1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 12
Текст из файла (страница 12)
— 1 Интегрируя по частям, имеем 1 е" (1] е11'' — Р" ( — 1) е 1Р" 1Р'Р— 1 Покажем, что часть этого выражения, содержащая е-1Р'", исчезает в пределе г-Р оо при интегрировании по 1(р'. 1, теоРпн во1му1цений В непРеРывном спектРе Нужно оценить интеграл — 'Р'"4Р (р'). (2.2) Контур интегрирования изображен на рис. 17. Заменим контур интегрирования на С, + С, (рис. 18), взяв 6 достаточно малым, чтобы между старым и новым контуром не было особых точек.
Тогда нелинится. В интеграле по контуру СГ б р' = сь — 18, б) О, поэтому е-1Р'" =- е-ы" ° е-4". Зкспонента Ряс. 18. е-з" выносится за анак интеграла (2.2), и, следовательно, при г — оэ весь интеграл по Сз зкспоненциально мал. На участке С, (р' = — 14) получаем интеграл )я -е 4 (2.3) При à — со интервал для Ц существенный в подинтегральном вырая1енин (2.3), порядка (О, 1/Г), следовательно, Ея мало в этом интервале, Еп~4=' Ер. Поэтому интеграл (2.3) порядка — 1е "'д4 — —, т. е. мал степенным образом. Г Г' 4 По тем же соображениям мала степенным образом и часть интеграла в (2 1), содержащая слагаемое — е 'Р' Г4 1 асимптотического вырая4ения ДлЯ 1Р„.
ВзтомисостоитпРе-;а. "з 6 имущество базисных функ+ с, с ций Гра по сравнению с Следовательно, в (2.1) ос- 9 тается лишь интеграл с е'Р'". Для его вычисления выбира- Рпс. 19. ем контур, изобрая4енный на рис. 19. Как и для интеграла с е 1Р', в этом случае интеграл по С, + С, будет зкспоненциальпо мал, а по С,— мал степенным образом. Интегралы по С,;и С4,'взаимно 7я гл. -.
РАзличныв случАи твОРии Возмущений уничтожатся. Следовательно, весь интеграл сводится к вы- чету в точке р' = р: Чг ' 2 . 2лР"" БАРР (77 !ЧР) РРР'г (2л)' «ИР(ЛР 'Р'г т где Р =р —. г Итак, Ч"Р имеет нужную асимптотику: причем Для нерелятивистских частиц можно заменить р/Р = гн. В случае свободного движения ют и Ч~„— плоские волны, 7р — — О, и мы получаем амплитуду рассеяния в так называемом борновском приблнл'енин: /в = — — ~~ Н' (т') е'р"' А ', 2лю где р' Ф=Р— р —, — импульс, передаваемый при рассеянии: ) д ) = 2р а(п -2, В а Π— угол рассеяния. Для нахождения последующих итераций удобно переформулировать интегральное уравнение (2Л) для волновой функции в соответствующее интегральное уравнение для амплитуды рассеяния 7.
Используя (2.1) и (2.4), находим: 2л Г р(р', р")((р", р) р(р" ~(Р'1 Р) = Л(Р' Р) 'Р ( е гг „' (2л)р (2.5) ~1(Р Р) = — ~ 'Рт'Н Флот д(р', р) = —:~ ~ра Н'гр,,дю. !. тгогпя Возмущгнп!! в г!епгвгывноы спкктгк 79 В этом уравнении 1з и 17' — свободные параметры. Сечение рассеяния определяется величиной ~ 7' (77', тз) ~ ' при ! Р'1- !Р 1. 11айдем критерий применимости теории возмущении в непрерывном спектре. Принцип отыскания критерия любого приближенного расчета состоит в том, что приближенно вычисленная физическая величина должна быть велика по сравнению с поправкой к ней от следующего порядка приближения.
В первом порядке теории возмущений = — — ( р,-„'Н ~. 'й". и!' Во втором порядке теории возмущений пз (2.1) имеем Условие )и7)!((1 служит критерием применимости теории возмущений. Пусть а — порядок величины области пространства, в которой возмущающее поле Н' (г) заметно отлично от нуля. Рассмотрим сначала случай ра ~ ~1. Тогда функции !ра~ (а) по порядку величины равны единице.
Следовательно, амплитуда 7! порядка Н' (а) аз и слабо зависит от угла РассеЯниЯ. ПоэтомУ 7и,'7! — й'аи и кРитеРий теоРии воамущений имеет вид Н'аи <'= 1 Рассмотрим теперь случай ра )) 1. Более подробно этот случай исследован в 3.1. Рассеяние в этом предельном случае больших энергий резко анизотропно и направлено вперед. Действительно, в выражении (2.4) величина и еиа ь!ив ср„ср„— е7и" — е сильяо осциллирует при ра «) 1 для всех углов рассеяния О, кроме 6 ( 1/ра(~и 1. Для углов рассеяния 0 ( 17ри величина !иа (а) !ра (а) по порядку величины равна единице и амплитуда рассеяния имеет оценку ! (а) Н' (а) аз е(!,ми 80 Гл.
к Различные случли теОРии ВОзмущений Таким образом, для атой области углов критерий применимости теории возмущений остается тем >ке, что и пря малых импульсах. Для углов О ~Е 1/ра амплитуда 1 (О) существенно уменьшается из-за оспилляции волновых функций ~рл. Рассеяние заряженных частиц на атомном ядре.
В качестве примера рассмотрим рассеяние заряженных частиц на атомном ядре. Предположим, что частицы взаимодействуют только с электрическим полем ядра (как, например, электроны). Будем считать, что заряд ядра равномерно распределен по его объему. Тогда потенциальная энергия частицы: Здесь Я вЂ” заряд ядра, Л вЂ” радиус ядра. Следовательно, возмущение имеет вид Я!31г~тЯ вЂ” — ' — — — — )+ —, 0(г(Л, л(з г л! О, г >Л. Дополнительная амплитуда рассеяния в первом порядке по Н' равна = — — ~ ~р, Н'ц+„й и — — —, ~р„(0) <р,; (0) ~ Н' ~Ь .
Действительно, Н' изменяется на расстоянии порядка Л, а срл — на расстоянии порядка 1/р. Для не слишком больших скоростей электронов рЛ ((1 (в атомных единицах Л ( 10-4). Поэтому в вырал<ении для ~ функции ~р ° и ~рр можно выносить из-под знака интеграла в точке г = О. Вычисление дает ~Н (г= —. Следовательно ',"* р-,',(о) р', (о). Кулоновские нерелятнвистские волновые функпии <рз (0) 2. ВОЗМУШВННК Г!'япя'!НЫХ УСЛОВИЙ равны *): для поля отталкивания св„(0) = е-"лв Г(1+!/р), 1г(2и)в для поля притяжения !р~~ (0) = ею'и Г (1 -(- !/р), = тг(2и)в где Г (1 + !/р) — гамма-функция. Обычно исследуется рассеяние электронов с импульсами, много большими им- пульсов атомных электронов.
Тогда Г (1 -+ !/р) = 1. Окончательно получаем = — — — е+"/и, 2Л 66,в и, (2.6) где знак минус относится к потенциалу отталкивания, а плюс — к потенциалу притяжения; ав — боровский радиус. Дифференциальное сечение рассеяния !(о/е/1е равно !о/(11 = ) /в + / ~ ', где /о — амплитуда кулоновского рассеяния. Поскольку /! не зависит от угла рассеяния, а /о убывает с увеличением угла рассеяния, то учет конечности радиуса ядра существен при больших углах рассеяния.
Критерий применимости теории возмущений в этом случае (рЛ< 1) — это Н'Лт(~1 или ЯЛ((1; он выполняется для всех реальных ядер. 2. НОЗМУ1ЦЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В этом разделе рассматривается случай, когда возмущение наложено на граничные условия. Преобразование координат позволяет привести граничные условия к невозмущенному виду. Однако оно изменяет выражение для гамильтониана системы. Это изменение гамильтониана и есть возмущающий потенциал, влияние которого можно рассмотреть с помощью обычной теории возмущений.
Теория поясняется на примере расчета одночастичных энергетических уровней деформированного ядра. *) Л. Д. Л а и д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, Фиат!атп!з, )963, стр. 603. 32 Гл. 2. РАзличнык случАи теогии ВОзмущений Пусть нам известно решение стационарной (нли нестацнонарной) задачи с гамнльтоннаном Н (х) н граничным Условием па некотоРой повеРхности аа: аЧ'+ рЧ" (л, = О (Ч" — производная по нормали к Яа).
Требуется найти решение задачи с тем же гамильтонианом Н (х), но с граничным условием аЧ' + ()Ч" (з = О, причем поверхность О" близка к Юа (зта близость и есть малый параметр в задаче). Для решения задачи следует найти такое преобразование координат х; = 11 (х,:), что О' (х) = юа (х'), т. е. в новых пеРеменных УРавнение поверхности прежнее. Иными словами, если уравнение поверхности Оа есть Фа (х;) = О, а О" — Ф (х;) = О, то должно быть Ф (1 (хт)) = Фа (х').
Гамнльтониан Н (х;) =- Н Ц1 (х,)) в новых переменных изменяется. Мы можем записать его в виде Н (х;) + Н' (х;), где Н' (х;) = — Н ()1 (х,)) — Н (х;) и есть возмущение. Далее применима уже обычная теория возмущений. Энергетические уровни деформированного ядра. Пусть известны стационарные уровни энергии в сферическом ящике, а нужно найти их в эллипсоидэльиом ящике (стенки считаем бесконечно высокими). Уравнение поверхности Юа имеет вид 3 ;Ях,' — На =О, Ф,(х,) =О: а уравнение поверхности О' есть ха Ф(х,) = О: ~~'"„— ' — 1 = О. з 1=1 3 Введем новые переменные: а,х х' =— Л 2. ВОЗЫУШКННК ГРАНПЧНЫХ ЪСЛОВ!!П Тогда Ф (1; (х;)) = о!з, (х;). Прн этом изменяется оператор кинетнческои энергии частн2(ьн о 3 д- Но 1 до Т(.') = — — )' —, = — — Х вЂ”,— „'. дхо 2М . ад дх.о ~-л о 2=-1 о Следовательно, возмущение имеет внд 1=Н '2 Оно малб, если все а; близки к Л.
Рассмотриь2 эллипсондалькую деформацию ядра, считая аллипсоид двухосным (с полуосями а и 6). Параметром деформации называется величина (1=. 2 — ' а+Ь Считаем, что объем ядра не меняется при его деформации, т. е. а62 =. Л'. Если написать а .=.- Л (1 + 6)., 6 = Л (1 — 62), где 6,6,((1, то в первом приблнгнепии из або = Лз получим 6 — 26, =- О.
т. е. Н (1 + 261) — Н (1 — 61) (3== 2 '2Н 66н или (+3~), 6=Л(1 —,' 6). Тогда возмущение Н' принимает следующий вид: ЗМ ( ' доа)' о (о) <о> Е~2Ь» = сап+ (Ср»П~ ~ Н'/ Срап~) Пусть е'„~1 — энергия частиц без учета деформации ядер (от магнитного квантового числа она не зависит в силу сферической симметрии поля). С учетом деформации в первом порядке теории возмущений получаем 34 гл. з. газлпчныв сличая ткогин зозмтщвнни В результате расчета находим зов =со~о~1+1( .( 1 З )~' (2'7) Зависимость з„„от р схематически изображена на рис. 20.
1 Заметим что —.,~~ еоя1 т т о =з„„, т. е. центр тяжести мул ьтиплета не смещается при деформации ядра. В приведенном выше рас- чете предполагалось, что деРис. 20. формация достаточно мала, чтобы не разрушать спин- орбитальную связь. Тогда уровни определяются полным моментом у' (см.
задачу 2). ЗАДАЧИ 1. Вычислить з,~ в отсутствие спин-орбитальной связи (Ч'„~ = ХХиУ~ ) Ответ. ео„, = з о 1+ 1 2. Вычислить е„при произвольном соотношении между спин-орбитальным вааимодействнем и энергией деформации ХХ = ХХо + .4~2 + В' , Гм,' Ответ. з4; = з,'Д +~з,'и~+ — з ~-+ Ц~/'*(~~- ' )'+ос,~(~1~ о,)— А(+1)) +,— о АГ где е„) = е ~+ — ~~ — — ~ (1+ — )1, знак -)- соответ- 21. 2 1 2)~' ствует 1 =1.+ —. (В ответе для сокращения записи мы 1 ввели обозначение Х = (1 — 1/2) (1-(-2(3).) 3. Внвзлнныв Возыущкнкн 3.
ВНЕЗАННЫК ВОЗМУЩЕНИЯ Н,(н), г(0, Н= Н,(г), С) т. Предположим, что гаыильтониан системы сильно изменяется за короткое время т. Введем полную систему функций гамильтопиана Н,: (2) (2) (2) и разложим решение задачи Ч' по функциям (р(,): (2). (2) Ч2 (() =,Яа„(()(р(2)Е "" '. а (2.8) Вапнше)( гаыильтоннан Н в виде Н = Н, + (Н вЂ” На) = = Н, + Р. Тогда аа„ (2) (2)! ',юс" =.'Е -«)"" "'"-«). 22 Действительно, если временно обозначить Ьа (г) = -мсо( = аа (() е ", то фактически разложение Ч" (() = „Я~Ь„(() (р„м а означает переход от координатного к энергетическому представлению гамильтониана Н,. Уравнение В рассмотренных до сих пор примерах малым параметром задачи было относительное изменение гамильтониана системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
