1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1 и Х вЂ” оо Л оо Так как Л = совМ, можно вычислить Л при х — Р оо. Функция Ч', — «е"~, а функция Ч"з в силу малого коэффициента отражения приближенно стремится к е-мо мх Отсюда ) Л ) = 2йю Таким образом, козффпцнент отражения Е = ~ — ~ Ч",~о(х~ = ~ — ~ Ч",~дх~ . (3.24) Заметим, что в (3.24) не испольауется квазиклассическое приближение. Если У ~Е, то из (3.24) получается обычная формула теории возмущений. Дойствительно„величина ~ 1/ Ао) У'Ао = — ='й'. Так как й =- У 2(Š— У), то й' = — У'(й, сле- ДГА Интегрируя дважды по частям, получим выражение для коаффициента отражения, совпадающее с тем, что получается по теории возмущений: о Š— ~ ~ Уео1иох3х ~ Величина Е определяется поведением Ч",~ в окрестности ближайшей к вещественной оси особой точки.
Показатель акспоненты в Е определяется расстоянием атой особой точки до вещественной оси. Для нахождения ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧГСКОВ ПРИВЛИЖКИИК 1йз предэкспоненциального множителя необходимо использовать точное решение для Ч" вблизи особой точки ") аналогично тому, как это делалось при сшивке квази- классических волнокых функций (см. также замечание на стр.
96). З. 'ГРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА Центрально-симметричное поле. Рассмотрим квааиклассическое движение в центрально-симметричном поле. Переменные 6, ~р в этом случае отделяются от переменной гт ч„,„= л., (.)у,„(е, р). Рассмотрим сначала радиальную часть волновой функции. Введем функцию и„, (г) = гЛ„, (т). Из ограниченности Л„, (г) при г = 0 следует, что и„, (0) = О.
Для иоь как известно, получается одномерное уравнение а и„1+к си„, =О, где )с'„, = 2 (э~к — 'т'(г)— Условие и„, (0) = 0 соответствует в одномерной задаче бесконечной потенциальной стенке в начале координат. При увеличении (и заданном У(г) яма на рис. 32, б становится все мельче и в конце концов исчезает, т. е. при достаточно большом 1 система не будет обладать дискретными уровнями. Значениям з„, > 0 соответствует сплошной спектр. Модификация центробежного потенциала. Покажем, что при использовании квазиклассического приближения в центробежном потенциале следует произвести замену 1(1+ 1)-т (1+ "/т)т (поправка Лангера).
Рассмотрим область вблизи начала координат. В этой области существен лишь центробежный потенциал и, следовательно, Й— Р ) ()+1) Ы). 1 . Тогда —— , ПринеГ ) ( ( ) + 1 ) ° ) В.Л. Покровский, Я.М. Халатников, ЖЭТФ 40, 1719 (1961). 153 Х ТРЕХМВРНАЯ ЗАДАЧА больших 1 — — 1, т. е. условие квазиклассичности не вы- ПА ' и'г полняется вблизи начала координат.
Покажем, как получить решение, пригодное вблизи начала координат при любых 1. Для этого в уравнении Н1редннгера произведем замену независимой переменной х г = е * и функции и = ше '. Уравнение приобретает вид: — + 2 ~~(з„, — У) е е" — "" 1ш = О. рп г — О+ '/е)е1 Точка г = О переходит в х = ао. Условие квазнклассич- ности прн х — ~ оо выглядит так: 2 (е„— 'х') е ех — О + х/е)х Итак, — „<-1 независимо от величины 1. Ксли теперь П'"А в терминах переменной х сформулировать правило кван- тования Бора, а затем преобразовать его к переменной г, то оно приобретет обычный вид, с той разницей, что те() +1/е)е перь рпае = г'+ —,, После такой замены в задаче определения энергети- ческих уровней из правила квантования Бора критерий применимости квазпклассического метода состоит лишь в условии п„)~1 (т.
е. радиальная функция должна иметь много узлов), а требовапня1)) 1 нет. Разумеется, при 1 = О такой поправки добавлять не следует. Уровни энергии в кулоновском поле. Найдем уровни энергии в кулоновском поле. Условие квантования имеет вид (при 1 ~ О, ряс. 32, б) ххххх (Я ( ~~ ( + /х) / "1 (и ( 1) Чп!п ЗДЕСЬ Лх РаДИаЛЬНОЕ Квантоэоо ЧИСЛО Гпап~ Г~пах квазиклассические точки поворота.
Мы заменили в центробежном потенциале.' 1 (1 + 1) -э (1 + г/е)е. а Интеграл 154 Гл. 3. КВАзиклхссяческое нгивлизкение в левой части приведенного выше условия равен г~ (, 1)„ Следовательно, тт Е а 3 И г где и = п„+ 1 + 1 — главное квантовое число. При 1 = О (рис. 32, а) левая точка поворота г„,„= О и совпадает с особой точкой уравнения, т. е.
в области У~от я 1 З м Ряс. 32. левой точки поворота потенциал нельзя заменить прямой линией, как мы делали выше. Поэтому условие сшивки на левом кразо изменится. Для нахоя~дения энергетических уровней при 1 = О нуяшо найти точное решение вблизи особой точки и сшить его с квазиклассическим решением вдали от нее. Для больших квантовых чисел (т. е. энергий, близких к нулю) волновая функция в кулоновском поле с 1 = О имеет вид ") Н„е = а,Я"= ,В.Г1 (У знт) У"Ет где ат — нормировочный коэффициент.
При г >) 1/Я отсюда находим ( У 8Я. — а(.к) В„а= а, тя е) Л.Д. Ландау, Е.М, Лифшиц, Квантовая механика, Физматтзз, 1963, стр. 153. 2. твихмкгИАЯ ЗАДАЧА С другой стороны, для Лоо можно написать квази- классическое решение соо ~ ( рг Нг — Сгя ~ о соо ( ггЫг — Сш) рг Таким образом, здесь появляется фаза С,я =- о/оп вместо '/о я в обычном случае. Функция Л, может быть также записана в виде гмоз соо ( ) р сг — я/4) Л о=по ° УК Здесь г„,„ — правая точка поворота.
Из условия однозначности; так же как и в 3.1, получаем правило квантования гшо с р„й = (и, + 1) я = пя, о где и — главное квантовое число. 13ычисление интеграла дает л Е:=- —.—. Зао Как мы видим, в этом случае квазпклассическое приблилсение (так ясе как и в случае осциллятора) дает точные уровни энергий.
Квазиклассическое представление сферических функций. Для вычисления матричных элементов физических зелнчип при больших угловых моментах 1 удобно использовать квазиклассическое представление для сферической функции: Ъ"оо (О, ~р) = — Р, (соз О) сьог. 1гЫ Здесь Р, (х) — присоединенный полипом Леокапдра, удовлетворяющий уравнению 156 вл. з. квлзикльссичкскок пгивлижкник Введем функцию б, (х): 1 (х) = гг1 ~, б„„(х). Тогда для б, (х) имеем (1 — хз) ()эо (х) + [Е (Е + 1) — —,~ 1), (х) = О. Решение этого уравнения с точностью порядка 1/Ез может быть найдено в квазиклассическом виде х б~ (х) = г й соз ( ) й дх — †), где йз(х) =,— '..
[(Е+-,')'-)="— '.-,1 В точках х,, з величина й (х) обращается в нуль, т. е. тз хь, =.+ у ((Е ЕЕ ь/,,)х' Мы заменили здесь Е (Е + 1) -~(Е + /з)з, имея в виду, что квазиклассическое приближение применимо с точ- ностью до 1/Ех, а не 1/Е (см. стр. 131). Коэффициент а определяется из условия нормировки присоединенных полиномов Лежандра: 1 ) Р~~ (х)г/х= 1, — 1 т. е. ха хй — ~~ — — =1= — — —" й Е. азГ 1 Лх хз 1 д Г 2 )1 — хзх 2 1 дез х1 '+2 х хд Вычислим ) йЫх: х1 [(+-) -=1 х-(-~-~+-)' (3.25) к тзвхмвзнля злдлчл Этот результат следовало ожидать, так как число узлов Р1,„(х), как известно, равно 1 — ) т ~.
Из (3.25) находим д (й,(х я д1 х, Следовательно, 21+ 1 ав = —. Окончательно имеем Ро„(х) = ~/ =соз (~ йах — — ), /21+1 1 1 к У1 — *' УЧ 4 х, где Квазиклассическое представление сферических функций позволяет приближенно вычислять суммы вида 1,(О) = ~ )У„„(О, ~р)(вФ(т). юл=в Действительно, используя условие квантования (3.25) и заменяя суммирование интегрированием, получаем (1+Чв( вм в( ( 1+ив ( ВР)дт 2кв 2 / ввв — К+"О(м"в( (1+Ов)в(ае У 1 — (1+О)вз(авО 1 + ~' ( = Ф [1 (1 + '/в) зш О). -1 В частности, для Ф (т) = 1, т', тв находим 1 Х~у ~'= — '( = + 2лв З у'1 Н 4я оФ вЂ” [ -1 1 — 1 зш'О (1+ Ов)в Гл.
3. кзлзиклассическое пРКБлижен ив и п~= — 1 — 1 16я кроме того — 1 Рекомендуем читателю с помощью этих формул вычислить уровни деформированного ядра (см. 2.2). Распределение Томаса — Ферми з атоме. Для потенциальной энергии У электрона можно написать следующее электростатическое уравнение: ЛУ = — 4пр, (3.26) где р — плотность электронов в данной точке. Это уравнение — приближенное, так как на самом деле имеем многочастичную задачу — ядро и Я электронов, и потенциал з Е 1 1 У (Г, 1 1) = — — +,~~ г, (Р— 1.) 1=1 1 есть оператор, а не число, т. е. У зависит от электронных координат, в то время как р, очевидно, нет.
Следовательно, потенциал в (3.26) есть зеачение истинного потенциала, усредненное по двин1ению электронов. Поскольку частиц много, то отклонения У (г,г1) от У1(г) будут в среднеи малы (хотя формально У (1, т1) может принимать любые значения). Уравнение Б?редингера с таким усредненным потенциалом имеет вид ЛЧ' + 2 (Š— У) Ч' = О, (3.27) причем потенциал У можно считать сферически-симметричным (сферическая симметрия может нарушаться лишь за счет наружных электронов или незаполненных обои (г) лочек).
Тогда Чг 1 = —" У, Плотность электронов равна = Х~ .-~*= Х вЂ” "; )У.~э жив ы~» 159 х тгвхмвгная ЗАдачА Суммирование по т с учетом соотношения Х (У,.) =' —",„' юи — 1 приводит к выражению "~а (г) 21+ 1 р(г) = 2,Я вЂ” ", (3.29) В квазиклассическом приближении радиальная волновая функция имеет вид и„,(г) = — "' соз (1 й„,дг — — "), (3.30) где й,о(г) = 2(Е„,— У(г) — — 2-; — ), а„~,— — — — ". 3 (1+ '1й]~ 2 дЕы Уровни энергии Еш находятся из правила квантования Бора и й ~ оГ (И+ 2 ) (3.31) При 1 = 0 вместо и + '/з в отношении (3.3() нужно написать н (см.
стр. 155). Из (3.29) и (3.30) получаем а2 г р(г) =- —,~ — „", (21+1)соз'- (~ й„,дг — — ). (3.32) ы ), От суммирования по и в (3.33) перейдем к интегрированию В квазикласснческом приближении можно заменить среднее значение квадрата косинуса на '/,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
