1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Это означает, что мы рассматриваем аналитическое продолжение амплитуды в нефизическую область углов соз О-+ со и требуем аналитичности в этой области. Это требование эквивалентно аналитичности по рэ при фиксированном дэ, которая легко может быть доказана для достаточно быстро убывающих потенциалов и особенно очевидна в борновском приближении, когда ~ вообще не зависит от р' при заданном 92.
При фиксированноманачении рр' и при р -+. О функция ~ не имеет особенности по р только при Поэтому, если нет физических причин для обращения д, в ноль, то при малых р амплитуда ~, пропорциональна Рз'. Здесь о, — Л2'"2, где Н вЂ” характерная длина потенциала. 199 гл. з АнАлитические свойстВА Физических Величин Фаза рассеяния 6, связана с ~, известным соотношением *) ( ' — 1) 2~р При малых р отсюда находим: 6, р"+'.
Рассеяние иа потенциальной яме. В качестве примера, иллюстрирующего аналитические свойства амплитуды рассеяния, рассмотрим рассеяние частицы с малой энергией на потенциальной яме. Предположим, что яма имеет достаточно резкий край. Обозначим через Л эффективный размер ямы. Будем рассматривать столь малые энергии Е налетающей частицы, что выполняется условие рЕ< 1, где р = )12Е. Как мы только что убедились, при выполнении этого условия существенно лишь Я-рассеяние. Вне ямы функция и (г) = гЧ~ (г) имеет вид, совпадающий со своим асимптотическнм выражением и(г) = — р + 1ое'Р". Р При г Е имеем: и (г) = г + 1о (1 + 1рг). Обозначим логарифмическую производную волновой функции внутри ямы при г Е через яо (Е).
Сшивая логарифмические производные внутренней и внешней волновой функции, находим: 1+ зр1з 1з откуда 1 1о =- ю (тт) —;р Этот результат представляет собой другой вывод формулы (4.16). Характер 4о (Е) можно увидеть на примере прямоугольной ямы. Обозначим глубину ямы через 11о. Тогда внутри ямы и(г) = Аз!и/зг, где 1з = 'г'2 (Уз+ Е). з) Л.Д.
Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика, чтизматгиз, 1963; стр. 547. и АНАлитичкскик сВОЙстВА Амплитуды РАссвяиия 191 Следовательно, //е (Е) = /. с1д йП Выражение, стоящее в правой части последнего ра- венства, разлагается в ряд по целым степеням малой ве- личины Е/(/е. Таким образом, де (Е) — действительно аналитическая функция энергии Е. Если внутри ямы имеется связанное состояние с энер- гией — Е„то волновая функция вне ямы имеет вид: и (г) = Ве Уеь'к.
Сшивая логарифмические производные, как это делалось выше, находим: яе ( — Е,) =- — )/2Ее св == — ке. Если энергии Е и Е, малы по сравнению с б"е, то можно утверждать, что де (Е) = де ( — Ее) = — ке, и мы получаем снова результат (4.18). Малость ле (Е) = /е сьп йВ достигается, когда /еВ= = и/2. Получаем известное условие появления связан- ного уровня в прямоугольной яме: //е ) пе/8В'. Лпалогичкых1 способом можно рассмотреть случай ямы с барьером е). Результат имеет впд 1 — ч — + в, Здесь а — В,е ', причем $ = 2 ) '1/ 2(У вЂ” Е) й' — пока- и, ватель проницаемости барьера, а В, и В, — классиче- ские точки поворота.
Аналитические свойства волновой функции. Согласня теореме Пуанка е особые точки ф- ференцнального уравнения могут быть только в особых ФФ уг * .нг р, и *рб р рр пр, р не имеет особых точен в конечной области пространства. Поэтому и решение уравнения Шредингера может иметь особую точку только на бесконечности. То же справедливо для трехмерного случая (У = ееге). Например, волновая функция основного состояния Ч' ехр ( — 1/2и ге).
Рассмотрим аналитические свойства волновой функции Ч' (и) по переменкой г для частицы, движущейся в произ- ") А. Б. Ы и г л е л, А. Ы. П е р е н е и е е, В. С. П о и о н, ЯФ 14, 920 (1971). 192 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН вольном сферически-симметричном потенциале с орбитальным моментом, равным нулю. В системе нет выделенного направления, следовательно, функция Ч' аналитична по переменной гз. Волновая функция может иметь особенности только в тех точках, где имеет особенность потенциал как функция гз. Однако особые точки коэффициентов могут и не быть особыми точками решения.
Например, в уравнении и~ + 2 (с — )г~) и, = О, где $', = Р + 1 (1 + 1)/2г', точка г = О является особой точкой коэффициента уравнения. Пусть при малых г можно пренебречь величиной )г по сравнению с 1 (/ + 1)/гз. Тогда радиальное уравнение Шредингера приобретает вид — г'и~ + /(/+ 1) и1 — — О, откуда и, ггп или и,— г-'.Итак, существует решение и~ ° гы', регулярное в точке г = О. Кулоновский потенциал )г = я/г = я/ "Гг хз + уз + зз при фиксированных у и з имеет корневую точку ветвления по переменной х. Следовательно, в той же точке может иметь особенность волновая функция. Например, для основного состояния частицы, как известно, ч -.*р ~ — уэ~7 з Р~.
В частности, начало координат является особой точкой. Мы видели (стр. 55), что эта особенность кулоновских волновых функций определяет характер энергетической зависимости сечения фотоэффекта. В дальнейшем мы еще вернемся к свойствам аналитичности Ч'-функции, но не как функции г, а как функции энергии. Одночастичные функции сплошного спектра при малой энергии. Получим удобное для дальнейших вычислений выраясение для функций сплошного спектра с малой энергией ер. При расчете матричных элементов обычно входят функции на расстояниях порядка радиуса Л потенциальной ямы.
Покажем, что если рЛ((1, то волновая функ-- ция д (г) может быть записана как произведение мно- 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 193 жителя, зависящего только от р, на функцию <рс(п), удовлетворяющую уравнению Шредингера с )з = О. Действительно, оценка Л~рз есть Сирс трз/т(з, н поэтому в уравнении для трр (Р) Ьрр(т)+ 2(ср — Р')трр(Р) = О величиной ер — — рз/2 при условии ргт <'=1 можно пренебречь. Итак, будем изображать ур в виде *) (Рр (т') = Х (Р) Фз (Р).
(4.19) Для простоты ограничимся сферически-симметричными состояниями. В качестве трс выберем решение уравнения Шредингера, конечное в нуле и удовлетноряющее на бесконечности условию 'ре(т') = 1 и При знергии свяаи ез, стремящейся к нулю, функция отличается только нормировочным множителем от функции связанного состояния. Для двух частиц одинаковой массы (например, для случая дейтона) легко получить ,'РМм <рс = а~р„где а =— )Рзи Функции д (т) будем предполагать нормированными на интервал г(рз. Тогда вне ямы сферическая1 часть фр (т) имеет вид: ',„(,) з(п (рг (- 6и (РВ рг Как мы видели выше, прн малых р сферическая парциальная амплитуда рассеяния ~с имеет полюс в точке р = (х (х ) О для реального уровня и х ~ О для виртуального).
ВЧ окрестности етого полюса резонансно ° ) Аналогичное свойство функций сплошного спектра Или энергий, близкпт к знергип квззистзциопзрного уровня, использовано в работе В. М. Г з л и ц к о г о, В. Ф. Чельцова ((Чпс1. РЬуз. 56, 86 (1964)); си. также сноску из стр. 191. 7 А. Б. Мигиил $94 гл 4. АнАлитические сВоистВА Физических Величин возрастает н фаза б, (р), связанная с /о соотношением: /~о/ — !В1пб(рИ. Следовательно, имеется широкая область В ( г <- ((1/р, где б, (р) ':-.ь рг; таким образом, имеем: н, = — з(п бо (р), Р тогда как гТо в атой области в силУ ноРмиРовочного Условия равно 1. Поэтому, используя (4.17), находим: (Х(р) !' = — о з(п'бо (р) = (/о )' = „„, (4 20) Вдали от полюса, т.
е. прн ро (/о ((/о — глубина ямы), ( Х (р) ~ ' ° 1/Уо; вблизи полюса (например, при про — н = О) имеем ! т (р) ~ о 1/Е. Ниже будет рассмотрено несколько примеров использования этого свойства волновых функций. Итак, при малых р и к возникает усиление волновых функций сплошного спектра на малых расстояниях в р (/о/В раз.
Разделение волновой функции ор„(г) на произведение двух членов, один из которых зависит от н, а другой — от тт, позволяет очень просто вычислять матричные элементы. Интегрирование по т сводится просто к взятию среднего по функции 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Теория ядерных реакцнй с образованием медленных частиц. Приведем еще один пример того, как учет особенности волновой функции позволяет решить сложную задачу. В данном случае будет учтено существование полюса не в амплитуде рассеяния на потенциальной яме', как это было в задаче предыдущего раздела, а в амплитуде рассеяния двух нуклонов, появившихся в результате реакции (Мигдал, 1950; Ватсон, 1952). 3.
АНАЛИТИЧЕСНИЕ СВОЙСТВА В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ $95 Рассмотрим ядерную реакцию, в результате которой наряду с другими частицами образуются два нуклона с малой относительной энергией. Такой случай осуществляется, например, при роэкдении я-мезона в столкновении двух нуклонов с энергией, близкой к энергии образования пиона, нлн при разрушении дейтона нейтроном, когда энергия вылетающего протона близка к своему максимальному значению и относительная энергия нейтронов достаточно мала. Сечение такого процесса наряду с несущественными множителямн будет пропорционально квадрату матричного элемента, содержащего волновую функцию относительного движения рассматриваемой пары нуклонов, с — ((Ф, <рр (г, — г,))('.
(4.21) Величина Ф содержит интегралы по координатам остальных частиц, участвующих в реакции, и при малом относительном импульсе р нечувствительна к величине относительной энергии рассматриваемых нуклонов. Так как в интеграле (4.21) существенны расстояния т, — г, (-км где гэ — радиус сил (рг, <'= 1), то можно использовать для ~рр соотношение (4.19). Поэтому сечение для выбранной в (4.20) нормировки ~рр имеет внд АС = — А,(7'('Ы1э = А (4.22) где Е = рэ!М вЂ” энергия относительного двинсения (приведеннан масса нуклонов равна М/2). Здесь мы использовали выражение (4.17) для амплитуды О рассеяния двух нуклонов.
Величина еэ зависит от типа и суммарного спина нуклонов. Для нейтрона и протона со спином единица с„= 2,2 Мэв (энергия связи дейтона), для спина нуль з, — 70 кэв (внртуальный уровень). Для двух нейтронов полюс в амплитуде имеется только при спине нуль (е, 70 Мэв, см. ниже). Два нейтрона со олином 1 не могут согласно принципу Паули находиться в О-состоянии и поэтому имеют малую нерезонансную амплитуду рассеяния (согласно стр. 189 аьшлнтуда с ( чь 0 падает с уменьшением р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
