1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 8
Текст из файла (страница 8)
вэхимодвнствив с излтчкникм квантами. Нетрудно получить ( (ь) ь „„=- у' и + 1 ~~ —, "х (Аь),„, = Уп У'— ~и Таким образом, матричный элемент перехода частицы из состояния юм в состояние ~ы с испусканием кванта равен У,.=( — — ~.~: — — — (Р,]утб .' "]Рг,) У вЂ”. ам ) >.,г, тс еь (1.23) Чтобы перейти к релятивистскому случаю. достаточно для оценки ааменить р,'т на о.
Здесь рт]ах — проекция импульса на направление Аь (т]ал — единичный вектор поляризации кванта). Фотоаффект. Рассмотрпи фотозффект: квант света поглогцается атомом, в реаультате чего из атома вылетает электрон. Число переходов за единицу времени равно ь ! Уо з ] 6 (Е 6!) где Л, — энергия начального состояния, равная сумме энергий кванта ша и энергии электрона в начальном состоянии ее, а Е1 — — е„— энергия вылетевшего электрона. г]испо переходов электрона за единицу времени в состояния с импульсами (э в интервале (21, .р + д1э] равно ЫИ' = 2п ~ ] У,, „]з6 (е, + иь — е„) — == ир (2я)" = 2п ~]У „]',,е~, 6(е, +ыь — еа)гЮ =: = ~, а ~ ] Уо, и] — "П. Сечение фотоэффекта равно отношению числа переходов за единицу времени к интенсивности потока квантов.
Последняя равна скорости кванта с, так как в нормировочном объеме (= 1) находится один квант. Следовательно, по 52 ГЛ. 1. РАЗМКРНЫК И МОДЕЛЬНЫГ ОЦКНКН порядку величины имеем Алл (2я)вв Покажем, что в выражении (1.23) экспоненту е1"' можно заменить единицей. Действительно, волновое число й = = со!с — 1~с, где 1 — потенциал ионизации атома; 1 — Хв для внутренних электронных оболочек. 1'адиус этих оболочек — 1/3, следовательно, йг — — — — — <.
1 и е " = 1. 2 1 2 в 2 Экспоненту евь" тем более можно заменить единицей для наружных оболочек, где йг — 1/с = 1/137. Так как (Р„РвРР) = (вРвтчвРр) = 1(ев — КР) (в(ввгвРР) = = вю (вувгву„), то сечение фотоэффекта имеет поРЯдок величины — '!(рв 'рэ)!' — — —,!(м'р.) !'. Рассмотрим фотоионизацию К-оболочки в двух предельных случаях: когда энергия вылетающего электрона много меньше потенциала ионизации и когда она много больше потенциала ионизации. В первом случае энергия кванта близка к энергии ионизации 1 — /в, т.
е. з — —,!(рв ра)!. Рг Сечение содержит множитель р — ф'Е. Если бы матричный элемент г,„не зависел от энергии (что неверно в данном случае), то о — 'г' Е. Это обычный результат для сечения реакций вблизи порога (см. стр. 171). Зависимость сечения — )~ Е возникла иэ-за статистического веса конечных состояний: ~в, 6(Š— ве) — ~6(Š— ав)рвв(р — ~б (Š— ов)рЗŠ— р.
(2к)в В нашем случае дело обстоит иначе: сечение фотоэффекта при малых энергиях вылетающего электрона не зависит от энергии. Это связано с тем, что дипольный матричный элемент из-за медленности спадания потенциала на больших расстояниях ведет себя как 11'Ур вблизи порога реакции. 3.
Взаимодеиствие с излучяникм Ьз Оценим ге„вблизи порога. Волновая функция К-электрона гр — е-"', н следовательно, в дипольном матричном элементе существенны малые расстояния г — 1Я. Чтобы оценить г,, нужно найти ~рр (г) при г — 1Я. Так как оператор г изменяет угловой момент на 1, то функция вылетающего электрона соответствует состоянию с моментом единица и имеет на бесконечности вид ~э — — соя (рг + б,) соя б. (1.24) рг С другой стороны, радиальная часть этой функции ~р /соя д = ир!г, где и„удовлетворяет уравнению Шредингера ия+ Р',ир --- О, где Р, =. 2 ( Е ь — — —, ), К = р'-'!2. Приближенное рептонне этого уравнения, найденное в 1.1 (квазиклассическое приближение), определяется выражением и .оя '" р (г)(г — — '.
(1.25) А гг ля 2,) ' г, Сравнивая Н.24) с (1.25), находим А = 1/)ггр. Условие применимости квазиклассического приблия.ения — ((1 (см. 1.1 и 3.1). Испольауя — „— ~ —, получаем ~11 условие квазиклассичности, г ) 1/7. Итак, квазнклассическое приближение по порядку величины пригодно вплоть до радиуса К-оболочки. ~/2 Находим гр при г — 1/Я: га†Двпольный матричный элемент имеет порядок (гр,г~р ) — Я'* ~ е- 'г г г)г— ,С я У2 2Я Ур — ' а Таким образом, зависимость | г, ~' от р компенсирует зависимость статистического веса, н сечение фотоэффекта при малых энергиях не аависит от энергии. Заметим, что ГЛ ! РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ этот результат возник только благодаря плавному ходу кулоновского потенциала. Если бы потенциал, в котором движется электрон, имел вид потенциальной ямы, то на краю ямы воаникла бы область, в которой портится квази- классическое приближение, и приведенная выше оценка была быневерна.
Иа формул третьейглавы(см. стр,171) легко убедиться, что в этом случае гоа не зависит от р, и ход сечения фотоэффекта вблизи порога определяется статистическим весом. Итак, при Š— 7»» 1 полное сечение фотоэффекта илв (1.26) Рассмотрим другой предельный случай, когда энергия вылетающего электрона много больше потенциала иониаации. Оценим дипольный матричный элемент и сечение фотоэффекта.
Волновая функция непрерывного спектра имеет вид !рв = ге!Р", где Š— функция, стремящаяся к едиг а нице при рг «) 1. В матричном элементе (!рэр!р ), как мы увидим, существенны расстояния г — 1,'р. Отклонение Е от единицы определяется величиной г'(г)/Е. При г — 1/р Р/Š— )/1/Е и можно полагать Г = 1. Учет поляризации кванта внесет лишь множитель порядка 1. Следовательно, Интегрируя по углам, получаем О Х'/~ (!р е'!'") — Х'/ ~~ е-х" з'а "" гх!/г = — ~ ге к Ш з1 и рг й..
Рг 2Р Оценим зто выражение. Легко видеть, что вторая проиаводная от функции / (г) = ге-в ! "! имеет скачок при г = О. Поэтому далекие фурье-компоненты этой функции имеют оценку (см. 1 1) — 7/рз. Если бы потенциал Г как функция гз не имел особых точек на вещественной оси, то волновая функция как скаляр была бы аналитической функцией г'. В этом случае 3. Взхимодкпствик с нзлучкннкм далекая фурье-коошонента волновой фупкцпп как функция энергии была бьо зкспонеициально мала (см. 1.1). Стопеннзн зависилоость матричного элемента от энергии в нашем случае возникает из-за корневой особенности кулонов- ской волновой функции (см.
стр. 192). Итак, матричный алемент Орое'"') при р- с~. Имеет оценку /'!ро, а сечение фотоэффекта 2'р 2)ато ! ! Хпо — —, т. е. с =- —,, нли з — — '( —,) .(1.27) ср" ' сйч' сто Здесь 1 — потенциал ионизации К-электрона, равный Яо)2. '1исленный Расчет показывает, что Со — 10. Если положить в (1.27) энергию Е равной потенциалу нонизации 7, то мы должны получить по порядку величины формулу (1.26). Однако, как показывают численные расчеты, формула (1.27) дает при Е =- 7 сечение, на порядок большее, чем (1.26), Это оаначает, что переход от области Š— 1(~1 к области Е))1 оказывается сильно растянутым. ЗАДАЧА Оценить сечение фотоаффекта для анергин Е вблизи порога 7 и больших Е в случае прямоугольной ямы.
Времена жиани воабужденных состояний атома. а) Оценим время жиани состояния 2р водородоподобного атома. Электрон из состояния 2р переходит в состояние 1о, испуская дипольный у-квант. г1исло переходов в единицу времени (обратное время >кивни) равно лов ~~'о1 = 2н (~! Роо !' — ), б (Ео — Ео — ы), (2я)о 1 где у' = — — 2)А — потенциал взаимодействия электрона с электромагнитным полем.
Индекс 0 соответствует состоянию 1з, индекс 1 — состоянию 2р, ы — энергия у-кванта. Так как сР(о =-- йо ~йо п(3 = Ао — „дй йо, то о'а Ао Л Ш? И'оо =:- 2к~! Ио Г 2 )о (2Л)о 56 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Оценим матричный элемент перехода )сс1', учитывая нормировку потенциала А электромагнитного поля (см, стр. 50), находим 1 т/ 2я )'сг = — — (РА)сг - ~~ — Рсн с сс Здесь мы не интересуемся поляризацией у-кванта, учет которой внесет лишь численные множители порядка единицы, Оценим матричныйэлемент импульса Р: Рсс = 1сэгс1 с Следовательно, ссс 1 сВ с1с сс С1 — — — й —— 2с сс с1сс вессс Так как частота перехода се имеет порядок У', то окончательно находим 24 И'С1 — — .
сс Оценим численно время >низки состояния относительно дипольного перехода. Атомное время жизни имеет порядок Е 27 сс 1,6 10 1ссрг/сс сс Следовательно, тдсс — —, тс ° Для атома водорода т䄄— — 101 10 " = 10 'с сел. Точный расчет дает несколько большие значения тд„а. б) Оценим время жизни квадрупольных переходов, например, Зс( -+ 1з. Ранее в операторе А электромагнитного поля мы заменяли множитель ес"' (1с — волновой вектор сс 7 кванта) единицей ~йг = — г — — < 1).
При рассмотрении с с квадрупольных переходов нужно разложить е™" в ряд, причем главный вклад внесет член разложения 1гсг. Получаем где ц — поляризация кванта. 3. ВЗАИМОДЕИСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ Направим ось г по вектору Ч, а ось х — по В (вектор поляризации кванта ц перпендикулярен волновому вектору Ф). Тогда и Г 2я Уаа =- 1й ~' — „(Рах)аа = ,/ 2к г 1 =- й 12 — ~~ —,, (Р,х — Риз) + —,(Р,х .)- Риз)1 2 ' " 1м ,хиег ! и == й 12 =' ~ — —, (кр) + —, — (ех) ги ( 2 и 2 а 1 Первое слагаемоо в атом выражении представляот собой матричный элоыент от у-проекции момента количества движения, т, е, соответствует дипольному магнитному переходу, Произведение гх — это компонента квадрупольного момента, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
