1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 17
Текст из файла (страница 17)
групповая яяр Ь=еи скорость частицы на краю воны (р = яд'2) равна нулю. Это соответствует тому, что на краю зоны волновая функция частицы есть стоячая, а не бегущая волна. Штарк-эффект в случае блпаких уровней. Рассмотрим систему с двумя близкими уровнями, на которую наложено однородное электрическое поле Р (х) = — Жх. Определим, как изменяется энергия системы в этом поле. в. тиовия возмтщвнин в слтчак влиакнх тво нвн 44т Среднее вначение )г по любому состоянию с определенной четностью равно нулю (дипольный момент д = ~Ч"„'( )~Ч"~(~) гЬ' при замене переменной интегрирования т -+- — тпереходит в — Ы, т. е. Н„= 0).
Для энергетических уровней Е,, системы в поле получаем: Еь = 2 ~)/ 4 +~)г Г (262) Рассмотрим, например, состояния 2а1ь и 2р ь атома водорода, Они обладают одинаковой энергией (если не учитывать лэмбовского смещения). Расщепление такого дублетного уровня при наложении электрического поля линейно по полю и равно Е, — Е, = 2 ~ )г„~.
Вычислим Уш. Для уровня 2г ь волновая функция равна В„(г) =, а для уровня 2р,, равна В„"1, — сов О. 1 / 3 У"4 г ~l В„, (г) — радиальные кулоновские функции. Следовательно, (г„= — 8(В„(г ~Вы) — ~сов'ОсИ = — — — (Вю)г ~ В,). ~з Матричные элементы дипольного момента для кулоновскнх радиальных функций табулированы. В частности, (В,а 1г) Вы) = 3 )г 3.
Следовательно, ( )г,т ! = Зе. Итак, расщепление дублета 2в„2р,, в слабом электрическом поле в атомных единицах равно 68. Заметим, что уровень 2р;, имеет ту же четность, что и 2р,ь. Поэтому ) Ч',р, хЧ'тр„й' = О. Следовательно, эти уровни в нашем линейном по полю приближении не расщепляются. Для их расщепления нужно рассматривать суперпоаицню трех состояний — 2а „2рч„2р.ь. Для всех других атомов, кроме атома водорода, расщепление термов квадратично по полю: Е=Ео+ 2 хе'". Действительно, уровни сложных атомов не вырождены относительно орбитального квантового числа (, т. е. нет и8 гл.
х. РАзличные случАи теОРии ВОзмущении состояний с близкими энергиями, которые перемешивались бы в слабом электрическом поле. Изменение времени жиани состояния 2а а атома водорода во внешнем электрическом поле. В атоме водорода состояние 2зя имеет большое время н~изни. Действительно, переход 2зь -+.1з„может происходить лишь с испусканием двух 7-квантов. Время жизни состояния 2иш по отношению к этому переходу порядка 1/7 сек. Кроме того, воаможен еще дипольный переход 2пь — ~- 2рь (энергии обоих состояний раэличаются из-эа лэмбовского смещения). Оценим вероятность этого перехода. В (1.3) мы нашли, что вероятность дипольного перехода ш вэ/с~, где ю — частота перехода.
Равность энергий ю = Е„, — Еэ имеет порядок 1/сэ (см, стр. 71). Следовательно, ю 1/с'э. В атомных единицах с — 137, следовательно, в 10-э', т. е. время жизни состояния 2го, по отношению к переходу 2з ь — ~ 2р я порядка 10мт„, где т~, — атомное время 10 " сек. Итак, рассматриваемое время 10' сев. Мы видим, что переход 2я, -+.1зч, все же вероятнее, чем переход 2зь -~-2/ьь. При наложении внешнего поля состояние атома будет суперпозицией состояний 2гь, и 2р ь. Но как только атом перейдет в состояние 2р/„он моментально (за время т 10 гэ сск) совершит дипольный переход: 2р1ь — ~-1эч,.
Мы видим, что время жизни состояния 2иь реэко измеияетсн при наложении электрического поля. Итак, будем считать Ч' = С,е " '~>, + С,е Я1'~Рм где индекс 1 соответствует состоянию 2г~„а индекс 2 — состоянию2рч,. Для величин С„С, имеем уравнения [С, =- $'„С, ехр [Х (е, — е,) /[, (2.63) [Сэ = — 1 — Сэ + У ЩС, ехр [ — [ (е, — еэ) Я[. Здесь % = — с'х. Матричные элементы И„= [гээ = О. Затухания состояния 2э1ь со временем '/, сев не учитываем.
Даже в отсутствие внешнего поля С не является постояннои: С, ехр ( — г/т) из-эа вэаимодействия с по<о> лем ивлучения. Здесь т имеет порядок времени жизни дипольного состояния (т — 10-" сск). Ог ' считаем постоян<о~ э. теоРия ВОзмущений В случае Близких уРОВней нэ ной, поскольку время Затухания состояния 2гь очень велико. Обоэначим С = Се ехр (<е>1<), где е„= — е1 — Зов лэмбовское смещение (е„- 1И).
Тогда иэ (2.63) имеем <С, = )г1 С, <бч = У;1С вЂ” (е>1+ <ут) С. Исключая С„ получаем С + ( — <е11 + — ) С + ~ ры >1 С = О. 4 (2.64) Ищем решение уравнения в виде С = 4е™, Получаем о>1 — <о ( — ' + е1,) — ))г11Р = — О, (2.65) что дает два комплексных корня для о>. В начальный момент времени С1 = 1, С = О.
Начальное условие для С будет выполнено, если искать С в виде С = а (ехр (1<о<1><) — ехр И<о<'><)). Иэ (2.64) на- ходим С О+( + >)с Ум — — + е„— о><1>) ехр (>о><1>О + + ( — — — е11 + <о<1>) ехр (<о><й)~ . 2 (е>" + т ) +3' 4 (е~о + —,) +> У11>1.
(2.66) Рассмотрим случай ~ у'„~ ~ 1>т. Тогда иэ (2.66) .1 1 Н У11 / о><1>=ем+ —, о><1>= <1 — — еы) еэ +— 11 то Величина а определяется иэ условия С, (< = 0) = 1: а = Р,1(о><'> — о><1>) '. Иэ уравнения (2.65) найдем частоты <о<'>, о><'>: 120 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫИ СЛУЧАИ ТЕОРИИ'ВОЗМУЩКНИЙ ~ Р22 ~ )) 1/т. Тогда 1/ 3 ! ~2 гоп 21 — —.
~е,з + — ) + ~ Р22 ~ + — ~е22 + — ) — 2 ~ ° т) — — а~У„~~ «) и время затухания С2 становится равным по порядку величины времени жизни дипольного состояния т. Итак, время жизни состояния 2жь атома водорода чреавычайно сильно (на девять порядков) уменьшается 1 при наложении электрического поля порядка 8 — —— 10' — с ' — — в — 500в. 1372 Следовательно, большое время Рассмотрим случай, когда состояние 221Л имеет в этом случае очень жизни -1/ ~ $'22 ! 2 т. теперь противоположный предельный наложенное поле столь велико, по ГЛАВА 3 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В этой главе рассматривается приближенный метод решения уравнения Шредингера для того случая, когда длина волны частицы мала по сравнению с расстоянием, на котором существенно изменяется потенциал. Простейшие примеры такого приближения были рассмотрены в 1.1.
Поскольку переход к малой длине волны соответствует переходу к классической механике„квазиклассическое приближение позволяет проследить связь классической и квантовой механики. Особенно отчетливо эта связь видна в принадлежащей»рейнману пространственно-временной формулировке квантовой механики *). Согласно этому подходу волновая функция в точке (х, 1) определяется из волновой функции Ч' (хо, ~о) умножением на ехр (гХЯ«) (Юн Яо,..., Юо,...— функции действия для всех траекторий, соединяющих точки (х„цо) и (х, ~)), и интегрированием по х,.
Поскольку возможные траектории образуют непрерывное множество, в показателе экспоненты стоит интеграл по всем возможным траекториям (континуальный интеграл). Пусть имеется классическая траектория, соединяющая точки (хо, йо) и (х, й). Так как функция действия минимальна вдоль классической траектории, то вклад пучка траекторий, прилегающих к классической, дает наименьший фааовый множитель.
Между тем траектории, идущие вдали от классической, сильно осциллируют и погашают друг друга. Б результате в континуальном интеграле эффективно остается трубка траекторий, прилегающих к классической, и поэтому Ч»(х ~) ~ А(х хо) е«ЯИ«, »; хо» > Ч" (хо ~о)г«»хо *) Ф. Ф е й н м а и, А. Х и б с, «Квантовая механика и ин. тегралы по траекториям», «Мнр», $968 г. 122 гл. 3. кВАзиклхсснческое пгивлижение где 8, — действие, вычисленное по классической траектории.
Множитель А определяется эффективной шириной трубки участвующих траекторий. Для стационарной задачи Яа (х, ц хю ~,) = оа (х, хе)— — Е(à — Гз) и, следовательно, так как яа(х, ха) = уе (х, хг) + + Я, (х„х,), где х, — произвольная точка на траектории, Ч' (х) а (х, х,) е~'*е. Именно такой результат получается и в обычной формулировке квантовой механики. Этот результат обобщается на случай траекторий, для которых действие о" комплексно — роль «классической» играет траектория, вносящая вместе с прилегающими траекториями наиболыпий вклад в континуальный интеграл. Функция действия на такой траектории, как и в случае вещественного Ю, подчиняется уравнению Гамильтона — Якоби. В частности, при движении под потенциальным барьером Ю принимает мнимые значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
