1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1 кз последнего выражения получаем 1 — >- не . Этот результат легко получить сразу, если учесть, что при а — «- 1 слияние корневых точек ветвления приводит к простому полюсу. 1 3) 1 = — 1 ((а)е>""ат. — 1 Этот интеграл возникает прн вычислении амплитуды рассеяния (см. 2.1). Пределы интегрирования здесь 24 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ конечны. Интегрируя по частям, получим: 1 1 1 1 1 =- 1(х) —. ~ — —. 1 1' (х) е1"'"е(х = Йй )1 1о1 Э -1 ((1)еь — 1( — 1)е ьо О /1 ) Ко ~е9 Итак, в случае конечных пределов далекие фурье-компоненты имеют, как правило, степенную малость (вместо экспоненциальной малости в случае бесконечных пределов). Исключение составляет случай, когда при многократном интегрировании по частям вклад от 1(х) и всех ее проиэводных обращается в ноль на границах интегрирования.
4) 1 = ) б (т) ехр [1(лг — рот)Ыт при ЬЛ )) 1, где Л вЂ” характерное расстояние, на котором иэменяется функция л (т). Выделим в 1 интегрирование по угловым переменным: 1 = ~ гонг ')л(г, 0,<р) е1ок1 ' '11 э1пб1101йр, о о Интегрируя по частям, получаем 1 = ~ го е)г . 1 [д (г, б, <р) е1 11-ооо о> ~ + О ( 1 )~,йр о о Вкладом от верхнего предела можно пренебречь иэ-эа быстрой осцилляции подинтегрального выражения.
Окончательно находим Эти результаты можно обобщнтьл далекие фурье- компоненты функций, не имеющих особенностей на вещественной оси, экспоненциально малы. Если х, — расстояние от вещественной оси до ближайшей особой точки 1(х), то ОО 1. = 1 1(х) 1 о( охэо1 ь оцннки мАтемАтических выРАжкний 25 Оценим предэкспоненциальный множитель для фурье- компоненты ~„. Если ~ (х) имеет полюс в комплексной плоскости ел, то ~ (хл)х,е Действительно, вычет С, функции ~ в точке полюса, как видно из размерности, имеет порядок С, / (хл)хо Если ~(х) имеет точку ветвления корневого типа и не имеет близко других особых точен, то, как мы видели на первом и втором примерах (стр.
22) у ( (а1) х1 'г' алел В случае конечных пределов интегрированием по частям получаем а, ~„= ~ Г(х) ел"" 1х 1 (а') ~1 + О (1)1 То же самое относится к интегралам в бесконечных пределах, когда ~(х) имеет скачки на вещественной оси. Действительно, интеграл можно разбить на области от — оо до места сначка1 (х = а) и от места скачка до оо. Если вычислять затем каждый из этих интегралов, то, как и в только что приведенном примере,'возникает степенная малость. В этом случае' , Ь) а где Лу — величина скачка.
Легко видеть, что если скачок имеет и-я производная функции у (х), то ц(а) ..+л, ( — )ал) где Л~а> — величина скачка функции ~са) (х). Чтобы убедиться в этом, нужно проинтегрировать по частям (и + 1) раз величину а а ~ г (х) е'"*Их + ~ ~ (х) е~ 26 гл. в Размегные и модельные Оценки 5) Для иллюстрации этих результатов рассмотрим пример, на котором будет видно, как в далеких компонентах Фурье экспоненциальная малость превращается в степенную, когда особенность фуннцни приближается к вещественной оси. Именно, рассмотрим интеграл е""" 1= ~ „„Ых, о»=еоо — 16, а,6)О, 6-+О.
11-е При таком выборе анака 6 интеграл сходится; после его вычисления можно устремить 6 к О. График функции Д(х) ='[1 + е"") ' имеет вид, изображенный на рис. 6. Если а — оо, то эта функция стремятся к прямоугольной ступеньке. Функция 1 (х) имеет Йх/ У х Рнс. 6. Рнс. 7. (2»-~ 1) я1 простые полюса в точках х» —— , где й — целое число.
Если а -е- оо, то полюса приближаются н вещественной оси. Вычислим интеграл, смещая контур интегрирования в верхнюю полуплоскость (рнс. 7). Интеграл по (С» + С») обращается в нуль при смещении контура в бесконечность. Итак, рассматриваемый интеграл сводится к сумме вычетов в полюсах верхней полуплоскости. Для нахождения вычета разложим е"" в ряд вблизи полюса х». е"" = -1 — а (х — х„). Ь ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 27 Тогда Нх ~~'~, 11 е'"а — а(х — х ) х=-0 = — — ехр( — — ) (1+ е '- " + е '- м -(-...). Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию и его сумма равна [1 — ехр ( — 2пы/а)) '.
Следовательно, 1 = — п1ЬизЬ' — „. Если ы/а >1, то рассматриваемый интеграл экспопенцнально мал: а1ахт Это соответствует сделанному выше утверждению об экспоненцнальпой малости далеких фурье-компонент в случае, когда подннтегральная функция не имеет особенностей на вещественной оси. Если а -а- оо, то агаа1 Итак, когда особенность переходит на вещественную ось, фурье-компонента становится малой степенным образом. ."5 А Д А Ч А Оценнть далекую компоненту фурье-функции / (х) = = хх ~ай Она встретится при рассмотрении дипольного фотоэффекта (стр.
54). О т в е т. Оценки 1юшений дифференциальных уравнений. Приведем несколько случаев качественного решения дифференциальных уравнений. 1. Квазиклассическое приближение (этот метод будет подробно рассмотрен ниже, в 3.1). 28 гл. ь Раэмвунык и модкльнык оцкнки При рассмотрении многих эадач теоретической физики тпебуется решить дифференциальное уравнение вида ~э" + А'(х)~р = О.
(1.5) Характер решения уравнения (1.5) существенно эависит от знака /~э. Действительно, если Ьэ — положительная величина, то решение имеет осциллирующий характер, например, для к = сопэь ~р = ехр (~ йх). Если А' О, то решение экспоненциально растет или затухает; <р=елр (3- !Уг~ х) при й = сопэ1. Решение э'/х! т!! уравнения (1.5) имеет такой же характер и Ркс.
8. когда Й зависит от х (рис. 8). Если Ь' (х) для интересующих нас х — большое полояеительное число, то приближенное решение уравнения (1.5) имеет вид ср = / (х) ехр (~ $ ) Ус(х)!/х), (1.6) где / (х) — медленно изменяющаяся функция. Действительно, в этом случае !р' = ~ !х (х)~р и ~р — кэ (х)с~. Если й (х) — достаточно гладкая функция х, то решение (1.6) приближенно удовлетворяет уравнению (1.5). Можно найти и следующую поправку (подробнее см.
3.1). Так как <р' = — <р .+ И~р и <р — /г <р -!- й у -!- 2 й — ~р, то, подстав- э ляя ср и 8!" в (1.5), находим 2к/'+//г' = О или /'// = = — к'/2/г, откуда / 1/'г' Ь. Итак, приближенное решение уравнения (1.5) имеет вид срж=ехр ~+1~й(х)дх~, й',>О, (1.7) !р==ехр ~+.~~/г(х)(!1х~, И(О. Рассмотрим примеры. 1) ~р" + ах!р = Π— уравнение для так называемой функции Эйри. !. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 29 Исследуем сначала случай х ) О.
Тогда хх = ах ) О н согласно (1.7) решение при больших х имеет вид ер = — „ехр ~~- —" ! ~/ ах'1 . е хх Решение прн х (О можно получить аналитическим продолжением (1.8) (подробнее об этом см. 3.1) ее!М г 2 ~р =, ехр ~* — Ге а !х!е1 ° Р! ее теа!х ) ! Дополнительная фаза ехр ( — яю/4) возникает при обходе точки ветвления х = О. 2) ~" +(а — !)х') р = О. Боли !)х'))а, то ~)/с(е!х = '!ег(! ~ хе(х = —, Г')Зхе.
Следовательно, асимптотическое 2 решение прн больших х имеет вид (р —,ехр ~+ -~ р' (тхх1. х с»т йхе ЗлдАчи 1. Найти асимптотическую оценку решения уравнения хи" + (у — х)и' — аи = 0 (вырожденное гипергеометрическое уравнение), приведя предварительно это уравнение к самосопряженному виду с помощью надлежащей замены переменной и. 2. С помощью квазиклассического приближения получить асимптотическое вырая'ение (х'=.: 1) функции Бесселя Х„(х). Упростить вго для случая х м и. О т в е т ы.
1. и — х" 'е*, и — !х( х х -о 2. Х„(х) —, з!и (~/х' — их+ пагсз!и — "+ Сх) х у' х~ — хе где ф— константа, определяемая типом функции Бесселя. Прн х =~и имеем Х„(х) — =з!В(х+ С ). 1 — х 2. Приближенные решения дифференциальных уравнений можно получать, опуская в этих уравнениях малые члены и производя последовательныв итерации. зо гл. 1.
Размегные и мОдельные Оценки Рассмотрим следующий пример: у" + у + ау' = 0 (1.9) Будем искать решение в виде последовательных приближений по параметру а, предполагаемому малым. Решение невоэмущенного уравнения ум1 + у1а1 = 0 имеет вид уввв = а зш (х + 1р). Можно положить ф = О, что соответствует сдвигу начала отсчета х. Если подставлять это решение в член аув уравнения (1.9) и решать (1.9) непосредственно методом итерации, то встретится трудность. Действительно, в уравнении аав ус г + уоэ = — афа1' = — — (3 31п х — 81п Зх) 4 свободный член содержит собственное решение однородного уравнения. Это приводит к появлению фиктивного резонанса.
Чтобы его устранить, нужно учесть, что возмущение аув меняет частоту колебаний. Ищем нулевое решение в виде уы1 = азп1 свх, где частота св находится иэ условия отсутствия такого резонанса. Уравнение (1.9) удобно переписать в виде у" + овву = — ау' + (вов — 1)у. (1.10) Правую часть этого уравнения будем рассматривать как неоднородность. Подставляя у(а) в правую часть (1.10), получим у1п + аввувп = — — (3 зш вох — звп Зых) + (ыв — 1) а звп о1х. (1.11) Потребуем, чтобы коэффициент при эш ых в правой части обращался в ноль. Отсюда получаем ов = 1 + Заа98. Ищем частное решение неоднородного уравнения (1.11) в виде увп = т вш Зовх.
Подставляя это решение в (1.11), находим 7 = аав/32. Итак, иав у = а зшвэх+ з э!п Зсвх, где о1 = 1 + ЗааЧ8. Условие применимости полученного 1 оцнпки ИАтнмАтичнских ВЫРАжниий 31 решения имеет внд пах(<1. При последующих итерациях мы получили бы для е1 ряд по степеням параметра пах, а для у — ряд, содержащий слагаемые вида а (пах)з зш (2Ь + 1)о1х. 3. Предположим, что решение 'известно в некоторых областях изменения переменной. В этом случае ыоягно построить приближенные интерполяциопные формулы для решения во всей области изменения переменной. В качестве примера рассмотрим уравнение Томаса— Ферми: ~Р" = =1РБ*, сР(О) = 1, <Р(с ) = О. (1.12) ух Оно возникает при нахождении самосогласованного поля атома в квазиклассическом приближении (см. 3.2).
Найдем приближенное решение уравнения (1.12) при х-+. оо. Будемискатьегов виде 1Р =- А!хх. Подставляя это решение в (1.12), получим 4п (о + 1)х-а-1 =,4ух омх1) 1 откуда а=3 и А" =а(а+1), т. е. А=144. Итак, 144 О1 хх х Найдем поправку к этому решению при х -~ оо: 12= — х+Чь 144 (1.13) х„х х~ Подставим (1.13) в (1.12). В линейном по ф приближении находим Ч'" =- — — — 7"Ф =— 1 3, 3 12 у" 2 2 х' (1Л4) 144 и (х', хз м (1.15) Из (1.14) видно, что Ч; степенкым образом зависит от х. Итак, Ч1 = В/хв. Для (1 из (1.14) получаем квадратное уравнение р (р + 1) = 18, откуда 'Р = — ( — 1-~- у'73)/2. Годится лишь корень (1 =- 3,77 ) О, для которого Ч1 — О. Следовательно, 32 гл.
ь назмвгныв и модкльныв оцвнки С той же точностью, что и в (1Л5), решение можно написать в виде 144 где п и С вЂ” пока произвольные числа. Найдем такое п, чтобы ф (О) было конечно. Для этого должно быть 3 — 0,77п =- О, т. е. и = 3,90. После этого константу С можно найти из условия ф (О) = = 1. 144/Сз сс = 1, откуда С = (13Ь)с тт Окончательно (1Л6) (з(12Ю) сит ]3,90 Это приближенное решение Ряс. 9. удовлетворительно согласуется с точным решением, нацценным с помощью электронно-вычислительной ма|пины (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
