1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Условие минимума можно приближенно записать в форме равенства п-го и (л + 1)-го членов ряда: (2п — 1)д (2в -,'— (Р( 2"~сххиыс ~~ссхе~~с Отсюда л — х'. ЗАДАЧА г ехр( — с) Показать, что прн оценке интеграла ~ с(с с х в случае х )) 1 оптимальное число членов асимптотического ряда равно х. 2. Многие интегралы можно оценить, выделяя наиболее существенную часть в подинтегральном выражении. Рассмотрим примеры: х о 1. Оцвнки мАтемАтичкских выРАжвнни 55 Если х ~ 1, то в подинтегральном выражении экспонента ехр (/о) — 1, х 1 Е1 Г Ео Следовательпо, 1(х) — ~ = 1, .
Так )Гх~ — 11 о р 1 — оо как вэтомиятеграле нетникаких параметров, то 1(х) 1. 1 ео Вычисление этого интеграла дает ~ р 1 — хо о Если х )) 1, то из-за экспоненциального роста множителя ехр (!1) главный вклад в интеграл внесет область около точки / = х, Обозначим $ = х — /. Тогда х 1(х) = ) ехр(хо — 25х+ Р) )/обх — ьо о Область $, существенная в подннтегральном выраяоепни, сосредоточена около нн кнего предела и имеет ширину порядка 1/2х. В этой области $1 1/4х'(» 1, следовательно, ехр До) 1 н х оо о~ огр (хо) Г ох 'г' я 1(х) ехр(х')(е-М"= = ' ~е '=.= — ехр(х ). о о При х 1 оба выражения для 1 (х), как это и должно быть, примерно совпадают и порядка единицы.
Такоп1 образом, указанные оценки хорогпо описывают 1 (х) во всей области изменения х. 2) 1(а,р) = ~е-хх'з1порхг/х, а)О. о Перепип1ем этот интеграл в виде ! (а, р) = = ~Е-о'З1во(= -") сов. При г ) 1 подинтегральная функция быстро убывает, поэтому существенная область интегрирования О (г 1. ! Р Если р)) ) а, тоз1п ~= з)много раз осцнллируетвсу~т 1Е ГЛ. Н РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ щественной области значений г. Следовательно з1ое(= г) гюжно заменить иа 1/2, и тогда интеграл 1 (а, ()) приблин<енпо равен 1(а а) ~ ~» — е',4г 1 2 Ух 4рх Если ~)((~ а, то в существенной области значений г з1п (= г) = = г. Следовательно, й ) 1(а, р) = —, ~ е нг'-дг = — „ оел е' о При р = у' а оба выражения для 1 (а, р) совпадают и равны — "ео» 4 о' а Заметим, что точное значение оцениваемого интеграла равно 1 (а, ~4) = — ~»» — ($ — ехр ( — ~4о/а)), Легко видеть, что из него получаются оба предельных случая р )) $»а и р ~= ф' а, приведенныевыше.
При р = у»а 1(а,р) = — "1» — ~$ — — ), 4 Е' а '1 е т . е . того же порядка, что и приведенные оценки . е-ох 3) 1(а,а) = ~ — Ых, о, а) О. Заменим переменную о+а о интегрирования: х = аг. Тогда 1 (а, а) принимает вид е з» 1= ~ — егг, о+1 о где р = аа. Область, где подинтегральная функция су- щественно отлична от нуля, г ( 11р. н оцкнки метвматичвских вынажкнии 17 Пусть р ~~~ 1. Тогда в существенной области я ~=1.
Следовательно, г — ~е-е«де = 1 (1.1) о Если р (( 1, то в существенной области е ~) 1. Следовательно, пе (1.2) « Рассматриваемый интеграл выражается через интегральную показательную функцию Е( (х) И]: ;«х Нх = — еаЕ1( — р), р = аа. х+е о Если р )) 1, то Е1 ( — р) = е а/( — р), и мы получаем формулу (1.1). Если р <=1, то Е1 ( — р) = — 1п р, что совпадает с (1.2). 1(х) «х 4) 1(а) = ~ 1 о о ", предполагается, что функ- 1 ция1(х) существенно меняется в области х 1. В случае а <.= 1 основной вклад в интеграл вносит область в окрестности начала координат.
Вынесем плавную в етой области функцию 1 (х) иа-под анака интеграла, заменив ее на ~ (О). Тогда 1 1(а) 1(0) ~ * = 2/(0)1п 1 = 21(0)1 В случае а ~1 получим 1(а) — ~ 1(х)ах. -1 18 ГЛ. П РЛЗМКРНЫП И МОДВЛЬНЫК ОЦКНКИ ЗАДАЧИ Оценить следующие интегралы в предельных случаях а )) Ь и а <'= Ь: 1) ~е ' 'з(пахос1х, Ь) О. о 2) 1ехр( — х/а), а,д >О. )/*(с+ о) ™ о О т в е т ы.
1) а ~ 6: 3/я/8а; а ~'= 6: а)/и/1бдо. Точное значение интеграла равно 2) а )) Ь: 1п (а/6); а:.'= Ь: )1 па/Ь, Точное значение интеграла равно ехр (6/2а) К, (6/2а) (Ко — функция Макдональда). 3) а =ь 6: и/2ад; а <* 6: и/26'. Точное значение интеграла равно 2 [1 ехр ( — д/а)) . метод перевалао). Рассмотрим интеграл 1 = ~ я (1) едо с[1, о где 1 (е) — функция, которая имеет резкий максимум при е = го)0. Пусть вблизи точки то функция д (1) меняется медленно. Тогда в окрестности максимума функцию 8е/ молоко заменить более простой функцией. Для этого разложим 1 в ряд Тейлора в окрестности ее максимума го: ,/(1) = /(Ео)+ — (Š— ео) / (Ео)+...
«] Более подробно метод перевала рассматрпваотсн в гл. Ш (стр. 137). ь оценки ИАтемАтических ВыРАжений 1з ПРедположим, что ~ /о (го) ~ )) 1//м Это — математическое выражение предположения о резком максимуме функции /. Действительно, существенные в интеграле 1 значения (~ — /о)о, как мы увидим ниже (1.3), имеют порядок 1//" (/о). Таким обРазом, (à — /о)о/Г,' (( 1. Это Условие делает законным отбрасывание следующих членов в написанном выше ряде Тейлора для / (г). Имеем у=у(го) ~ ехр ~у(го) — ~ (г — /о)'1/ Ро) фг '= = 1à — ,„, д(го) ед'е!.
(1.3) Г 3~" (йо)! Пределы интегрирования заменены здесь на [ — оо, оо), так как подинтегральное выражение зкспоненциально затухает в области бг ) ((/о. г ~' ~ /" (НП Оценим поправку, вносимую следующими членами ряда Тейлора. Если ограничиться только кубическим членом и разлагать экспоненту по нему в ряд, то первый член разлояоения пе вносит вклада пз-эа нечеткости подинтегрального вь1ражепия. По этой причине рассмотрим член четвертого порядка в ряде Тойлора для /'. Оп равен 4! /"Ю (/ ). Разлагая далее экспоненту по нему в ряд, находим, что попразочный член по отношению к (1.3) имеет оценку /Нт~/(/")о.
Если функция /(/) характеризуется только одним параметром, то, оценивая производные от /„находиоп /пч>/(/")о 1// (г,). Таким образом, метод перевала применим при условии 1(/о) )) 1. Оно эквивалентно сделанному выше предположению ! /" (Со) ! =3» 1/8о„. Если заменить в (1.3) г — /о на Ц, то подиптегральное выражение превратится в растущую экспоненту.
Иными 20 гл. к Размевные и модельные оценки словами, в комплексной плоскости переменной е точка ее является седловой (рнс. 3).' Направление интегрирования совпадает с направлением наискорейшего спуска с церевала. Отсюда е йе понятно название метода / перевала. Мы рассмотрели частный случай, когда направление перевала совпадает с вещественной осью.
Можно рассмотреть и более общий случай, когда направление перевала составляет произвольный угол с вещественной осью. С помощью метода перевала получим асимптотическое выражение при больших х гамма-функции Г(х+1) = )ехр( — е+ х1пе) Й. е Обозначим / (Г) = — е + х 1п е. Тогда из равенства пулю 1' (е) можно найти точкУ пеРевала ге: откуда ее = х. Так как / (ее) = х1п х — х, то условие применимости метода пер екала ~ (х) )) 1 означает х ~ 1.
Имеем 1" (ее) = — х/~„=- — 1/х. С помощью (1.3) находим Г (х + 1) = ф' 2ях (х/е)*. (1.4) «т е Эта асимптотическая формула называется формулой Стирлинга. Для оценки ее точности воспользуемся соотношением Г (х + 1) = хГ (х). Запишем искомое точное выражение для Г (х + 1) в виде: Г(х+1) = ф'2лх( — ) (1+ ~р(х+1)), ь Оденки ИАтемАтических Выгажений 21 где ю — пока неизвестная функция. С помощью рекуррентного соотношения получаем ~р (х — , '1) — х (х) = = — —.
Прн х)) 1 разность ~р (х+ 1) — ~2 (х) при- 1 12хз 1 ближенно равна 9~' (х) и, следовательно, х(х) =- —, Итак, при х ~) 1 Г( +1)=)'2-( — „*)'~1+Й+~ (+)1 Интересно, что зта формула с большой точностью годится и для небольших значений х.
Ее точность можно проверить, зная, что для целых значений х гамма-функция Г (х + 1) = х!. Например, даже для х = — 1 получаем )Г2я — (1 + — ) = 0,9990 = 1! = 1, при х = 2 ~/ 4И вЂ” ', (1 + — ) = 1,9990 ж2! =- 2. ЗАДАЧИ 1. Вычислить интеграл ~соа ( —.1 + х1) б1 методом ,г1 з з перевала при х ~ 1. ь 2. Вычислить интеграл (хехр ( — ах — =)дх.
НокаУ-х) зать, что метод перевала годпгся при условии абз,"в 1. О т в е т ы. — --"-) — з 2 г' х Гк г аз 2. — 1,' — 'ехр ( — — у'2абз) . а~за(2 Свойства интегралов от осцнл:шрующнх функций. Оценки далеких членов рида г1зурье. Рассмотрим несколько примеров, поясняющих свойства интегралов от осцпллирующих функций. 22 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Особые точки подинтегрального выражения находятся на мнимой оси: 1 = .+1. Вычислим этот интеграл, смещая контур интегрирования в верхнюю'полуплоскость (см. рнс. 4). Интегралы по С, и Са исчезают при смещении контура в бесконечность. Поэтому рассмат- Ц риваемыи интеграл равен интегралу по контуу ру Са + С, + Са вокруг точки ветвления 1 = 1.
Внаменатель подинтегРис. 4. рального выражения ме- няет знак при обходе точки ветвления. Поэтому интегралы по Са и Са равны. Интеграл по контуру Са стремится к нулю. В этом легко убедиться, заменив 2 = 1 + геаа, причем г а О. Тогда аа ~ — у'г О. ,М вЂ”,. Вводя переменную интегрирования 8 = 112 + у) и вычисляя интеграл по С„находим: д2 / 2л 3/2л Таким образом, при больших ю интеграл 1 экспопенциальпо мал. 9) е ад 1 а 1 ед-а оо. У 1да+ 12) 1Ь2+ 1В В этом случае в верхней полуплоскостн имеются две точки ветвления 2 = аа и 2 = 1Ь.
Предположим, что а ) Ь. Прежде всего можно уменьшить число свободных параметров в Ь. Измеряя 1, а, ее и Х в единицах Ь, получим аа 1 =- еа"' ьг ада + 12) И Ь 12) 1. опенки ИАтемАтичгских ВНРАжений Сместим контур интегрирования в верхнюю полуплоскость (рис. 5). На рнс. 5 от точки 1 до точки >а проведен разрез. Лналогично рассмотрению предыдущего примера, легко видеть, что искомый интеграл равен удвоенному интегралу вдоль разреза. Заменяя переменную интегрирования 1 = 1(1 + у), имеем: а-1 е «уу 1=2е-" )> 2«(аа — 1 — 2«) а При вычислении этого интеграла возможны два случая.
Если а — 1 )) 1(а>, то существенная область интегрирования обрезается экспонентой е "" и имеет порядок 1(ю. Следовательно, Ю Ое-а 'у" е «е(у .1 ее 2в 3' 2у (аа — 1) «а> Йе 1) а Рас. 5 Если а — 1 (( 1(а>, то внутри интервала интегрирования е «=1 и а — 1 ау >е 2 1 2е" = 2 е "агсз(п "1РГ— )е2у(а~ — 1 — 2у) Г а-е.1 а Первый случай соответствует далеким друг от друга, второй — близким особым точкам. Мы видим, что в обоих случаях зкспоненциально малый член определяется особой точкой, ближайшей к вещественной осн, а предэкспонента существенно зависит от расположения обеих особых точен. Отметим, что в пределе а -э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
