1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Выясним, как изменяется квазиклассическая волновая функция 1х' = Ае'з при добавлении малой величины Н' (х) 1. ОДНОМКРНАЯ ЗАДАЧА к потенциалу Р' (х). Изменение А определяется величиной Н'/Е, поскольку А 11'~ГГ а Л/сй Н'~Е, как уже бы- Н' ло найдено. Но о' = )1сй, поэтому М вЂ” я —,, так что 6Я может быть и больше 1, хотя Н'(К<= 1.
Изменение Ч' при добавлении Н' равно." Ч" + 6 Ч" — Ч'е1зэ = Ч" ехр (1 ~— .гг яхье Возмущение, вызываемое деформацией ядра, не удовлетворяет критерию (3.20), но критерий (3.21) выполняется. В этом случае для не очень малых величин можно польаоваться теорией воамущений (стр. 84). Вычисление матричных элементов в случае сильно осциллирующнх функций. Предположим, что требуется найти матричный элемент 1 = ~ Ч',(х)~(х) Ч",(х)11х, где / (х) — медленно изменяющаяся функция, не имеющая особенностей вблизи вещественной оси.
Пусть состояния 1 и 2 сильно отличаются по энергии и, следовательно,подинтегральная функция сильно осциллирует. Матричные элементы такого типа возникают в аадаче о возбуждении системы пролетающей частицей. Мы видели при рассмотрении далеких коэффициентов Фурье, что эти матричные элементы экспоненциально малы. Как будет показано, во многих случаях матричный элемент определяется поведением Ч"„ Ч'а вблизи особой точки потенциала в комплексной плоскости х.
Вблизи этой особой точки квази- классическое приближение неприменимо, и для получения количественного реаультата требуется сшить точное решение вблизи особой точки с квазиклассическим вдали, и только после этого применять метод перевала, которым мы будем няя1е пользоваться. Однако такое уточнение повлияет лип1ь на численный множитель в предэкспоненциальном выражении. Показатель экспоненты и порядок величины предэкспоненциального множителя могут быть найдены и с помощью квазиклассического приближения. С аналогичным обстоятельством мы столкнемся ниже в задаче о надбарьерном отрая1ении, 138 ГЛ. 3.
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Итак, воаьмем функции Ч'„Ч', в квазиклассическом приближении и постараемся испольэовать метод перевала (ЛанДаУ, А932). БУДем считать фУнкЦии Ч'м Ч'э вещественными и нормированными на единичную амплитуду при х — а.'со х Ч'нэ = ф' .„"„соз ( ~ йь,ал "). Точка х = аьз соответствует условию Еьэ — — Уьэ. Разобьем функцию Ч", на два комплексно сопряженных слагаемых Чг,', соответствующих асимптотическим выражениям Ч'~ е'э', Ч'т е ьэс Матричный элемент 1 определится как сумма интегралов 1+ + 1 .
Если Е, ) Е„то при вычислении 1+ можно деформировать контур в верхнюю полуплоскость, а при вычислении à — в нижнюю. Действительно, при х -+ ~$ функция ехр й, -1-ехр ( — )! 2ЕД), тогда как растущее слагаемое в Ч', содержит ехр ~ 2ЕД. Найдем интеграл 1+. Как мы видели на стр. 128 в верхней полуплоскости имеем а~ Ч"д — — — ~/ и ' ехр~ )12(У1 — Е1)дх, а а, ла Ч'а =- — 1Х вЂ” '„, ехР ( — ~ У2 (Р'э — Е,) дх) . При вещественном х берется положительный знак корней.
Выражение для 1а принимает вид ч' 0' — ла) (г~ — л) где Ф(з) = ~ 'у' 2(а', — Е,) сЬ вЂ” ~ ')/2(а"а — Е,)~Ь. г а Для применения метода перевала следует найти ближайшуго к вещественной оси стационарную точку (точка экстремума показателя экспоненты) и затем провести че- К ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА рез нее кривую постоянной мнимой части показателя экспоненты. Вдоль этой кривой, как это легко видеть из соотношений Коши, вещественная часть показателя убывает в обе стороны от стационарной точки. Следует убедиться, что контур интегрирования можно совместить с кривой постоянной мнимой части, не задевая особых точек (в противном случае придется добавить еще интегралы по петлям, обходящим особые точки). После такой деформации контура значение интеграла определяется областью интегрирования, прилегающей к стационарной точке, и в простейшем случае сводится к Гауссовому интегралу.
АЬЭ Стационарная точка определяется соотношением — = 0 Ыл или Р'Р, — Е, = У'Рз — Е, Предположим, что обе Ч"-функции соответствуют двигкению в одном и том же потенциале Г, = $а = р. Тогда стационарная точкг г совпадает с точкой, где У (гь) = оо.
Благодаря этому обстоятельству процедура применения метода перевала несколько изменяется. Предположим, что х, есть полюс $', т. е. У = А/(г — г,). Показатель акспом ненты вблизи стационарной точки имеет вид 1 Ф(х) = Ф (з„) — )~2 ~ ()ГУ вЂ” Е, — ~/ У вЂ” Ез ) дз Точка г = ва является точкой ветвления функции Ф (г). Чтобы сделать Ф (г) однозначной, проведем разрез от А = ге До г == 1 со.
ПРи Е1 ~~ Ез фУнкЦиЯ Ф (А) имеет отрицательную вещественную часть и ехр Ф экспоненциально убывает при 1ш г -~- ео. При болыпих ц Ф (г) — ~-1 (г' 2Ег — 'г' 2Е,) г н начало и конец кривой 1га Ф = соаэь идут параллельно мнимой оси. В точке г = г, кривая постоянной мнимой части имеет излом. Действительно, рассмотрим сначала случай, когда вычет А — положительное число (например. для кулонов- ского потенциала, когда А = 2). Пусть Е, ~ Е, тогда 140 гл. 3.
кВАзиклАссическое пвиилижеиие кривая постоянной мнимой части Ф (г) вблизи га определяется требованием отрицательности величины (з — з )'ь = ме 2я =рч е', атвудами=~ Заметим, что при А ) О углы следует отсчитывать от линии, на которой (г — ва) вещественно и положительно, поскольку р' г — Е по определению положителен при вещественном и положительном г' — Е. Примерный ход кривой 1ш [Ф (г) — Ф (х,)1 = О дается на рис. 28, а). Жирная линия иаображает разрез. Когда Я Я Рлс.
28, у' А — комплексное число, кривая вблизи хэ поворачива- га ется. Так, например, для потенциала У = 1+, вычет го А = 2 и, как нетрудно видеть, кривая вблизи гэ поворачивается вокруг точки г на угол — я/6. Для пояснения метода перевала применительно к рассматриваемому случаю заметим следующее.
разумеется, интеграл по кривой постоянной мнимой части совпадает с интегралом по контуру рис. 28, б), поскольку один контур можно деформировать в другой, не задевая особых точек. Однако интеграл по атому контуру не определяется окрестностью точки х, и поэтому не может быть вычислен в общем случае. Действительно, на правом берегу разреза ф= я/2 и(г — ва) ' = р ь (соз — + 2 зш — ~ . Поскольку ве- 4 щественная часть показателя отрицательна, интеграл определяется окрестностью точки г.
Однако на левом 1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 141 3 беРегУ ау = — — ', и и (г — го)'* = Рч* ~сов — — 1зш — ), ве- 2 4 41' щественная часть показателя положительна и интеграл определяется поведением Ф (г) вдали от точки го. Интересующий нас интеграл 1а определяется окрестностью точки го и может быть записан в виде лова Е ч. 1+= ео11о11(го) ~ дг(г — го) ь х 4УА к~1 + '4,1 ' (г га)~~4 + ~д ) (г га)~ехраа(г го)**, 2 где х =- — (Е, — Е,). ЗУ2А Мы использовали первые два члена разложения подинтегрального выраяоения вблизи го. Интегрирование по кривой постоянной мнимой части вблизи го соответствует замене г — го = ре'о н г — го — — ре'"" до и после 2х 2л излома, где фг — — — ф, фо = †. Первый член в квадратной скобке подвптегрального выражения, как легко видеть, выпадает (соответствующие интегралы до и после излома в точности сокращаются).
Получаем О 1 = — е ~"~1(го)~ — '+~ — — ) ~'~ е о 'р'Ядр, + ~/яыуо ,Р, ГИ -(- да ы1 1 т 1~ еь , 4 уА 4А ог1 о ч 1+ 1 1 К й ~йа + Ло+ 1Ы! 1 ) ) 1а(го)еф(ое 4А 1лг ~ /а,) (Е! — Ьа) ' Аналогично вычисляется 1, соответствующий контур интегрирования лежит теперь в нижней полуплоскости. Если 1(х) вещественна, то 1 = (1+)* и, следовательно, 1 = 2йе1+. Критерий применимости полученного выражения определяется из условия малости следующих членов разложения Ф по г — г,.
Найдем Ф (го) для двух случаев: для случая кулонов- 2 ского потенциала г'О = — и для потенциала вида 1*! $42 ГЛ. 3. КВАЭИКЛАССИЧЕСКИЕ ПРИВЛИ>КЕНИЕ При ааэ -«. Со потенциал Ув переходит в прямоугольный барьер высоты Уэ и ширины 2а. а Вычислим сначала величину Ф, = ~ 'у' 2 (У вЂ” Е) дг. «« Введем переменную $ = Е~У. Тогда Фг зашппется в виде Ф, = ~/2Е~ У7 — "э — — ~ а В случае кулоновского потенциала имеем га = О, $ = 1-" я7 /1 ' $~ =: г, Ф,= — ' и, следовательно, Ф(0) = — ИЯ ( — — — ) . У2к Ю«Ю! В случае потенп;зала Уя ближайшая к вещественной оси особая точка в верхней полуплоскости есть полюс, который определяется условием «(«1-ач Е = Ет1«. Предполагая, что аа«)) 1, получаем 1Я э =+а+ — ' — 2«о ' Как мы увидим, наибольший вклад внесет полюс 1Я ээ = а + — .
Вблизи этого полюса переменная $ связана 2«« с г соотношением $ = $ (1 + еы'- 1), где $а =- —,, 'р = 2ам. и Для Ф, получаем /1 Для вычисления этого интеграла обозначим "у — — 1 = У 2 = 2 и предположим, что Ца > 1. Имеем 1. ОДНОЫВРНАЯ ЗАДАЧА 143 Перейдем к интегрированию от — оо до + оо и сдвинем контур в верхшою полуплоскость. Интеграл сво- 1 дится ксуммевычетов в полюсах 8, = 1и11 =-11, 1 — —. Цо Находим 1=я()/ 1 1 «) откуда получаем Ф, при зэ ) 1 (Е ) «э) Ф1 = ", ДГЕ К, — у'Е). К случаю Гэ ) Е следует переходить, двигаясь по окружности вокруг точки Е = Рэ в верхней полуплоскости, т.
е. заменяя Š— Рэ на ~ Š— Рэ ~ е"*. Поэтому при Е «- Рэ находим Ф = — — фЕ + — у'У вЂ” Е. яУ2 — 1я р2 — р о Когда оба состояния Ч"„Ч", имеют энергию, меньшую чем высота барьера (Е„Еэ (Г,), Ф (г,) равно Ф(зо) = = — — р — ('г' Š— 'г' Еэ) + р (У Ио — Е1 — )' С вЂ” Еэ). лу2 — — 1я У2 Существенно, что в отличие от кулоновского случая зкспоненциальная малость матричного элемента определяется не проницаемостью всего барьера, а проницаемостью узкого переходного слоя шириной — 1ф.
При ~« -~ оо особая точка переходит на вещественную ось и матричный элемент содержит только степенные члены (нет экспоненциальной малости). Прохождение через барьер. Возможны две постановки задачи о прохов1дении частицы через потенциальный барьер. Одна из них соответствует случаю, когда на потенциальный барьер падает стационарный поток частиц. Требуется найти амплитуды проходящей и отраженной волн. Физическим примером может служить задача о холодной эмиссии электронов металла под действием приложенного к металлу электрического поля. Возникает стационарный поток электронов, проходящих через потенциальный барьер (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
