1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Иайдем зависимость сечения от угла рассеяния в прелельпом случае малых углов. Угол отклонения 0 приближенно равен (рис. 14) 0 рх/р, где р — импульс частицы, а рх — импульс, возникающий в направлении, перпендикулярном к исходному. Вычислим р ь.' Г Яе~ рх = ~ Ез Й = ~ —,, соз сгг(1 =- Ф /~".а ~й 27м ( лх '/е~ (Зэ+ апй а Гю З (1 + зз)а рг о 4О Гл. ь Размерные и модельные оценки (интеграл берется заменой х = Сд у); здесь р — прицель- ное расстояние (см. рис. 14). Следовательно, О(р) =— гг. тФр (1.18) По определению дифференциального сечения рассеяния: с(с =- рс(рйр = р ~Д~ООйср = р ~ — ~~ ! или (1.19) Используя (1.18) и (1.19), получаем формулу Резерфорда для малых углов рассеяния: (1.20) Неприменимость классической механики при больших прицельных параметрах. В классической механике полное сечение рассеяния - = ~ 2ярар о обращается в бесконечность для любых потенциалов кроме обрывающихся, как, например, потенциал твердого шарика.
В квантовой механике полное сечение конечно для потенциалов, убывающих с расстоянием быстрее, чем 1/г' (см. ниже). Покажем, что классическая механика становится неприменимой при достаточно малых углах рассеяния, т, е. при достаточно больших прицельных параметрах р. Мы увидим, что с увеличением прицельного параметра угол квантовомеханической дифракции Од,а уменыпается медленнее, чем угол классического рассеяния О„,. Позтому начиная с некоторого прицельного параметра р, угол Одзе становится больше О,з. Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния для прицельных параметров рассеяния, ббльших ры нужно рассчитывать но квантовомеханическим формулам.
Итак, хотя длина волны Х здесь много меныпе характорпого 2. АТОМНАЯ МВХАНИКА размера, т. е. ры условгия классичности рассеяния не выполняются, т. о. условие ) «~ р, — необходимое. по вовсе не достаточное условие применимости классической механики в задаче рассеяния. Получизг критерий применимости классической механики. Согласно оценке О„д = рх/р заключаем, что др л~ )')Р) л~ У 00 )ЧР) О,а — РАЛГ)р — — — — — — — —, т. Е. О. д — —, а)РРРР а )' У Здесь мы предположилн, что —. — —, à — знергия час- аР тицы. р — потенциал взаимодействия. Для нахождения угла дифракции рассмотрим следу1ощий опыт. Экран с отверстием диаметра 2а ограничивает прицельныепараметры рассеяния значениями р -+ а (рис. 15).
Для применилшсти к~асс~~есной механики а д <О 0 необходимо, чтобы ширина < щели а была много меньше прицельного парамет- р ра р, иначе само понятие прицельного параметра теряот смысл. Прп сужении отверстия возникает Рнс. )5. дпфракционное рассеяние. Чтобы можно было наблюдать отклонение, необходимо, чтобы дифракцновный угол был много меньше угла рассеяния. Из соотношенггя неопределенностей видно, что неопределенность в координате а соответствуетнеопределенности в поперечном импульсо Лр 1,'и.
Следовательно, угол дпфракцин где р — импульс налетающей частицы. Длн прилгевимости классической механики необходимо, чтобы О, 'з Одне пли Од„)) 1/ра, тем самым У ~р)- 1 0 =- — с)) —. кд = К Рр ' 42 ГЛ. Ь РХЭМВГНЫИ И МОДВЛЬНЫН ОЦВНКИ Это — общий критерий применимости классической механики для задачи рассеяния. Для потенциалов, спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоковский, классический угол рассеяния убывает с ростом прицельного параметра сильнее, чем 1/р. Поэтому всегда найдется прицельный параметр ры для которого Одд Одда. 22Ы В случае резерфордовского рассеяния 0= — и рассея- РР" ние будет для всех углов классическим, если Хе'/Ьэ )) 1. Оценка сечения рассеяния для потенциалов, спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский.
Мы получили, что классическая механика неприменима при прицельных параметрах, ббльших р„которое определяется из условия равенства классического угла рассеяния дифракционному.' Ь = пад(р1)1 Р|Р (1.21) т. е. величина рг находится из соотношения а р (Ре) РР Ь' (1.22) и = ярг + пдиф~ где оддФ вЂ” дифракционное сечение рассеяния. Если потенциал достаточно быстро убывает, то ад„е может быть оценено как дифракциопное сечение рассея- 2 ния па экране радиуса р„т.
е. одда имеет порядок ярп так что о 2пр,'. Оценим полное, сечение рассеяния для степенного по- 1 а тенциала $' = а/г". Из формулы (1.22) находим —— ШР ИР е- Из (1.22) можно найти р, для любого конкретного вида потенциала (е (р), спадающего с расстоянием быстрее кулоновского (для последнего обе части соотношения (1.22) пропорциональны 1/р, т. е. р, найти нельзя). Следовательно, при р <. рг диффоренциальное сечение рассеяния можно вычислять по формулам классической механики. Полное сечение рассеяния 2. АтомнАн мвхАнпкА откуда р, (а/э)а '. Следовательно, ,а — 1 с — 2ярт — 2я! — ] 1 Мы оценивали дифракционную часть рассеяния как дифракцито па экране.
Как неясно убедиться *), для этого требуется, чтобы потенциал убывал быстрее, чем 1!гт, н, следовательно, приведенная оценка справедлива при п)2, Резонансные эффекты при рассеянии. Рассмотрим сначала рассеяние на потенциале, имеющем сильно отталкивающу1о сердцевину (рис, 26). Обозначим через Ра и а соответственно высоту и ширину потенциального барьера. Предположим, что Ра )) Š— энергии нале- Ут тающей частицы. Тогда па границе барьера волновая функция обращается в нуль: Ч' (а) = О. Рассмотрим для простоты сферически-симметричное рассеяние и предположим, что при г ) а частица движется свободно, т. е.
ее волновая функция есть сумма падающейплоской волны енм и расходящейся сферической волны — е'т", где ~ — амплитуда рнс. рассеяния. Плоская волна е'т' имеет сферически-симме- зш йг тричную часть, равную — . Поэтому Аг Используя граничное условие Ч' (а) =- О, находим — + ~е'"' = О, или а э1н аа -Фа у= —— а а) Л.Д. Ландау, Е.М. Лнфюнн. Квантовая метаннна, Фнзматгнз, г963, стр.
а43. 44 ГЛ. Ь РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Если энергия частицы такова, что Йа = пя, где и— целое число, то 1 = О, т. е. сечение з-рассеяния обращается в нуль. Этот резонансный эффект в полном сечении ослаблен тем, что прн 11а ~ )1 в рассеянии существенны и волны с 1 тн О. Поэтому полное сечение рассеяния не обращается в нуль.
Как видно из вырая1епия для амплитуды рассеяния наиболынее сечение получается при ла =- (2и + 1) — . 2: а = 4КХ'. При малых и (ка (( 1) сечение о = 4яа'. Резонансные эффекты при рассеянии используются в так называемой просветленной оптике: на поверхность линзы наносится слой вещества такой толщины, чтобы при нормальном падении света разность фаз от слоя и линзы составила целое число п.
В результате на поверхности линзы не происходит отражения света и все потери обусловлены лишь поглощением. Аналогичное явлепне происходит при рассеянии частиц на потенциальной яме (Г«0). Как и в случае 'г' ) О, сечение рассеяния принимает различные значения в зависимости от фазы волновой функции у края ямы. При определенных значениях фазы сечение обращается в нуль. Этот эффект наблюдался впервые Рамзауэром при рассеянии электронов на атомах. Классическая теория рассеяния ие может объяснить это явление.
Другой пример, где классическая механика решительно противоречит эксперименту,— это захват медленных нейтронов ядрами. Сечение этого пропесса ( 4НХз) превышает классическое сечение (о„з = НЛ', где Л вЂ” радиус ядра) в десятки тысяч раз. Вааимодействие между атомами. Оценим величину взаимодействия нейтрального атома с ионом и с нейтральным атомом на больших расстояниях. Ион создает алектрнческое поле и = Е /г', где 21 — заряд иона.
Нейтральный атом, находящийся в электрическом поле Ж, приобретает дипольный момент Ы = ае, где а — поляриауемость атома. Следовательно, взаимодействие иона с нейтральным атомом г' = — 8Н = — Яд~аlг'. В атомных единицах а 1, так как главную роль в поляризации атома играют наружные оболочки, для которых все величины 1 в атомных единицах. Таким образом, $' — Я~1Ж 2. АтомнАя мехАникА Рассмотрим теперь случай, когда оба атома нейтральны. Они индуцируют друг у друга дипольные моменты Ыд и Ых.
Диполь-дипольное взаимодействие менарду атомами равно г" — Ыд Ыь/г'. Среднее значение Х, и Йх по основному состоянию равно нулю. так как атомы не имеют постоянных дипольных мох э ментов. Однако среднее значение 4, пх отлично от нуля. Днпольный момент колеблется со всеми возможными атомными частотами: и,~ Дипольпый момент И,„создает поле е — — . Момент с/х„ в этом поле равен гххс'„. Подставляя И, в энергию взаимодействия, получим после усреднения по времени: 'г' — — ~г4 Ж = — —,~'„д, ах (е1) — — —,. х 1 Такое взаимодействие называют взаимодействием Ван дер Ваальса.
Ионизация атомов. Оцепим потери энергии прн движении электрона с энергией, много большей энергии электронов атомных оболочек. Налетающий электрон, сталкиваясь с электронами атомных оболочек, выбрасывает их из атома. При большой зпергии налетающего электрона его угол отклонения д мал. Поэтому сечение рассеяния на одном электроне обо~1б 1 кочки определяется формулой „вЂ” „— —,~, ', здесь р — импульс палотающего злектрояа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
