1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 24
Текст из файла (страница 24)
суперпознции вместо решения Ч = Ае'з мы должны потРебовать Р' =,~~Аое'зо, о где сумма берется по асом классическим траекториям, соединяющим рассматриваемые точки. Предположим для простоты, что есть только две траек- тории, соединяющие фронты падающей и рассеянной волн на бесконечности. Вдоль траектории Е, которая проходит вдали от центра рассеяния, трубка тока параллельна оси е; А и ЧЯ постоянны, причем Чо = ро.
Можно по- ложить, что значение р-функции в каждой точке фронта падающей волны равно 1. Поэтому А, = А, = 1. Сле- довательно, Ч~т = ехр ~' ~ Ро "е1 = ехр 11Рооо + 'РоЕ') -ь где Š— пока произвольное число. Найдем второе решение Ч"о. Вдоль второй трубки тока АоЧЯЫо = совет.
На — со имеем Ао =- 1, ЧЯ = ро, Ап = р Ар окр, где р— прицельный параметр. Следовательно, Рор СР'мр = АоРог о)оо. (3.46) Тогда > Ч" — Аое'з' = "~,' —,„ехр ~1 ~ р о)11, /рар л(р о -ь а полное решение задачи имеет вид Ч" ехр(1р х+ 1роЕ) + ~/Р,Р ~ ехр~1 ~ рй1. (347) Умножим правую часть этого равенства на постоянный З. ТРНХМКРНАЯ ЗАДАЧА множитель е 'Р'-. Чà — е'Р.. (- — е~ж, / г /= ~г' („— ) Е (3.48) (3.49) Траектории / и / изображены на рис. 36.
В выражении (3.49) гущественный вклад вносят точки вблизи центра рассеяния. Выражение (3.49) требует уточнения в том случае, когда классическая траектория проходит вблизи точек, где квази- классика неприменима. Сово- ~г купность таких точек образует поверхность называемую каустикой. Каустика отделяет область, доступную для класси- рас. ческого движения, от недоступной.
Например, для кулоновского потенциала отталкивания каустика имеет вид параболоида вращения, а в случае притяжения она представляет собой прямую линию, идущую от центра рассеяния к + со. Найдем, как меняется фаза волновой функции вблизи касания траектории с каустикой. Разложим движение частицы на два движения: перпендикулярно касательной к каустике и вдоль касательной. Движение в перпендикулярном направлении аналогично квазиклассическому отражению от точки поворота в одномерной задаче. При этом разность фаз падающей и отраженной волн, как мы видели, равна я/4 — ( — я/4) = н/2. При движении вдоль касательной к каусткке изменения фазы не происходит.
Следовательно, вместо (3.49) для Ф 2, тРехмеРнАЯ 3АдАчА И9 Рассмотрим рассеяние на малые углы. Обозначим й; — У, =.= Р. Тогда для сгчония перезарядки получаем следующее выражение: (~~) =(„—;) вп'~ — ~ У()/р'+Аз)дх1. (3.50) О Здесь р — прицельный параметр. Это выражение совпадает с сечением, полученнь1м в (2,4). Для сечения рассеяния получаем ( — ) = ~ — ) соз'~ —, ~ У(у~рз+хз)с(х~ = = — ( — "', ) — ~ ~„~~) .соз[ — ~ К()/р'+хз)Ых1. Таким образом, наряду с обычным классическим рассеянием получаются квантовомеханические осцилляции сечения рассеяния как функции угла отклонения. ГЛАВА 4 .
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В последние десятилетия развитие экспериментальной и теоретической фиаики сильновзаимодействующих элементарных частиц (адронов) потребовало создания теоретических методов, не предполагающих малость вааимодействия и, следовательно, не использующих теорию возмущений.
Одним из таких методов является использование аналитических свойств физических величин, например, использование аналитических свойств амплитуды рассеяния как функции энергии или угла отклонения. В тех случаях, когда изучаемая величина имеет особенность в комплекснои плоскости вблизйвещественной оси, ее поведенйена вещественной оси определяется характером этой осо енности. дним из йе вых примеров такого Рл 5 ' *~ыв Рйю~ал й.263 — та ..ю,. '"* частиц см. ниже). В этом случае полюс в амплитуде рассеяния друг на друге родившихся в результате реакции частиц определяет энергетический ход процесса. Существование в системе взаимодействующих частиц уровней с малыми энергиями, как мы увидим, настолько упрощает энергетическую и координатную аависимость волновых функций при малых энергиях, что позволяет свести аадачу нахождения энергетического спектра к простому алгебраическому уравнению.
Аналитические свойства поаволяют установить соот- 'ЯХ .. ЗШЙ ~ИЬИ~ '3Ю ЮЮЮ РИ которая определяется поглощением частиц, и ее вещественной частью и пе сионное соотношение . з таких соотношений вытекает болыпое число экспериментально наблюдаемых следствий в различных областях физики. Все физические величины при реальных значениях параметров не должны обращаться в бесконечность. Иными словами, на ве ественной оси в реально достижимых областях физические ункции конеч, а к все величины, получаемые в рез„. ий, йред- 172 ГЛ.
4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН сечение рождения входит не величина ~„а Ф 1(е — с1= У ) - «Уе,— о.м,= = )/ ла ~ е- 1е-е - в ~/х 1(х. О Сечение рождения пропорционально этой величине. Вычисляя интеграл, находим: 7'(з) = — "(2а) Ае- 'Ч135 . ( — З)/2а). Здесь Ю вЂ” функция параболического цилиндра, а е = Š— Е,.
Функция 7 (е) не имеет особенности в точко порога е =- О. Используя асимптотнку Ю-функции, получаем, что ПРИ Е вЂ” > — оо, 7'(З) Е '-'*, а ПРП Е-1. + Со, 7 (Е) Р' Е. Иа рнс. 37 показан гра- ~И~ фн11 у (е), Когда энергия нале- тающей частицы фик- 'г Е1 сируется все более и : / 11 более точно (а -~- ао), д, кривая ) (е) стремятся к предельной кривой Ряс.
37. (она изображена пунк- тиром на рис. 37), которая имеет особенность при е = О. Таким образом, корневая особенность при з = О появляется в результате ндеалиаации реальной задачи рассеяния. В комплексной плоскости параметров физические функц ~у* ~т~н ~пбитю-кеэл гб учае для их 'ггоинлвийя должнйбыть физические прнчийы. Из свойств аналитйчйостй можно делать важйые 'заг ключения о связях между различными физическими величинами. Сначала мы рассмотрим несколько простых физических примеров, а затем найдем решение ряда задач, которые не могут быть изучены без использования аналитических свойств.
Гл. ь АнАлитические сВОЙстВА Физическллх Величин $Т3 Зависимость момента инерции ядра от деформации. Для квантовомеханической сферической системы момент инерции следует считать равным нулю. Действительно, для того чтобы наблюдать вращение, необходимо иметь отметку на поверхности системы. Такая отметка соответствует возбужденному состоянию, при котором система перестает быть сферической. По мере уменьшения деформации энергия вращательных термов увеличивается до бесконечности, что и соответствует стремлению к нулю момента инерции. Для пояснения получим квантовомеханическое выражение для момента инерции.
Перейдем в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью й. При атом в гамильтоннане возникает дополнительное слагаемое Н' =- — Мй, где М вЂ” оператор углового момента системы. Рассматривая УУ' как малое возмущение, легко получить выранление для среднего значения углового момента Мы определили момент инерции как отношение (М)/й. Если при рассматриваемых угловых скоростях можно пренебречь возбуждениями внутренних степеней свободы системы, то вращательная энергия будет Мл АУ+И с тем же моментом инерции У: У.= 2~~~~~ Из этого Выражения следует, что для сферической системы, когда М имеет только диагональные матричные элементы, У = О. Рассмотрим момент инерции У при малых деформациях б. С какого члена начинается разложение У по степеням Ы Легко убедиться в том, что выражение У = Аб неправильно.
Предположим, что У = Аб для положи- 174 РЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИИ тельных 6 (»огурец»). Так как У вЂ” всегда положительная величина, то для отрицательных 6 (»блин») У =- А ~ 6 ~ = = А г'6'. Следовательно, момент инерции как функция 6' имел бы в нуле точку ветвления, Между тем, можно убедиться в том, что нет никаких причин для появления особой точки. Действительно, перейдем от слабо деформированного ядра к сферическому с помощью соответствующего преобразования координат.
В гамнльтопнане появится малая добавка Н', пропорциональная величине деформации 6. Для конечной системы применение теории возмущений дает сходящийся ряд. Следовательно, момент инерции не имеет особой точки при 6 == О. Поэтому момент инерции можно разлагать по степеням 6, и зто разложение начинается с квадратичного члена У = Вб» + ... Зависимость частоты звука от волнового вектора. Как известно, при малых волновых числах 7» (т. е.
больших длинах волн Х =- 1%) в некоторых системах могут распространяться звуковые возбуждения с частотой в = = с/». Здесь с — скорость звука. Так как в — скаляр, а 7с — вектор, то это соотноп|ение означает в =-- с р' гс», Итак, прн й = О частота в как функция )с» имеет точку ветвления. Объясним, почему здесь возникает особая точка. Уравнения, описывающие состояние системы, не меняются при замене с-и — с, если нет поглощения.
По- атому в отсутствие поглощения уравнение для определения частоты всегда содержит четные степени в. Например, в классической механике уравнения Ньютона для системы частиц при малых колебаниях имеют вид тйп = —,.~~~ лампи~. Здесь т — масса и-й частицы, ип — ее смещение, а Р „— сила, действующая на л-ю частицу со стороны т-й. Полагая ип = и»„е™, получим дисперсионное уравнение для квадрата частоты звука в» в виде лио и»п = ~э У'~»пи»юп. » 1» Следовательно, квадрат частоты звука е»», а не сама частота в, должен быть аналитической функцией параметров !.
сВОйстВА дпэлектР11ческои постоянной 175 задачи. Поэтому оР = — а —,' с4114 -1- ЬР4 + 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОИСТВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОИ ПОСТОЯННОЙ Как мы увидим, аналитичность некоторых физине.л ю44и' ~и'т=. 44 . А 1'ассмотрим, например, аналитические свойства диэлектрической постоянной. Электрическая индукция й (1), возникающая в системе при наложении электрического полн с', определяется амплитудой поля во все предыдущие моменты времени г — т (т ) О). Итак, Х(1) .—.; ~ Л'(т) 8(1 — 1)4(т; 0 (4.1) Л' (т) — вещественная и убывающая функция т, так как опа связывает физические величины, сдвинутые по времени на величину т.
Это соотношение вытекает лишь нз того, что следствие наступает позже причины. Разложим е и Ж в ряды Фурье е = ~4т„е-"'Йэ, Ю = ~'.б Р-ш141оь Из (4.1) находим л) =- с' ~ Л'(т)е1 '41т, О откуда диэлектрическая постоянная определяется соот- НО1ПЕННЕМ Ы,„ ~ Л (Т)с1 4ПТ О (4.2) Деформация среды, соответствующая звуковой волне прн к -+.О, должна переходить в сдвиг системы как целого. Энергия, соответствующая такому сдвигу, равна нулю. Поэтому для звуковых волн а = О (теорема Гольд- стоуна), и следовательно, для малых к частота ю = с ) 4с ~. О7С ГЛ.
4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН з = ~,7о',(т)е' 'дт о Во втором случае поле 8 определяется значениями 8, = = Ю в предыдущие моменты времени, 8 = ~ЮЗ(т) Я(з — т) о(т, о откуда Ю вЂ” ~Я' (т) еоооо(т 1 е о Таким образом, аналитические свойства е и 1(е совпадают. Следовательно, диэлектрическая постоянная не имеет ни полюсов, ни нулей в верхней полуплоскости ю. Используя аналитичность, оюжио выразить вещественную часть диэлектрической постоянной через ее мнн- Величина е аналитична в верхней полуплоскости ю. Действительно, если обознччить ю = во+1ооо где оо,) О, то подинтегральное выражение в (4.2) содержит затухающую экспоненту е '', и поэтому интеграл (4.2) сходится и, следовательно, представляет собой аналитическую функцию. Нетрудно видеть, что аналитические свойства е и 1/е совпадают. рассмотрим длинный и короткий цилиндры вещества, на которые наложено внешнее поле 8, (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
