1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Из (3.32) имеем 1 к~ дпы 21+ 1 1 (З.ЗЗ) 460 Гл. 3. кВАзиклАссичГское пэивлижкние при фиксированном а; так как дяа д~а~ д (' ' ') ~ д о Е э пап Где Е, м = И (при Е > У, волновая функция имеет вид соз (') Й Й вЂ” — ), а при Е ( У~ она затухает экспоненциальчо и вкладом этой' части в р (г) можно пренебречь).
Поэтому выражение (3.33) можно записать в виде р(г) = — „5,' 4 — ~г — 2)го (3.34) 1 / 4 Ъ| ог1 21+1 Так как )г, = )г + — (1 + †, ), то 2 †' = †, так что 2га( 27 ' сП га (3.34) принимает вид р(г) = —,,Я вЂ” ')à — 2У, = —,~фг — 2У,3)г,— Г ьаах ( 2К,)' ) . (3.35) У Ьа~а $'ьжа соответствует ~ = О, )г,,„= К. Величина Р'ь, „(г) = О. Для состояний с ббльшими а точка г находится в классически недоступной области, и такие состояния вносят экспоненциально малый вклад в плотность в точке г (рис. 33). Итак, (3.36) р(г) 3 Обозначая — аг =— ф, запишем уравнение Пуассона (3.26) с учетом (3.36) в следующем виде: Ьф = 4яр = —. фч* ='Сфч*, з )/2 (3.37) 1эт и тРехмеРнАя ЗАдАчА где С вЂ” 8)/2/Зя.
Это — так называемое уравнение Томаса — Ферми. Ксли г -~ О, то»р -+. Я/г — потенциал ядра. Целесообразно заменить ~р (и) = ЯХ(г)/г с граничным;условием К (0) = 1. В сферических ! '»(»' »'» координатах т ии т и» ьр= — „,( р) = — „„— „(гх) (3.38) следовательно, из (3.37) имеем зч» Х" (г) .=- С вЂ”,. Х"ь (3.39) »ч Введем новую переменную х = аЕ'"г (а выберем позже) с целью получить универсальное уравнение для функции у.
Тогда из (3.39) находим них 1 или )»'й х( ) = о, х (о) =-1. (3 40) Уравнение (3.40) решается численно (в 1 1 дано приближенное его решение). Решение его определяет распределение плотности электронов. Характерный радиус этого распределения в безразмерных единицах х — 1, следо- » 3,— вательно, в обычных единицах ат.э — аи/Р г». На этом расстоянии находится большинство электронов. Полученный результат совпадает с приближенной оценкой, приведенной на стр. 37. Уравнение (3.40) справедливо в той области атома, где применимо квазиклассическое приблиясение.
Е А. Б. Мигдил Рвс. ЗЗ. аи2*'Х» = Сг'* —,а"гч '* /3 Р21' или, если выбрать а,~ = С т. е. и= ( — (, то окончательно находим 162 гл. 3. кВАзиклАссическое привли(кение ЗАДАЧА В каком интервале г применимо распределение Томаса — Ферми? О т в е т. гоп 1(2, гспаа 1. Оценки ядерных матричных элементов. В теории ядра часто приходится вычислять различные суммы матричных элементов. Рассмотрим, какие матричные элементы вносят наиболыпий вклад в такие суммы. Пусть (,( (г) — величина, заметно изменяющаяся на расстояниях порядка радиуса ядра.
Оценим квазиклассически матричный элемент Пмх, = ((рх,У(рл,), где (рл— волновая функция нуклона в самосогласованном поле, создаваемом всеми остальными нуклонами ядра, Х— совокупность квантовых чисел, описывающих состояние нуклона. 1'ассмотрим сначала сферическое ядро. Тогда Х =— = л, у, 1, л(, где и — радиальное, ( — орбитальное и (я — магнитное квантовые числа, у =- 1 +. 1/2.
Покая(ем, что соседние уровни в сферическом ядре не комбинируют между собой, т. е. дают малое значение матричного элемента 6'Ыа,. Предварительно оценим расстояние между соседними уровнями. В деформированном ядре уровни с различными проекциями момента на ось симметрии расщеплены, поэтому если А — число нуклонов в ядре, а ер — энергия Ферми, т. е. энергетическое расстояние от дна самосогласованной ямы до места заполнения последних нуклонов, то среднее расстояние между одночастнчными уровнями имеет порядок ер/А.
Величина ер не зависит от А с той же точностью, с какой постоянна плотность и ядерного вещества. Действительно, в системе, которая удерживается силами, действующими в(ежду ее частицами, радиус действия сил и среднее расстояние между частицами имеют одинаковый порядок величины. Поэтому все величины, характеризующие ядро, можно выразить с помощью размерных оценок друг через друга.
В частности, ер — и"* (М = Ъ = 1). В сферическом ядре существует выроя(дение по проекции углового момента с кратностью порядка величины Углового момента 1 — Рра(?, гДе 3? — РаДиУс ЯДРа, а Рр— импульс нуклона на границе Ферми. Так как )? = гпАт, где г„— величина порядка среднего расстояния между 163 2 тркхмагипя злдачА нуклонамп, то рр/1 =- рргпА' — Ач . Следовательно, среднее расстояпио между блп;кайшвми уровнями сферического ядра имеет порядок величипы ек/Ач. Оценим сначала расстояние между уровнями, отличающимися лишь радиальными квантовыми числами и, причем бп — 1. Для этого продифференцируом по и условие квантования Бора ) р,.г/г л, где р„— радиальпььй иьшульс. Получаем !. дрп ! дрп деп, деьп ! д„деп, 11 'дд ==!де„! д д 1 д д.
где е, — уровеп| энергии а э =- †. †скорос нуклопа. и др т Ото!ода деьп и дьь и "ь. А' 1' Оценим теперь расстояние между уровнями, отличающимися лишь орбитальными квантовыми числами 1, причем б1 — '1. Для этого продифференцируем по 1 соотношение (1+ ь,'п)е1 ) р,ь/г — л, учитывая, что р„== $/ 2 ~еп! — 1г(г)— йге Здесь 1ь (и) — потенциальная энергия нуклока. Получаем: т. е. я а "тьп "ьп!п где г,пьп находится из условия р, =- О, т. е.
гпып — 1/рг. к дг В интеграле ~ — существенна вся область иктегриро"пни вания, поэтому мы его оцениваем как Л/э. В интегя пг рале же ~ „и основной вклад вносится областью етьп Год гл. е. квезикллссичкскок пгнвлижкник вблизи г,ые, поэтому его оценка 1/г,ше рг — 1/Е Итак, дее~ ее г де„, ч — — — / — =1, т. е. —" — е /А". ш ~ ' ш Таким образом, мы получили, что дЕел дЕЫ вЂ” — — — е.А *. де д1 Поэтому уровень сферического ядра, ближайший к данному (т. е. отстоящий от него на расстояние зг/АЧ1), получается, как правило, за счет больших изменений бн и б/, так чтобы величина де„~ де,е беы = —" Ьп+ — 'б/ е де д1 была минимальна.
Для этого нужно выбрать Ьл, 6/ — А"*. Следовательно, ближайшие уровни сферического ядра, как правило, сильно отличаются по числу узлов радиальной и угловой частей волновой функции,а потому дают малое значение матричного элемента Ул,л,.
Состояния с энергиями ) зл, — ел. ~ )~ ег/А'/' также дают малое значение выем так как фУнкции едл, и ~дл, сильно различаются по числу узлов. Итак, матричный элемент бе>.,ы заметно отличен от нуля для Х, = Х~ (если он при этом не равен строго нулю из-аа правил отбора) и для ( ем — еы ( — еяА 'ь, когда числа узлов функций ~д,, и рл, мало рааличаются.
Все сказанное выше о комбинирующих уровнях остается в силе и для деформированного ядра, если оператор У меняет квантовые числа и и /. Если же У меняет лишь магнитное квантовое число т (например, оператор углового момента), то комбинируют уровни с соседними и, принадлежащие одному мультиплету и/.
Оценим расстояние между ними. Выше (см. стр. 84) было показано, что в первом порядке теории возмущений расщепление уровней определяется соотношением те е„, =- е„, + е„,(3 ( — „— —. ), х твнхмнэнля задача 165 где р — величина деформации. Следовательно, ~сам т — -з.4 — — з М дм % и Ф т. е. в этом случае могут комбинировать и близкие уровни (прн малых р). Е!ецсптральный потегщпал. Рассмотрим более общий случай, когда нерезанные не разделяются, и построим в этом случае квазпклассическое решение.
Ищем решение уравнения пт + й'Ч' =- О в виде Ч' = Ае'з. Тогда ЛА + 217АЧЯ вЂ” А (Ч,У)з + 1АЛЯ + йзА = О. (3.41) Отделяя действительную и мнимую части, иа (3.4$) получаем два уравнения ЛА + й'А = А (Чо)з (3.42) 27АЧо + АЛо = — О. (3.43) Уравнение (3.43) означает закон сохранения частиц. Действительно, у 2 ( — —,, (Ае-'з7 (Ле'з) — Ае™ Ч(Ае-ш)) = А%Я 1 з~ и г)1ч у =- 7 (А'Чо) = А'ЛЯ + 27АЧо А = О.
Следовательно, вдоль линии тока у~Ып~ — — узам (3.44) где Нп, и Йгз — нормальные элементы площади трубки тока (рис. 34). Если ЛА/А ( И, то пз (3.42) следует уравнение Гамильтона— Якоби для действия Б: 2 (Š— Р (1)! = (75)~. (3,45) Рпс. 54. Квазпклассическая задача рассеяния. Построим ква- зиклассическую волновую функцию для задачи рассея- 16С ГЛ.
3. КБАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ния. Предварительно заметим, что уравнение (3.45) содержит не одно решение: в любую точку в + со, куда устремля|отся частицы после рассеяния, частица может 2 прийти по меныпей мере двумя путями. Это изображено на рис. 1 35. Здесь Е и 0 — две точки фронта плоской падающей волны. Поэтому па основе принципа Рвс. 35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
