1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Каждое законченное исследование означает преодоление этого противоречия. Аналогичные трудности неизбежно возникнут при чтении атой книги. Автор надеется, что к концу чтения они будут преодолены. Каждая из шести глав книги начинается с подробного введения, в котором в простой форме излагается физический смысл полученных в главе результатов. Первые три главы книги посвящены размерным и модельным оценкам в атомной механике, применениям различных типов теории возмущений и квазиклассическому приближению.
Эти главы представляют собой в переработанном виде книгу А. Б. Мигдала и В. П. Крайнова «Приближенные методы квантовой механики» (»Наука», 1966 г.). Четвертая глава посвящена различным задачам, для решения которых необходимо испольэовать аналитические свойства физических величин. В пятой главе развивается графический метод и его применение к задаче многих тел. Наконец, шестая глава посвящена вопросам, связанным со взаимодействием элементарных частиц на малых расстояниях.
Именно в этой проблеме квантовой теории поля главную роль играет применение качествцнных методов. Автор выражает глубокую благодарность А. А. Мигдалу, А. М. Полякову, В. А. Ходелю за многочисленные советы и обсуждения и В. П. Крайнову за помощь в выборе материала первых трех глав. Автор благодарит также своих друзей и учеников Г. Засецкого, Д. Воскресенского, Н. Кириченко, О. Маркина, И. Мишустина, Г.Сорокина и А. Черноуцана эа помощь в подготовке рукописи, ГЛАВА РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ А р с Рве. 1.
Ни одна задача в физике не решается точно. Всегда приходится пренебрегать влиянием каких-либо воздействий, которые не существенны для изучаемого явления. При этом нужно уметь оценивать отбрасываемые величины. Кроме того, следует до получения количественного результата исследовать изучаемое явление качественно, т. е. оценить порядок изучаемой величины и по возможности найти характер решения. Для этой цели задача сначала рассматривается в максимально упрощенном виде.
Например, если речь идет о движении частицы в кулоновском поле, то вместо этого рассматривается ее двин1ение в прямоугольной потенциальной яме, с соответствующим образом подобранной глубиной и шириной, зависящей от энергии частицы, и т. д. Кроме того, следует рассмотреть все предельные в случаи, в которых решение упрощается. Например, если требуется решить зада- з чу о рассеянии частиц произвольной энергии, следует а рассмотреть сначала предельные случаи малых и больших энергий и проследить, как сопрягаются соответствующие выражения в промежуточной области знергий. Цель атой главы — научить читателя получать приближенные решения из размерных оценок с помощью упрощенной модели изучаемого явления.
В некоторых случаях. размерные оценки позволяют получить и количественные соотношения. Докажем, например, теорему Пифагора из размерных соображений. Из размерности вытекает, что площадь треугольника (рис. Ц можно записать как квадрат гипотенузы с', ш ГЛ, Ь РЬЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ умноженный на некоторую функцию угла ((а). То же самое относится к площадям двух подобных треугольников АВВ и ВСВ, для которых роль гипотенузы играют катеты исходного треугольяика.
Поэтому с'~(а) = а'~ (а) + Ьз((а). Рассмотрим в виде другого примера задачу о нахождении силы сопротивления при движении тела в вязкой среде с произвольной скоростью. Начнем с предельного случая малых скоростей. Тогда сила сопротивления будет определяться вязкостью среды. Параметр, определяющий понятие малой или большой скорости, найдется, если составить из вязкости, плотности среды и размеров тела величину, имеющую размерность скорости. Предположим, что тело имеет приблизительно одинаковые размеры по всем направлениям.
Тогда для оценок размеры тела можно характеризовать, как и в случае шара, одной длиной Л. Из вязкости ц, плотности р, длины Л и скорости Р можно составить только одну безразмерную комбинацию, называемую числом Рейнольдса РВ Ре=— т где т = ц(р. Так как поток количества движения равен т~рг, то оценка силы, действующей на единицу поверхности, есть Р— ц —. Градиент скорости оценивается как рг г(Л. Действительно, на поверхности тела скорость жидкости равна Р, вдали от тела иа расстояниях порядка Л АР и жидкость покоится Чи — — — —.
Если оценить поверх- В Л ' ность тела как Я 4яЛ', то полная сила сопротивления Р 4яцРЛ. Заметим, что точное решение аадачи для сферического тела дает в случае малой скорости Л = бяцРЛ. В случае произвольной скорости это выражение следует помножить на функцию от безраамерного параметра Ре Р = бячоЛФ ( — ) . РЛ. 1. РАЗМКРНЫЕ И МОДВЛЬНЫЯ ОЦВНКИ 11 Рассмотрим теперь предельный случай очень больших скоростей.
В этом случае сила сопротивления не зависит от вязкости и определяется количеством движения, которое сообщается за единицу времени столбу жидкости, находящемуся впереди тела с площадью основания, равной площади поперечного сечения тела Р' яВ'рг'. Следовательно, при болыпих скоростях функция Ф (л)— 1 — — х.
з Грубо характер решения при всех скоростях определяется нз пнтерполяционкой формулы г' — 6яЧэЛ (1+ — — ). 1 ад~ Согласно такой оценке переход от одного рожима к другому должен был бы произойти при ке 6. В действительности переход в турбулентный режим, когда сила сопротивления не зависит от вязкости, происходпт при Ке 100. Мы сталкиваемся адесь со случаем, который довольно редко встречается — обычно переход от одного предельного случая к другому характеризуется значением соответствующего безразмерного параметра порядка единицы.
Другой пример, который мы приведем, относится к возможности построения теоршт, связывающей гравитацию н электродинамику. Такая теория, если бы опа существовала, должна была бы определить значение безразмерного параметра, связывающего гравитационную постоянную з с величинами, характеризующими электромагнитные процессы, т. е, с зарядом электрона е н его массой т, скоростью сиота с и постоянной Планка й. Из этих величин можно составить два безразмерных соотношения Как уже упомьшалось, безразмерные параметры, которые возникают в результате решения уравнений, обычно оказываются порядка единицы. Поэтому величина с должна входить таким образом, чтобы получалось число порядка единицы, например, а 1п (1/~) 1.
12 ГЛ. Ь РАЗМКРНЫК И МОДКЛЬНЫК ОЦКНКИ Именно в такой форме входят параметры и и $ в оценки, которые дают надежду на установление связи между электродинамикой и гравитацией. Приведем еще один пример того, как оценки помогают ориентироваться в слоновых задачах. Ответим на вопрос: начиная с каких напряженностей полей с и,9с уравнения Максвелла в пустоте сделаются нелинейными? Причина нелинейности уравнений связана с возмущением вакуума внешним полем. Составим величину, имеющую размерность поля, из величин, характеризующих вакуумные флуктуации электрон-позитронного поля. Так как ес' имеет размерность энергии, деленной на длину, то 1 З иввсв вй„— ~~ / —, ШС ев Из этого выражения ясно, что критическое поле определяется частицами с наименьшей массой, т. е.
электронпозитронным полем. Величина с'„, как мы видим, есть напряженность, при которой на комптоновской длине возникает разность потенциалов порядка энергии пары. Подстановка численных значений е, т, Ь, с дает 8„(01в и/сзв. $. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Прежде чем производить оценки физических величин, посмотрим, как делать более простые оценки, а именно— оценки математических выралсений. Принцип подобных оценок состоит в определении области переменных, вносящих главный вклад в результат, в выделении быстро н медленно меняющихся в этой области частей математического выраженпя, а также в использовании асимптотпческих выражений. Оценка производной. В самом простом случае, когда существенная область изменения функции /" (х) характеризуется одним параметром 1,производная имеет порядок Р' (х) Р (1)/1. Например, если Р (л) = ехр ( — хв/1в), то производная г'" (х) = — —,, ехр ( — хв/1в) и, следовательно, /г' (!) Р(1)/1, Однако для х, много больших 1, такая оценка не годится.
ь оцинки млтвмлтичвских выглжкнии Для степенной функции Р (х) = х" область существенного изменения определяется самой переменной х. Действительно, г" (х) = — пх" ' пУ (х)(х. В некоторых случаях существенная длина ~ различна на различных участках изменения переменной х. Тогда Рвс.
чх в каждой области переменной х производная Е' (х) Р (х)Д (х), где 1(х) — длина, на которой г'(х) существенно меняется в етой области. Пусть, например, г' (х) имеет вид, изображенный па рис. 2. Тогда Р' (х — х,) Р (хо)Ды а Р' (х — хо) Р (хо)Лм В более сложных случаях, когда г' (х) можно хотя бы примерно нарисовать, ее производную лучше всего оценивать пз графика.
Опенки интегралов. Продемонстркруем методы оценок интегралов па нескольких прио1ерах. 1. Часто окпкяо получать приближенные значения интегралов, разлагая в ряд подинтегральную функцию. Например, ехр( — Г') й =- ~(1 — ~о+ Го!2 —.. ) йГ = о о хо хо =х — — + —— а + 1О Этот ряд сходится для всел х. Для оценки интеграла можно ограничиться несколькими первыми членами ряда. Разумеется, такая оценка удобна при х(",1.
14 гл. с. вазмвгныв и модвльныв оцвнки Как оценить тот л<е интеграл при больших хГ Интегрируя несколько раз по частям, получаем г' я [ехр ( — хс) ~ ехр ( — сх] Ф1 О О х х Уя ,Г( = — — ехр( — хх)~ — — — +...~; 2 'ь 2х 4хс где и-й член ряда имеет вид ( — 1)" (2и — 1)((/2"+схс"+с. Легко видеть, что ряд расходится.
Действительно, прн л-+. оо факториал (2л — 1)(( растет быстрее степенного члена ххя+х Рассматриваемый ряд представляет собой пример так называемого асимптотического ряда (подробнее см. стр. 124). Так как он расходится, то брать очень большое число членов для оценки интеграла невыгодно: при этом уменьшится точность. Как найти оптимальное число членов ряда? Заметим, что при больших х члены рассматриваемого ряда сначала убывают по абсолютной величине, а затем начинают расти. Оптимальное число членов ряда, очевидно, определяется из условия минимума остаточного члена ряда. Легко видеть, что остаточный член имеет порядок (я + 1)-го члена ряда. Поэтому рецепт состоит в суммировании до минимального члена ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
