1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 21
Текст из файла (страница 21)
предлагаемую ниже задачу). 144 гл. 3. кВАзиклАссическое пРиБлижение Другая постановка задачи соответствует случаю, когда в начальный момент времени частица находится внутри потенциальной ямы и требуется найти ее состояние через время 1, т. е., в частности, амплитуду вероятности ее обнаружения через время 1 в начальном состоянии. Физическим примером является задача ' об а-распаде, когда в результате какой-либо ядерной реакции возникает материнское ядро, которое затем распадается на дочернее и а-частицу *).
Рассмотрим сначала стационарную постановку задачи. Предположим, что частицы падают слева. Тогда решение при х — Р ~- со имеет вид Ч" = еы" + ае ы', х — х Ч" = Ь "х Коэффициенты а и Ь (амплитуды отран<енной и проходящей волн) связаны соотношением, вытекагощим из закона сохранения числа частиц 1 — ) а )в = ) Ь! в. При малой проницаемости барьера (! Ь ) — ~ 0) решение слева от барьера близко к стоячей волне.
Мы предположили, что потенциал достаточно быстро убывает при х-Р ~ со. Если потенциал стремится к разным значениям при х — + со, х-т — оо, то единственное изменение состоит в том, что импульс проходящей волны отличается от импульса падающей, и условие постоянства тока даст 1 — )а !в = ) Ь !в —, где й' — импульс проходящей волны, а й — падающей. Коэффициенты а и Ь можно получить,сшивая квази- классические решения внутри и вне барьера с помощью формул (3.9), приведенных на стр.
127. Очень полезно сначала найти коэффициенты а и Ь для случая прямоугольного барьера. Хотя эта задача решается во многих книгах по квантовой механике, рекомендуем читателю проделать это вычисление самостоятельно. е) Эта постановка вопроса епервые аналкеирсвалась в работе: Н. С. Крылов, В. А. Фок, 3КЭТФ 17, 93 (1947р 145 Ь ОДНОМВРНАЯ ЗАДАЧА Рассмотрим случай слабопроницаемого барьера ( Ь(-4- О). Как видно из формул (3.9), решение внутри арьера после сшивкн на правой границе (см. рис. 29) имеет вид ха Х4 4Р Ь 4 ~/ А4 ~ ~ехр~ (й~4(х+ — ехр( — ~ ~й~4х)~ х х где й — импульс на бесконечности. Вблизи х = х, второе слагаемое будет зкспоненциально меныпе первого и, Рис.
29. следовательно, мало повлияет на условие сшивки на границе 1, 1Х. Изобран'ая решение внутри барьера в виде = ехр ( — ~ $ й $ 44х), где В = Ье у' й, ехр ( ~ $ й $дх) )гя х, х, получим после сшивки в точке х =- х, решение слева х Рг соз ( 2 й дх 4 ) УА х1 Требуя, чтобы коэффициент прп падающей волне равнялся 1, получаем (Ь(4 =с э", )а~4=4 — е 4" где Т = ~ ~й~ 4(х.
Величина е '" обычно называется про- х, ницаемостью барьера. Упоминавшаяся выше задача о холодной эмиссии электронов сводится к вычислению проницаемости барьера, изображенного на рис. 30. Глубина потенциальной Ямы ДлЯ электРонов металла ДаетсЯ величиной 4хэ, У,— разность потенциалов между катодом (металл) и анодом. гл. 3. кВАзиклАссичвскок пгивлижкнив ~а В области 0 — х,потенциал равен р(х) = — Ех = — — х. Предлагается найти проницаемость барьера. Перейдем теперь ко второй постановке задачи о прохождении частицы через барьер. Пусть частица в начальный момент находится в состоянии, близком к какому- либо стационарному состоянию, которое получилось бы при непроницаемом барьере (например при барьере, приподнятом вдали от ямы ка высоту большую, чем знергия вы- 6 летающей частицы).
"а Поскольку частица име- ет положительную знер- И гию Е, ее состояние описывается суперпозицией собственных функцийсплопшого спектра, Рас. 30. и проблема сводится к задаче о расплывании волнового пакета. Ч'ак как состояние сделалось нестационариым только благодаря проницаемости барьера, то для слабо проницаемого барьера волновой пакет, отвечающий начальному состоянию, будет расплываться медленно. Соответствующий такому состоянию уровень нааывается квазнстационарным (см.
стр. 187). Разложим начальное состояние, описывающее частицу внутри ямы, по собственным функциям сплошного спектра ОР Ч"о(х) = ~ С(Е) Ч'к(х)дЕ о Ч' в (х) Ч' к (х) дх = б (Š— Е'). где Волновая функция в момент 8 будет Ш Ч'(х,8) = ) С(Е) е 'в~Ч'л(х) дЕ. о 1. ОДНОМВРНАЯ ЗАДАЧА 147 Определим амплитуду вероятности нахождения частицы в состоянии Ч", через время 1 ;ь" (1) = (Ч" (х,1); Ч~э(х)) = ~ )С(Е)~'е 'кт)Е. о Как мы увидим ниже (стр.
193) при энергии Е, близкой к Е„функции сплошного спектра вблизи ямы имеют внд Ч'я = Х (Е) Ч'о (х) т. е. разбиваются на произведение функции от энергии )((Е) на функцию Ч'м описывающую стационарное состояние в случае непроницаемого барьера. При этом функция )( (Е) имеет полюс в комплексной плоскости Е при Е = Е, — 1Гэ. Ширина квазпстацнонарного уровня Г, пропорциональна проницаемости барьера. Нетрудно связать )((Е) с величиной С (Е), характеризующей распределение начального состояния по энергии. Действительно С (Е) = ~ Ч"к (х) Ч"э (х) йх = у (Е) Вернемся к вычислению величины ь' (1), определяю щей вероятность застать частицу в исходном состоянии Так как функция С(Е) име- ет полюс вблизи вещественной оси и удовлетворяет условию нормировки, то для ( С (Е) (з = )у (Е) (' приближенно имеем () С Е э 1"о (Е А.„)2 1 Рэ Я г Рос.
31 Сместим контур интегрирования в с (1) в нижнюю полуплоскость (см. рис. 31). Интегрирование по участкам 2 дает вклад, экспоненцнально падающий прн смещении контура в нижнюю полуплоскость. Остается вычет в полюсе и интеграл по отрицательной мнимой оси. $43 гл. 3. кВАзиклАссичвскок пгинлижкнии В рвзультатв имеем Е(,) еокЕегЕ ) ~ ) С( — )$) )ое-ПЕ5. о Прн больших о второе слагаемое определяется поввдвнивм )С(Е) ~з при малых анвргиях. Для того, чтобы оценить величину ~ С (Е) )з в атом случае, нужно задаться способом приготовления начального состояния. Для опрвдвлвнности будем говорить об а-распада и рассмотрим какую-либо реакцию, приводящую к образованию материнского ядра, которое затем будет распадаться на дочврнвв и а-частицы с энергией Е,.
Наряду с атим будет происходить и прямое образование дочерних ядер и и-частиц в ходе самой рвакции. Присутствие в спектральном разло- - Š— Ео жанни начального состояния а-частиц с энергией — )) 1 т как раа и соответствует твм дочерним ядрам и а-частицам, которыв возникли в процессе приготовления начального состояния (в ходе реакции). Число частиц с анвргивй Е вдали от Ео пропорционально проницавмости барьера е-оив) и в случае трехмерной задачи — стати- оЫЙ е— стичвскому весу конечного состояния т. в.— Йо — — у Е. е'Е Число а-частиц малой энергии, возник1пих в процвссв рвакции, равно ') С (Е) 'Г = А )/ Ее-оная.
При Е Ео это выражение должно переходить в приведенную выше формулу, Вводя величину Г(Е) можно записать ~ С (Е) ~о в виде, пригодном и при малых энергиях Г (Е) (Š— Ео)о+ Ро(Е) ' Г (Е) 3/ЕЕо -омв). Теперь нвтрудно оценить добавочное слагаемое в Я. В случае а-распада проницаемость барьера при Š— ~ 0 ьа~ о стремится к е-~Ф> = вхр( — — ), поатому при г -о.
оо интеграл может быть найдвн методом пврввала. Рвкомвндуется читателю убвдиться, что порядок величины 149 1. ОДНОМКРНАЯ ЗАДАЧА второго слагаемого в ь" дается величиной ч~ 2 Ч'33/3 Для случая, когда проницаемость барьера при Е-е-0 стремится к конечному пределу, имеем (Я ) — е гам "у'Е //Л Как видно иа приведенных выражений добавочное слагаемое описывает расплывание волнового пакета а-частиц, образовавшихся в ходе реакции, и не имеет никакого отнопгения к процессу распада материнских ядер. Если определять число материнских и дочерних ядер не по числу а-частиц, а, скажем, по характеру атомных спектров, то так определенное число материнских ядер будет убывать по закону е ег". Действительно, если в какой- либо момент установлено, что атомный спектр соответствует материнскому ядру, то тем самым определена его энергия с точностью до ширины атомных линий и, следовательно, в спектральном разложении а-частиц отсутствуют слагаемые с малой энергией, т.
е. при больших 1 остается только первое слагаемое М*). Надбарьерное отражение. Решим задачу об отражении частицы при движении с энергией, большей высоты барьера, так что везде выполняется критерий квааиклассического приближения. Легко увидеть, что ни в каком приближении по параметру квазиклассичности ".1/(И)е не возникает отраженной волны. Действительно, квази- классическое приблиягение, соответствующее идущей направо волне, имеет вид х Аехр~/') 1Г/га+ А"/Айл~. х1 Разлагая это решение по степеням А"/А, получим всюду только волны, идущие вправо. *] Более подробный анализ и ссылки на нредшестауюнше работы годер>катон н статье А.
Безаарег1е, 1, 1гонба, О. 6 Ь1г а г д г, Много Синеоко, 21А, 1 71 (1974). 150 РЛ. 3, КВАЗИКЛАССНЧБСКОБ ПРИВЛИЖБНПБ Причина етого результата в том, что козффициент отражения зкспопенциально падает с увеличением (И)', между тем как квазиклассическое решение есть асимптотический ряд и зкспоненциально малые добавки в нем полностью теряются. Целесообразно искать решение уравнения Шредин- гера Ч'" + Йз (х)Ч' = О (3.23) в виде х Ч' = )/ — „' ехр (~ ~ Й Нх) + ф, х где ф — малая добавка, содержащая отрав;енную волну. Тогда получаем ф + Йзф = ~ (х), где х ~(х) = — (~/ — ) ехр~~ ~ Йдх1. Ф Выразим решение етого неоднородного уравнения череа два решения соответствующего однородного уравнения Ч', и Ч'з (Ч', и Ч'з — волны, идущие соответственно вправо и влево): р = ~~ ~Чх, ~ Ч",~3 — Ч', ~ Ч",~3 ~, Л = Ч",Ч"з — Ч',Ч", = сопз1 где — определитель Вронского.
Итак, решение уравнения Шредингера (3.23) имеет вид х Ч" (х) = ~/ — 'алрос ~ Йдх1+ х + — '~Ч', ~ т,1~х — Ч", ~ Ч",~ах~. Пределы интегрирования определяются из следующих соображений: при х -э со должна оставаться только вол- $51 К ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА на, идущая вправо; зто обеспечивается функцией иум Прн х — Р— оо функция ~р ( — оо) должна содерокать только отраженную волну. Действительно, при указанном выборе нижнего предела Чи (х) = еоо. +ох + — е '"'* ~ Чио~ дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
