильтониана Нд.' Нд (х, $) ф» (х, $) = е» ($) ф»(х, $), как зто делалось и ранее. Решение всей задачи Н9 л = Елдддл ищем в виде Ч"л =,'Яи»л($)ф (х $).
»' (2.39) (2.40) Подставляя (2.40) в (2.39), (Н, + Нд) ~~Я~~ и» л (з) др» (х1 $) =- Ел Х и л ($) <р„(х, $). Умножая слева на ф'„(х, $) и интегрируя по х, получаем (е„— Ел) и л + ~ ф„Нд,~~~ и» лф» Их = О. »' Это соотношение аналогично соответствующему выражению З'Р» . "ф» в предыдущем разделе, только дз —" = д —" заменяется дб»д коммутатором (Н„ф„). При этом для простоты предположено, что Н, коммутирует с $, Далее, так как Нд 'лф»' = фс' Нги„л + (Нд ф»)и,л то (з» Ел) дд»л + Нди»л = — ~~ф» (Нд, ф» ) д(х ° и„л. (2.4$) б. ЬЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 105 В соотношении (2.41) можно перенести член с и' = п налево: (Нэ — (Ел — е„— ~~р„(Н„щ,]дх))и х = = —,Я~ ~~р„(Нм~р )дх иях (242) Ы~ 1 Это уравнение удобно для применения метода последовательных приближений.
В нулевом приближении получаем уравнение (Нэ й) — (ń— е„(Щ и~о К) = О. Рис. 21 и за Нэ (с) гамильтонкан 1 Н,(Л) = — — йл М Мы видим, что анергия быстрой подсистемы играет роль потенциальной энергии в эффективном гамильтониапе мед- л ленной подсистемы. Колебательиые уровни энер- г--я гии молекулы. Оценим энергию "у" „ ~-у колебаний молекулы. Для простоты мы напишем все выражения для иона молекулы водоро- -д г г — Я да, хотя реаультаты без труда переносятся и на более сложные молекулы. Гамильтониан иона молекулы водорода имеет вид (в атомных единицах) 1 1 1 1 Н = — — 2Ь„ 1 1 + Л М вЂ” л~ ~ + — л~ Здесь М вЂ” масса протона, г — координата электрона, 1 +.—.Аь — координаты протонов (рис. 21). Ядра образуют медленную подсистему, а электрон — быструю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
