1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 5
Текст из файла (страница 5)
9). 2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА В этом разделе будут получены основные результаты атомной механики. Для получения соотношений мы будем использовать, кроме размерных, также модельные оценки. Идея модельных оценок состоит в рассмотрении предельных случаев и упрощенных вариантов задачи. Оценки скоростей и размеров орбит внутреяних электронов атома. Для оценки скорости электрона на внутренней орбите атома нужно составить величину с размерностью скорости из величин, определяющих структуру атома, т. е.
из массы электрона т, постоянной Планкай и произведения заряда ядра на заряд электрона Яе.е. Действительно, в уравнение движения заряд электрона входит только в виде произведения на заряд ядра, поскольку при рассмотрении внутренних электронов влиянием других электронов моясно пренебречь. Задача нерелятивистская, поэтому скорость света не войдет в оценки.
К АТОМНАЯ МИХАНПКА Кдинственвая величина размерпости скорости, которую можно составить из т, 6 и уе',— это э оо Хеаг'й. Для оцепки порядка величины радиуса вяутреипих орбит электрона воспользуемся тем, что потенциальная энергия электрояа уса/а порядка его кинетической эпергни — тэ', т. е. а Й'!Хтс'. Для оцепки радиуса наружных орбит следует поло'кить У = 1, поскольку в этом случае заряд ядра почти нацело заэкракировак внутрепними электронами. Из оценок а и в видно, что при рассмотрении атомных явлений удобны единицы е =-= л =- т = 1 (так называемые атомные единицы).
В этих единицах скорость света с = — 137,2., з масса протона Лр = 1836. Стационарные состояния. т рассмотрим движение чагшп1ы в потенциальной яме (рис. 10). Уравпеяие 111редипгера имеет вид Чг» + 1МЧ' = О, причем й' = 2 (Ь' — 'г'). В классически доступной области потенциальная энергия 1' меньше полпой энергии Е. Следовательно. волновая функция Ч" осциллирует в этой области (см. (1. 7)). В об- вис. 10. ласти, где Е г В, Ч"-функция экспоиенццально затухает. Энергию стационарных состояний можно оцепить из условия, что характерный размер 1 области, в которой может двигаться частица, содержит целое число я полуволв де Бройля. Стациоварные уровни энергии нельзя получить, исходя из одних лишь размерных соображений, так как величина и безразмерна, Мы будем делать модельные оценки, замеяяя потенциальную яму ящиком (рис.
11) г длиной. зависяп1ей от энергии частицы. Длина дебройлг вской волны 2 А. В. Магдаа Гл. 1. Рлзмквнык и модкл> нын Оцннки Ь(Е„) = — Х— 2 Р28« (1.17) где Е, (Е„) — характерная длина области, в которой может двигаться частица. Рвс.
12. Рзс. 11. Для прямоугольной ямы величина >' (Е„) = Х. — длине П« я>«> ямы. Следовательно, Л =, откуда Е„=- 2, . Это вы)Гйа'„' раженне удовлетворяет принципу соответствия Бора: при больших квантовых числах расстояние между соседними энергетическими уровнями должно равняться классической частоте движения (см.
стр. 133). Действительно, НЕ„«>«2« 2« 2я л«2л' 2ь / я 2Ч. / 1. где Т„, — классический период движения. где р — импульс частицы, Х зависит от координаты л. Для оценки можно считать Х 1/2Е, если Е отсчитано от дна ямы. Итак, оценка стационарных уровней системы Е„получается из соотношения 2, АТОМНАЯ МЬХАНИКА Следующий пример — одномерный осцнллятор, потев- 1 циальная энергия которого Р =- —, аубх2. Здесь ау — часто- 2 та классического осциллятора. Заметим, что частота осцилляций Ч'-функции около начала координат (рис.12) больше, чем у краев ямы. Действительно. при х = О кинетическая энергия движения максимальна, следоватечьно, длина волны Х 22ннил2альпа.
Прв ушдаквой энергии Е„характерная длина области /„з которой может двигаться частица, находится нэ условия Р (Ь) = — Е„. Итак, — а2Ч Е„, откуда ܄— )у Е„/со. Условие квантования (1.17) имеет внд )/ Ь2/ау в/)У Е„, откуда Е„=- Суявь Из принципа соответствия следует, что С, = 1.
Как известно, точное решение задачи приводит к спектру осциллятора Е, =(л + 1/2) еу,т. е. Нри и = О энергия колебаний отлична от нуля. Это связано с соотношением неопределенностей; частица, б ущ б б б у г меныпий 1/б/. Энергия Е имеет оценку Š— „„+ е2 бу. Возь- 1 2 2 мем минимум этого выражения. Эта минимизация соответствует вариационному принци- пу квантовой механики; Е = =ш!и (2)у)Н (2!2). В данном случае 2)у-функция зависит от одного лишь параметра о. Выра;кение для Ь' минимально лрн 1/'гб в.При этом Ь,„„, =- Рас. 23. = С ьу (в действительности С, =- 1/2). Величина 2/уауяа 1/еу дает оценку квадрага амплитуды нулевых колебаний.
Лнзлогичным способом можно рассмотреть двиз;сппе в кулоновском поле (рис. 13). Ограничимся случаем / = — О (случай / ~ О будет исследован квазнклассическн 22 Н па стр. 153). Энергия Е имеет порядок — — †. Мипнмн- Ь2 эируя это выражение, получаем Л =- 2п2/Л. зе ГЛ. !. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Подставляя в выра>кения для энергии, наводим Яй Е а 4аа 2 Запишем Е„= — С,—, и найдем С, из принципа соот- ветствия:, НР:„ , 2Я~ 2л — — -= ъ. == —, ~Ьь и" Период классического движения х ь„ Т,.„, = 2 ~ — = — 2 о ~/ 2 (Е„-(- — ') 22а ~.,! / Ет,'/1 Итак, С, —.'„= —,'', (2С! — ', !, откуда С, = !/е ! Ег Окончательно Е„== -- —,, — '„, что, как известно, совпадает с точным решением.
Исследуем более сложный случай, когда частица движется в поле аигармонического осциллятора. Потенциал Г ранен —, !аьхз + — (Х ) 0), Энергия Е (Е) имеет следу!о- 2 4 щу!о оценку: Основное состояние соответствует и = О. Мы выбрали кинетическую энергию основного состояния так, чтобы получилось точное выражение для энергии гармонического осциллятора.
Минимизация этого выражения приводит к уравнению +юг+)гз или (1Л7') 37 2. Атомная мкхАниБА Рассмотрим сначала случай болшвих Л. Пренебрегая 11т в (1.17') членом с ю', получаем Мз == (и+ —,, ) . СледэвнО т тельно Е =- — Л" (и — '- —,) . Учитывая член — по 2 теории возмущений, получаем поправку Г,' О 1 3 ! случае малых Л аналогичтпзм П противоположном способом получаем !'ешая кубическое уравнение (1.17'), несложно получить и общую формулу для Е„при произвольных Л. Л!ы пе будем приводить ее здесь ввиду громоздкости. Распределешзе электрического заряда в атозн. 1'нспределение заряда в тяжелых атомах можно вычислять с помощью приближенного гптода, называемого методом Томаса — т!ц рмк (см. так;нг стр.
158). При этом используется тот факт, что в тяжелом атоме большвпство электронов имеет большие квантовые числа. Длины волн электронов при этом малы по сравнению с областью изменения потенциала. Тогда плотность электронов в каждой точке атома можно рзссчитьцтнть так же, как н плотность свободпьзх электроноз и потенциальном ящике с плоским дном. Пусть наибольший импульс электронов в данной точке равен рю Число состояний в единице объема в интервале (77, р + г!уз) равно старз/(2л)з.
Поскольку в основном состоянии атома электроны доляттты заполнять все состояния с импульсом, меньшим рю тц число электронов в единице обьема равно Глр,,ат 1 п =- 2 — = — 2 —. ирз —. ) (Зз)з З о (Зл)з (множитель 2 возникает из-за двух вшгможных проекций спина электрона). зз ГЛ. Ь РАЗМЕРНЫЕ Н МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНЕН Обозначим через ф (г) электростатический потенциал атомного поля.
Согласно уравнению Пуассона Дф = 4ял, т. е. Дф Ро. Свяжем ро с ф. Полная энергия электрона равна 2 — ф(г). Пусть ео — максимальное значение полной энерРз гии в каждой точке атома, т. е. ро Ео = — — 1Р (Г). 2 Величина ео должна быть постоянной, иначе электроны будут переходить из точек с большей энергией е точки с лзеньшей энергией. Из двух последних формул находим Д1р (ф + ео)'~* д ч ° если отсчитывать зр ст — е .
Определим радиус 1 области, в которой находится большинство атомных электронов. Из последней формулы имеем по порядку величины Р— фо; ОтКУДа 1 — зР-Ч. С другой стороны, величину з можно связать с числом всех электронов атома Хз Л лрз или, учитывая соотношение Дф и т Дфзз Ф ~з Сравнивая два последних выражения, находим Я 1-1.! или 1 КРА ' Средняя энергия з атомного электрона по порядку величины равна электростатическому потенциалу ф (1). 2, атомная ывхАнпкА Так как 1 — ~1-", то получаем : — Р-х — гм.
Полная энергия всех электронов Е имеет порядок величины Š— е7 2'. Рвс. $4 Число узлов волновой фуякции есть 1)~ е И'ь Итак, радиус К-оболочки атома г» 1/У, расстояние 1 (томас-фермиевский радиус), на котором находится большинство атомных электронов, 1/12' и радиус наружных оболочек 1, поскольку аффективный заряд для электронов наружных оболочек 1. Распределение электрического заряда в атоме рассматривается подробнее в разделе 3.2. Формула Роаерфорда. Рассмотрим рассеяние легкой частицы с массой ш н зарядом е па тяжелой частице с зарядом Хе в перелятивнстском классическом случ и.
Сечение рассеяния ве зависит от массы тяжелой частицы; оно определяется скоростью налетающей частицы э, ее о,' 'з массой и зарядами е и Яе. Из закона Кулона следует, что сечение о будет зависеть лишь от комбинации Ие'. Из этих параметров можно составить только одну величину с размерностью длины, а именно Лез/июз; следовательно, се- / 2е~ те чение рассеяния с(0) = ( — ~) У(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
