1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Так как ф' 6« логарифмическп зависит от ю !„и юм„„, то неточность в их оцРеделении несущественна. Смещение электронного терка в первом порядке теории возмущений дается диагональным матричным элементом х РЗАнмодгйствпк с пз:!учкннкб! 71 возмущения Н' гш состоянию электрона Ч'„, т. е. 6Е = тбр!!~Ч".Я7Ч „бг — —,, 61~ бр„йярчр„1н, где р — плотность заряда. Так как заряд ядра сосредоточен в области, малой по сравнению с радиусом электронной орбиты, то электронную волновую функцию можно взять в начале координат. Интеграл ) рб!! равен заряду ядра 7. Итак, 6Е == —,' Р ~ Ч"„(О) (з — —., ~ Ч"в (О) (11п —, т, е.
лзмбовское смещение определяется значением волновой функции электрона в начало координат, Таким образом, смещение имеет заметную величину лишь для г-электронов, так как только для нпх отсутствует центробежный барьер и электрон может находиться в начале координат. Смещение электронных термов, обладающих угловым моментом, будет аначительно меньшим. Лзмбовское смещение приводит к расщеплению термов 2 ия п 2 ря, водородоподобного атома. Согласно сказанному выше уровень 2 р, смюцается значительно слабее, чем 2 бч,.
Так как ! Чгх, (О) ! ' = 7бр8 я, то 6Е = Еб Сб = — С! —,1п —,,„. (Точный расчет дает С! = 1!О 1). йс~мптотпческпй характер рядов в квантовой электродппампке. В квантовой злектродинамике используют тео1нпо возмущений по взаимодействию заряженных частиц с полем. Действительно, ряды теории возмущений содержат беаразмерпый малый параметр ебрр!с = 1'137.
Покажем, что этп ряды асимптотвчоскпе, т, е. расходятся при увеличении числа членов. Существует оптимальное число членов ряда, которое лучше всего изображает изучаемьш процесс. П1!я!е это шсло будог оценено. !! рб;; рб мбрр д Арр чины ь к ункции е имеют особую точку прп е' = О и, слндпплтелвно;-не-хгсгут бьгть разложены в ряд по степенна! еа,—— В качестве примера рассмотрим энергию вакуума (Дайсон, 1!852). Если бы не было особой танки..при с' = О то эеергня вакуума не р!р!внгелй оы от способа стремления е' к !!у!!!о.
Т!у!Сть энергия вакуума, палделная по теории воз- 1!УЩений, стРемитса к йю К какой величине стРемитсЯ ГЛ. |. РАЗМЕРНЪ|Е и МОДЕЛЬНЫЕ 0|ШНКН анергия вакуума, когда еа — О со стороны отрицательных значенийу Рассмотрим при еа " О рождение в вакууме Я злектрок-познтронных пар. При еа( О электроны (так же как и позитроны) притягиваются друг к другу. Определим, при каком Йу' процесс образования пар энергетически выгоден. Пусть электронное и позитронное облака разошлись на достаточно большое расстояние друг от друга, так что отталкиванием между ними можно пренебречь.
Знергню каждого из этих облаков можно оценить по методу Томаса — Ферми. Находим, что выигрыш в энергии — Š— Мч (см. стр. 39). Проигрыш в энергии составляет 2 |ясз на каждую электрон-позитронную пару, а для всех частиц 2 тсаМ. Следовательно, если МУ ) с'Ж, т. е. если уу| ) с °, то рождение электрон-позитронных пар оказывается выгодным. При |У' — с'УУ величина томас-фермиевского потенциала ф — еа, поэтому нужно выяснить, какой результат получится в релятивистском случае.
Рассмотрим для простоты ультрарелятивистский предел. В этом случае ра — ф/с, следовательно (стр. 38), ф!|з — (фу|с)з, откуда ф( — суу. Так как М вЂ” Рфl(э, то получаем Я вЂ” ф~ — с'|*, т. е. ту же оценку, что и в нерелятивистском случае. Знергия системы при атом Š— №а — Мф с'|* — сзЛ, т. е. может быть у у. а муууу~.у электромагнитный вакуум при сх ( О оказывается неустоичивым. ак как прн е- он устоичив, то это означает, что имеется осе ая точка прй е' = О.
|гождение Ж электрон-позитропных пар соответствует |у'-му по ядку теории возмущ ин. анденное число )т'— 'у"" "* уаь" у, уу Иуа~нь а УУ |г ' при ех= — О. Учет более высоких порядков теории возмуще. ний не улучшит, а ухудшит результат. Поскольку асимптотический характер рядов теории воамущений сказывается только на далеких членах, вопрос имеет чисто теоретический интерес. ГЛАВА 2 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Размерные и модельные оценки представляют собой лишь первый этап подхода к рею<пню физической задачи.
Для доведения задачи до конца требуется найти количественное решение. Однако точное решение в задачах теоретической физики удается найти только в редких случаях. Так, наприл<ер, простейшая задача квантовой механики— задача о пахе<клепик <р-функции одномерного уравнения Шредингера — решается точно только для нескольких видов потенциалов.
Поэтому приходится довольствоваться либо приближенпьм|и аналитическими методал<и, либо чнсленньп< решением. При этом для понимания н проверки численных методов опять-таки следует найти приближенное аналитическое решение в различных предельных случаях. В некоторых случаях характер решения определяется аналитическими < войствзми или свойствами симметрии изучаемых величин.
Примеры такого рода будут рассмотрены в й-й, б-й, и 6-й главах. В этой главе рассматриваются различные случаи теории возл<ущеннй, когда решение может быть найдено в виде ряда по степеням какого-либо малого параметра. Простейший случай теорпи возмущений соответствует слабому внешнему полю или слабому взаимодействию между частицами.
Тогда роль малого параметра играет отношение шн ргии или потонцнала взаимодействия к характерному значению энергии свободного движения. Ниже такая теория возмущений, использующая малость добавочного слагаемого в гамильтопиане, рассматривается на примере задачи рассеяния. Другой случай теории возмущений — возмущение граничных условий.
Пусть, например, известно решение задачи с граничными условиями на сфере, а требуется найти решение задачи с такими н<е граничными условиями, по 74 Гл. х РАзличнык случхп тногпи Возыущкнпй на близкой к сфере поверхности. 11роизводя соответствующие преобразования координат, можно привести граничные условия к условиям на сфере, но прп этом за счет преобразования координат возникает поправка к гамильтониану, т. е. задача сводится к теории возмущений при слабом искажении гамильтониана. В том случае, когда возмущение не мало, но длится в течение малого времени т, в задаче возникает малый параметр $ 1'т.
Этот случай теории возмущений иллюстрируется на примере ионизации при р-распаде, ионизации при ядерных столкновениях и на примере эффекта Мессбауэра. Хорошим примером применения метода внезапных возмущений является рассмотренное в предыдущей главе рождение мягких квантов при рассеянии электрона (винфракрасная катастрофа»). Обратный предельный случай осуществляется, когда возмущение изменяется за времена много большие, чем характерные периоды рассматриваемой системы (адиабатическое приближение). В этом случае требуется найти решение вспомогательной задачи о движении системы при фиксированном возмущении.
Роль малого параметра играет величина з — —, где ю — характерная частота системт мы, а т — время существенного изменения возмущения. Классический пример ачиабатического возмущения — это теория молекулы. Сначала решается вспомогательная задача о движении электронов при фиксированном положении ядер. Затем определяется решение с учетом движения ядер в предположении малости отношения ым0а~~эа. В качестве примера адиабатнческого приближения рассматривается таклге задача о рассеянии протона на атоме водорода. Еще один эффективный приближенный метод может быть развит, когда в системе имеется несколько близких уровней.
В том случае, когда возмущение мало по сравнению с расстоянием до остальных уровней, можно построить расчет, учитывающий роль близких уровней точно. Этот метод иллюстрируется на примере дви'кения частицы в периодическом потенциале, на примере штарк-эффекта и на примере задачи об изменении времени >кивни состояния 2 Яг, атома водорода в электрическом поле.
В последних двух задачах роль близкого уровня играет уровень 2 Р,, с ткория возыущвнин в нвпркгывном спвктвв тб Теория возмущений сыграла большую роль в развитии теоретической физики. Она может быть использована для оценки характера решения даже в тех случаях, когда параметр разложения не мал, а порядка едншщы. Исключение составляют такие явления, которые исчезают при малом значении параметра разложения. Так, например, рассматривая потенциал взаимодействия как малую величину, нельзя ни в каком порядке теории возмущений получить функцию, описывающую связанное состояние частицы.
Особенно зто ясно. когда связанное состояние появляется при конечной глубине потенциальной ямы. Е ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ рассзштрим задачу рассеяния в случае, когда к рассеивающему потенциалу добавляется малый возмущающий потенциал. 11айдем изменение амплитуды рассеяния по теории возмущений. В качестве примера изучим рассенние заряженных частиц на атомных ядрах и вычислим добавку к амплитуде кулоновского рассеяния из-за конечности ядра, Пусть гамильтониап системы равен Н = — Не+ Н' где Н' — малая добавка, причем известно решение задачи с гамильтопнапом Н,: 0%Р р%Р.
Граничные условия, налагаемые ва ~р» в случае задачи рассеяния (непрерывный спектр), могут быть двух типов: зр + з аь1рг р Из ннх физический смысл имеют лишь функции ~рр, соответствующие расходящейся сферической волне, однако для вспомогательных целей бывают удобны и ~рр. Каждая из систем функций ~р пли ~р является полной ортогональной системой, т, е. ~~рр р„+й = ~~р„'~р,,й.
= (2п)'6 (р — р'). 76 гл. 2. РАзлву1ные случАИ теоРии возмущении Дифференциальное уравнение Шредингера НЧ'Р = Е1ЧР с граничными условиями задачи рассеяния эквивалентно интегральному уравнению (~р~,( Н'(Ч" ) Чеу = Ч1Р + ) ( 1)е р Р ~рэ' (2'1) Р Р В этом легко убедиться, действуя на (2.1) оператором юе ЕР ° Можно было бы разлагать Ч' по функциям ур', но мы далее убедимся, что функции 1рэ удобнее. Подинтегральное выражение (2.1) имеет особую точку пРи (Р ! = ( Р' ).
Мы увидим, что способ обхода особой д точки определяет асимптотический У У „ут„,. „...у„„,,у,. ловия. Покажем, что именно укаРис. 17. ванный на рис. 17 способ обхода (а не обход сверху и не интеграл в смысле главного значения) дает правильные граничные условия. Перейдем к вычислению интеграла в выражении (2.1) при г — оо. Функция 1р„при г — у оо имеет внд ер еУР Ух + 10 е 1Р У Г где х = соз ~ (р'Р). Первое слагаемое этого выражении приводит к интегралу в (2.1) вида 1 ~ Е(х) еьзте дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
