1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Изучим случай, когда малым параметром является время действия возмущения, но само возмущение не мало. Ионизация при ()-распаде — один из таких прим еров, В этом случае скорость ()-распадного электрона много больше скоростей атомных электронов. Поэтому изменение заряда ядра — внезапное событие для них, Другой пример — ионизация при ударе быстрой частицы о ядро, В этом случае внеаапным событием для атомных электронов служит отдача ядра. Рассмотрим систему, волновая функция которой подчи.
дч' няется уравнению Шредингера 2 — = НЧ.' с гамильтод( пивном 86 ГЛ. 2. 1'АЗЛИЧНЫК СЛУЧАИ Т1(ОРИИ ВОЗЫУВ(Г!ННИ Шредингера в новом представлении имеет такой вид: зь„ ' з! ~(з" "'"+ откуда сразу же получаем уравнение (2.9). Интегрируя полученное уравнение, имеем (е) (и)( а„Я вЂ” а„(0) =. — 1 ~' ( Ъ'„а,„(1) е '!"" '" !' й. (2,10) Матричный элемент И„обращается в нуль при 1)) т. Предположим, что (з(„') — е(')) т < 1. Тогда экспонента под интегралом приближенно равна единице.
Следовательно, для того чтобы пользоваться последовательныл!и приближениями, дол)кно выполняться условие Ит ~- 1 (возмущение не является малым, но оно действует короткоее время) . В нулевом приближении из (2.10) имеем ай (() = а (0).
Заменяя в правой части уравнения (2 10) в первом приближении а (() на а (0) и учитывая (2.8), получим оц) (!) = — 1,'~~~ ~((р( ()г ((()„1)) а (О) (11 = те =- — 1) ((р(з) / И ( Т (0)) (11. (2.11) о Предположим, что начальное состояние Ч) (0) было одной из собственных функций Н„т. е. Ч" (О) =.— (()~~~ = ~~1 а, (0) (р(1).
Следовательно, а„(0) = ((а~ь ( ((ьн). Итак, в нулевом прнбли)кении вероятность перехода в состояние (р„есть (2) И'. =!(Ч4Г( р-"') 1' (2.12) В пространстве векторов Ч' (() с базисом (р„ внезапное возмущение соответствует сильному изменению базиса: при малом изменении волновои функции: (1) (з) Ч' (() = Ч' (0). 3. Внвзлпнык Возыущ!зины И' ==. —,, ~ ~ 1'„„,е'"'"" !!! ) . 0 (2.13) Здесь )г„„, — матрнчпьш элемент зпергпн взаимодействия, а ш„„, — частота перехода. Оцени!! это выражение. Величина ы„„,имеет порядок атомных частот. Время пролета р-распадного электрона т много меньше атомных периодов, т.
е. ы„„,т « - 1. Поэтому в (2.13) можно заменить е """ — 1. Взаимодействие р-электрона с атомным электроном пмост порядоквеличины е'/а, где а — величина порядка атомных размеров. Так как прн ()-распаде электрон вылетает нз атома со скоростью порядка скорости света с, то время вылета т — а!с.
Следовательно, вероятность Иг имеет оценку: И вЂ” — '1ст — ( — "' )'(1. (2.14) Вычислим теперь вероятность ионнзации вследствие изменения заряда ядра. Как мы только что видели, волновая функция атомных электронов мало меняется за время вылета (1-распадного электрона. Поэтому вероятность нов низации электрояа, находившегося в состоянии Ч'а в поле ядра с зарядом Х, согласно (2,12) равна г!' о, к =- ! ( т о ( Ч к ) ! .
(2.15) гг» Здесь Чгк — волновая функция вылетевшего электрона с энергией Е ) 0 в поле ядра с зарядом 7. + 1. Полная вероятность нонизации из-за изменения заряда ядра равна 14'и -=- ~ 11'О, Г. ВЕ. (2.16) о Ионизация атомов прн р-распаде. 1'асчет нонизации атома при (!-р!!спаде сильно упрощается, если использовать тот факт, что скорость ~-распадпого электрона много больше скоростей атомных электронов.
Покажем, что ионизация вызывается изменением заряда ядра, а непосредственным взаимодействием атомного и р-распадного электронов можно пренебречь. Сначала оценим вероятность электронного перехода, вызываемого непосредственным взаимодействием. Согласно теории возмущсшш опа равна зз гл. х 1'Азлнчные случАи ТГОРии возму1цений Оценим (2.16). Для этого разложим функцию / (/1, Яэ) =.. = (Ч'ьэ ~ Ч'ь') в ряд по разности 21 — Я;. у(г„г,)=(г, — л,) ' д/ дь1 х,=ю ' Проиаводная — ~ = 1 Ч"е'~ — 1 — —. Следовательд21~х;г, 1 ~ дЯ1 / л1' з, з, но, (Ч"а') Ч'н) — = —, т.
е. 2~ Я~ И о — г~ ° 1 (2. 17) Отношение вероятности непосредственного взаимодействия к этой величине имеет порядок (~")' а=1. Из (2.15) можно сделать заключение о правилах отбора для рассматриваемого процесса. В случае иопизации ви утренних оболочок самосогласованное поле, в котором движется электрон, можно считать сферически-симмотричпы11, следовательно, Ч~ = Л,и (г) У1 (0, 1р).
Подставляя это Ч" в (2.15), получим правила отбора.' !1=Ц, ГЯ1=Л1,. Для наружных оболочек эффективный заряд Я, действующий на атомные электроны, порядка единицы. Следовательно, согласно (2.17) и вероятность ионизации гг'» — 1.
Это подтверждается экспериментами по накоплению положительных ионов при ()х-распаде. Вероятность ионизации можно вычислить для К- и А,- оболочек. В этих случаях существенна область вблизи З Хат ядра, где функции Ч'а и Ч'ь. можно считать водородоподобными (пользование водородоподобными функциями вносит погреп1ность порядка 1/Я). Вероятность ионизации быстро убывает, когда энергия вылетающего электрона становится много больше потенциала ионизации. Действительно, в этом случае функция Чге"' много раз осциллирует на размерах Ь'.-оболочки и интеграл (2.15) мал. Таким образом, вылетающие электроны имеют энергию между нулем и величиной порядка потенциала ионизации. 3, ВнеэАпные Возмугцвния Получим вероятность ионизации для К-электрона, когда энергия вылетающего атомного электрона много больше потенциала ионизации.
Радиальная волновая функция Лл" при больших энергиях дол1ква совпадать с радиальной функцией свободной частицы; е+д 1 -егг 2 Л — — ~à — Згд ЙГ. е г я~ Здесь л = )г 2 Е. Функция Лв предполагается нормиро- ванной: ~ ЛеЛе Г'дг = — б(Š— Е'). о Следовательно, И'дк = ~~ Л1ЛЕ Г оГ ~ ~~ Л1 3!П(АГ)Гог О о Для К-электрона Ле = 2_#_"е х". След вательно, нужно вычислить интеграл 1 = — ~ ге-вг з!и (лг) й. нри й -+ оо. Ина тегрируя его по частям, получаем 1 — 2 Я%э (интеграл вычислялся в 1.1, стр.
27, и на стр. 54). Итак,при Е ~ Яз вероятность иокнзации К-электрона приближенно равна: З2з 22 з 2 Г2 2' — — ( — ) ==— Ионизация атомов пря ядерных реакциях. При ядерных столкновениях с большой передачей энергии должна происходить ионизация атомов отдачи. Если скорость, приобретенная ядром, невелика, то ядро успевает увлечь электроны, и ионизация происходит только в наружных, слабо связанных оболочках. Наоборот, при больших скоростях ядро вылетает иэ оболочки, не увлекая ее за собой. Вычислим вероятность ионизации при ударе нейтрона об ядро (Мигдал 1939).
Время соударения нейтрона с ядром т — Л/э„, где Л вЂ” радиус ядра, и„— скорость нейтрона. Это время много меньше электронных периодов т,. 90 гл. а РАзлпчныг случАБ тсОРни возму!цгннн Поэтому за время столкновения электронная волновая функция практически яе меняется. Если обозначить через в„скорость, приобретепнук1 яд- ром, то смещение 1 ядра за время соударения имеет поря"я А| Док величины 1 — гят — — Я Ач — — К <" К т. е. 1 много "я Мя меньше размеров электронной оболочки. Следовательно, ядро практически пе смещается за время удара. Перейдем к системе координат, в которой ядро после соударения покоится. Тогда волновая функция начального состояния преобразуется в выражение Ч'О е1""'"1 Ч'О (г„г„" ), ГДЕ 22я — СКОРОСтъ ОтДаЧИ ЯДРа.
Эте ВЫРажЕПИЕ ПРОЩЕ ВСЕ- го получить, разлагая Чгэ-функци1о по плоским волнам и СДВИГаЯ КажДЬП| ИЗ ИМПУЛЬСОВ Этнк ВОЛН На ВЕЛИЧИНУ Пя. Пусть Ч", (1',, г„...) обозначает конечное состояние атома, Вероятность возбуждения согласно (2,12) равна И' = — ~ (Ч", ~ е1"" "Ч'О) ! 2.
(2.18) Критерий применимости этой формулы: т (~ т,. Его л а 11 могкно записать также в виде, ~~ — „или пя)~ — УО, где а — величина порядка размеров изучаемой оболочки. Из выражения (2.18) можно получить формулу для вероятности перехода одного фиксированного электрона. Так как при 7 -~ 1 взаимодействие между электронами мало по сравнению с полем ядра, то И' = И;И„ где И", — вероятность перехода рассматриваемого электрона, а И', — вероятность возбуждения всех остальных электронов. Суммируя по всем конечным состояниям, получим ,~~~ И'1 = 1,,5~И'2 = 1.
Следовательно, вероятность пере- 1 2 хода рассматриваемого электрона из состояния Ч1О в состоЯние Ч1я Равна И =- И1ХИ', = (~Фя"""Ч1О,(г!' (2 19) 3. ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ Если скорость ядра много меньше скорости электрона ( Л ~ но и„~) н, — ~, то экспоненту в (2.19) можно разложить в рнд. Нулевой член разложения исчезает из-за ортогональности функций фе и ф„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
