1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Обозначим через о изменение импульса иалстающе~о электрона; величина д связана с углом рассеяния б соотношением д — рд. Энергия ЛЕ. передаваемая при столкновении, равна дх/2. Потери энергии;шсктрона на одипице длины пути равна: — = — пЯ~ЬЕдб, йЕ ~Гх где пх, — полное число электронов в единице объема. гл. ь Размегные и модельные Оценки ЫΠ— дифференциальное сечение. Имеем: ~ сед еа — — — Хп ~да — аЮЮ =- Яп — ~ — = — 1п— /а ) Раа = Р*,')Ч=р Так как максимальная передаваемая энергия порядка энергии налетающей частицы, то ча1ах р (дааах 1).
Минимальный передаваемый импульс соответствует случаю,когда время пролета т становится порядка обратных частот атома, т. е. Оаат 1. При больших временах пролета поле налетающего электрона практически не содержит фурье-компонент с атомными частотамн и вероятность ионизации резко убывает. Прицельный параметр р, соответствующий атому условию, определяется соотношением р = Рт = Р/со, где Р— скорость налетающего электрона. Поскольку (еа/лэ) (( 1, минимальный угол дана определяется не классическим условием, а условием дифракцян (СМ.
Стр. 41), т. Е. дааа 1/рр ИЛИ дана = О)а/Р. Следовательно, ди га — — — — 1п— Р Как было выше показано (см. стр. 38), основная масса электронов расположена в области радиуса аа/О'" и энергия каждого из них 7'~*. Величина ыа имеет поеч* рядок <оа — — — — — — Я. Восстанавливая размерность и а и — 1Ь вводя потенциал ионичации водорода 1„получим Фя хаааа Ь' — а -'- — — С вЂ”, ) и ~-л Точный расчет дает С = 4Л.
Многократное рассеяние. Узкий пучок электронов при прохождении через среду размывается по углам из-за многократного рассеяния. Действительно, хотя отклонение электрона, скажем, направо и налево, равновероятно, средний квадрат угла отклонения отличен от нуля. С аналогичным явлением мы встречаемся в обыденной жизни, наблюдая, как закручивается со временем телефонный шнур. При каждом телефонном разговоре шнур закручивается в ту или иную сторону равновероятно. з. АтомнАя михАникА 47 Однако после большого числа рззгозороз шнур оказывается закрученным на угол, пропорциональный квадратному корню из числа разговоров.
Поскольку разброс электронов пучка по углам представляет собой совокупность большого числа независимых случайных процессов, то распределение по углам имеет вид Ф (О) -.= Ае-з'Р (гауссово распределение). Средний квадрат угла отклонения 0з пропорционален числу столкновений Х, равному отношег~ию толщины образца Е к длине свободного пробега Е Если 0, '— средний квадрат угла отклонения при одном столкновении, то дэ — — 0 )У =- 6,' — =- пзЕ0', = 0-'Л, з Л 1 где о -- сечение рассеяния, л -- число ядер в единице обьема, а Оз -- средний квадрат угла отклонения на единице длины пути, т. е.
0' = лобг. Так как, по определени1о, О, = — ~а(0)0'дй, то Оз =- н~з(д) 0'гГгз. Для решрфордозского рассеяния получаем Эта формула годится как в релятивистском, так и в не- релятивистском случае. Рассмотрим два предельных случая: Егн э 1 и У/э (~ 1. В первом случае рассеяние для всех углов можно считать классическим (см.
стр. 42). Максимальный угол рассеяния определяется либо иа условия, что прицельный параг (и) г метр равен радиусу ядра Е, т. е. 0м,,„ — †, =- †,,если 7!ЛЕ ( 1; либо д„„, — 1, если 7ЯЕ :. 1. В случае рассеяния электронов первое нз этих условий противоречит соотношению 7!з)) 1. Действительно, условие Е.> Х~Е соответствует релятивистским эверс иям, но для скоростей з с, 7!с -' 1, поэтому имеем д„,„„— 1. Минимальный угол отклонения определяется размерами атома а: О,„„, — У~аЕ.
Оценивая а по модели Томас» — Ферми, ««ч. находим 0 г и-ья и ГЛ. К РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЬП" ОЦЕНКИ Следовательно, для электронов с Ь'-:-.=ах ( — 1) тх Е Оа — 2ии —. 1п— Ел В случае, когда Я/Р(~1, классический угол отклонения меныне угла квантовомеханической днфракции Оппа. ПОЭтОМу УГЛЫ О,„их Н Опии дОЛжнЫ ОнрсдспятЬСя СЛЕдуЮ- щим обраэом: бпа„— угол дифракции на радиусе атома: Х Ф* йпоп а р бтих — угол днфракции на ядре: Х 1 Х Х Оп~их — при — ( 1 О, х 1 при — 1. о,п я ~ ти я Таким обраэом, в случае 7/Р(( 1 1 —, Х/Ва 1, Еи =- .~— Х Р 1п —, Х/Л» 1.
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ Нулевые колебания электромагнитного поля. Как иавестно, энергия электромагнитного поля равна " /Зх 1 — + — ~ди, где Е ИЮ вЂ” напряяеенпости электричес- 1,8л вл / кого и магнитного полей. Если в пространстве нет аарядов, то электростатический потенциал ~р можно считать равным 1 дЛ нулю. Тогда Ж вЂ” — — —,Ю= — гохА, где А — векторный с д~ потенциал. 1'авложнм векторный потенциал по плоскнм волнам: 4 =-,~~ Апе™+ компл. сопряж.
в Тогда для энергии электромагнитного поля Е получаем следующее выражение; 3. ВЗАггыодкиствпк с излучкникм 4З Здесь нормировочный объем пространства, в котором находится поле, считается равным едпнпцо. Легко видеть отсюда, что энергия электромагнитного поля равна сумме энергий невзаимодействующих гармонических осцилляторов, Действительно, величина Аь играет здесь роль координаты, Аь — скорости, 1/4 ясз — массы гармонического осциллятора. Частота осциллнтора <оь = ч/а ь' —, где и — жесткость, а т — масса.
Вданномслучао я =- й'!4 и, т = 1)4 яс', следовательно, юь = с)х Первое слагаемое в выражении для Е представляет собой кинетическую энергию электромагнитного поля, а второе — потенциальную. Итак, электромагнитное поле в пространстве без зарядов можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов со всеми возможными значениями волнового вектора Й. Применим к совокупности гармонических осцилляторов законы квантовой механики.
Тогда энергия электромагнитного поля равна где яь — номер возбужденного состояпня осциллятора с волновым вектором Й (число квантов с волновым вектором й). Для простоты здесь опускается аначок ) поляризации кванта. Он определяет направление ориентации вектора Аь, лежащего в плоскости, перпендикулярной к й. В ос- 1 чч новноп состоянии все пь =- О (нот квантов) и Е = э,г„юь. При этом ни кинетическая, ни погенцшгльная энергии колебаний не имеют определенного значения, Следовательно, ни напряженность электрического по ля, ни напряженность магнитного поля пе имеют определенного авачения.
Средние значения электрического и магнитного полей при атом равны пулю, но средние значения от квадратов этих величин отличны от нуля Это означает, что алектромагнитное поло в пустоте колеблотся. Вти колебания называются нулевыми колебаниями электромагнитного поля. ГЛ. Ь Р»ЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Теперь можно ответить на следующий вопрос: почему атомы не находятся неограниченно долго в возбужденных состояниях? Ведь возбуясденные состояния есть точные стационарные состояния уравнения Шредингера. Причина заключается в том, что в пустоте всегда есть электромаг- нитное, поле, с которым взаимодействует атом. В резуль- тате состояния атома перестают быть стационарными. Рассмотрим взаимодействие частицы с электромагнит- ным полем.
Для того чтобы найти изменение гамильтониа- на при наложении поля, нужно импульс частицы 1э заме- нить на р — — А, где А — векторныйпотенциал поля. Слес довательно, оператор кинетической энергии р'/2 и преобрс сс разуется в — — — усА + ., А'. 11оследнее слагаемое в 2!а тс 2»»с этом выражении мало. Его нужно учитывать в задачах, где первый порядок теории возмущений дает нулевой вклад, например, в задаче рассеяния кванта на электроне. Опера- торы А» играют роль координаты соответствующего осцил- лятора поля и поэтому имеют матричные элементы, соот- ветствующие изменению числа квантов на 1.
Вычислим матричный элемент (А»)„перехода из ваку- умного состояния в состояние с одним квантом. Для этого найдем величину (А~»)00 =,Я~ (О) А» ) и) (и) А» ( 0). Так как оператор А» рождает один квант (с частотой св»), то в сумме отличен от нуля только член с и = 1. Итак, ) (А»)м ( = '1" ( ! А» )с)00. Для гармонического осцилля- тора средние значения кинетической и потенциальной энер- гий совпадают и равны половине полной энергии. Следова- 1 1 тельно, для основного состояния Т» = 0» = — Е» = — сй.
2 4 »0 , 1 »0 Так как б» = — ((А»)')00, то — с)с .= — (! А» ~с)00 откуда 2яс (А»)00 = — . Следовательно, 00 — » Аналогично находится матричный элемент от А» для перехода иа состояния с и квантами в состояние с и + 1 з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
