1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Сделаем предположение, что до момента времени е = 0 амплитуда падающей волны на некоторой контрольной плоскости, расположенной до рассеивающей системы, равна нулю. Относительно В можно утверждать, что В(г) =0 для г(гь где ~, >О. Перейдем к фурье-компонентам: о А = ~ А(~)е' 'й, В = ~ В(г) е'""й. о а Так как А (~) = 0 при г ( О, то А„не имеет особенностей в верхней полуплоскости. Аналогично В„такоке не имеет особенностей в верхней полуплоскости.
Из соотношения В = — ЯЛ следует, что величина 8 может иметь особенности лишь в нулях А . Но Я не может зависеть от частного вида А, т. е. не может зависеть от расположения 184 ГЛ. 4. АИАЛИТИЧНСКИВ СВОЙСТВА Фкднчвсних ВГЛИЧНН нулей А„, следовательно, нули А„совпадают с нулями В, н Я не может иметь особенностей в верхней полуплоскости. Оператор Я, как мы видели выше, линейно связан с амплитудой рассеяния ~ (юо) света. Величина ~ (оо) отлична от нуля и представляет собой сумму амплитуд рассеяния света на свободных частицах среды.
Поэтому дисперсионное соотношение нужно применять не к р' (гео), а к разности ~ (ьо) — р' (оо). Оно аналогично дисперснонному соотношению для диэлектрической постоянной е СО Пюо) П,.)+ ' '1 ' ('("') '( )',1ыг. (4АЗ) Я ) о о е — ао — Ее Резонансное рассеяние прн малых анергнях. При больших г волновая функция задачи рассеяния имеет следующий аснмптотический вид: Чг + е'Р* + еорг г г Рассмотрим сначала сфернчески-симметричное рассеяние. Сферически-симметричная часть Ч", описывающая рассеяние с 1 = О, прн больших г равна и12 е1п рг (о о, и у — = — + — еж=— 4я „рг г Здесь ро — сферически-симметричная парциальная амплнтуда.
Функциго и можно записать в виде: (4Л4) 2ер 2ор Ток частиц, составленный из выражения (4.14), равен разности токов, образованных из двух слагаемых и (в выражении для тока перекрестные слагаемые сокращаются). Если рассеивающий центр не поглощает и не испускает частиц, то эти токи равны друг другу. Условие их равенства имеет вид: ~ 1 + 21р1о ~о = 1, илн, иначе, ~о — ~о = 21р1о1о ° 1ш ~о = р! /о (' (4 15) откуда получаем 1 х АИАлитические сВОйстВА Амплитуды РАссеяния 1яб где до (р') — вещественная функция Ро. При малых энергиях опа может быть рааложена в ряд. Как мы увидим, в случае рассеяния на потенциальной яме параметром разложения является отношение энергии к глубине ямы. Формула (4.15) представляет собой частный случай оптической теоремы (4.12), связывающей мнимую часть амплитуды рассеяния на угол ноль с полным сечением. Исследуем теперь поведение произвольных парциальных амплитуд ~, при малых энергиях.
По определению ~(0) =,Я ~,(21+1) Р,(созО). ь-о ро 2' ~~~',(21+1)(2Г+ 1)Я~Я Р,(созО) РР (созО')НУ'. По теореме слоягения для полвномов Лежандра Р, (соз О) = Р~ (сов О) Р, (соз 0') + ... Отброшенные члены содержат выражения вида соз т (ф — ф'). Прп интегрировании по ф' они обратятся в ноль. Используя свойство ортонормированности полиномов Лежандра, окончательно находим: 1ш г', = р ( ~, )2. Отсюда 1 а,(Р ) — од Из формулы (4.10), вводя вместо Т„амплитуду рассеяния и заменяя суммирование по с интегрированием по промежуточным импульсам р' (ио ке по- /Ро латая, как в (4.11), а = о), находим: 1 У(О) = ~У*(у)У(у )су ° Здесь у =- (О, ф) и у'= = (О', ф') — углы, показанные на рис.
40. Разлагая амплитуды ) (д), ~ (у) и / (у') по парциальным амплитудам, получаем: ~~',(21+1)1ш~, Р,(созд) = 1 188 ГЛ 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Вернемся опять к сферически-симметричному рассеянию. Как мы увидим ниже (стр. 189), при малых ра существенно г-рассеянне. Разлагая л, (р') в ряд Тейлора и обозначая — я (О) = к, находим: 1 (4.17) Величина !, имеет полюс в точке р = 1к (второй корень квадратного уравнения — >е — 1р + ар' = О соответствует столь болывим импульсам р, при которых неприменимо рааложение я, в ряд Тейлора).
Если рассматривать ! как функцию энергии р'/2 (массу частицы полагаем равной единице), то пр» р> =. О имеется Рис. 41. корневая точка ветвления. Чтобы 1, (р') стала одноаначной, проведем в плоскости р' разрез из начала координат вдоль вещественной положительной полуоси (рис. 41). Он делит плоскость р' на два листа. Если я ) О, то полюс !е лежит на отрицательной вещественной полуоси первого листа, а если и ( О, то — второго. Величину х мох1но выразить через энергию слабосвязанного состояния в рассеивающей яме (если такое состояние существует). Подставляя (4.17) в (4.14), получаем: и — — > е ге 1 ! .
— и+1р е>г ) З>р (, — и — >р Функци>о и можно аналитически продолжить в область отрицательных энергий, что соответствует мнимым аначениям р. !!усть энергия связанного состояния равна — Е . Обозначим к = Р" 2Е„. Тогда прн р= + 1кд волновая функция должна стать волновой функцией связан- з, хнхлнтнчвскня свопствх хмплнттды вхссвяния 187 ного состояния. Поэтому в выражении для и при р =. = =Е гх не должно оставаться слагаемого с растущей экспонейтой. При р == 1хе получаем 1 /„— х — хй и =. —, еня — ' е-""). ахе ~ — я+ хо Для того чтооы можно было пренебречь растущей экспонентой, необходимо положить х = х, ) О. Таким образом, в случае связанного состояния амплптуда рассеяния имеет полюс при р =- 1х, (4 18) Положение полюса определяется энергией связанного состояния.
Эта формула имеет смысл, когда энергия связанного состояния Е, мала по сравнению с глубиной потенциальной ямы. В таком случае при малых энергиях рассеиваемых частиц происходит резонансное увеличение эффективного сечения рассеяния, и можно пренебречь влиянием потенциального рассеяния и влиянием других уровней. Так как х„ ) О, то полюс, соответствующий связанному состоянию, лежит, на первом листе плоскост~ р'.
Можно показать, что все полюса на первом листе представляют собой связанные состояния. По этой причине первый лист называют физическим (см. рис. 41). В случае х(0 полюс амплитуды рассеяния лежит на втором (нефизическом) листе и соответствует так называемому виртуальному состоянию. Например, синглетная амплитуда рассеяния нейтрона на протоне имеет полюс прн энергии — — 70 кэе, соответствуклций виртуальному состоянию. Такой полюс проявляется как резояанс в рассеянии при малых энергиях, однако не соответствует свяаанному состоянию. На нефнзическом листе могут быть и другие особенности. Они могут находиться (в отличие от физического листа) в любой точке комплексной плоскости. Представляют особый интерес полюса, расположенные вблизи положительной вещественной полуоси р' в точках рз .== == рз — 1у (у ) 0).
Каждый нз таких полюсов сильно влияет на амплитуду рассеяния прн энергии, близкой к р',/2 188 гл. 4. АЕАлитические сВОИстВА Физических величин и приводит к резовапсному рассеянию с шириной у. Эти полюса определяют так называемые квазистационарные состояния. Ширина т равна обратному времени жизни этого состояния (стр. 146). ЗАДАЧА Из закона сохранения частиц получить (аналогично тому, как это было сделано в тексте) оптическую теорему в случае поглощения, определяемого сечением и,. Ответ.
1ш 1А= ~, (4п)1,)'+ с,). Нерезоиаисиое рассеяние прп малых аиергиях. Исследуем аналитические свойства амплитуды рассеяния 1(р, О) при малых энергиях. Сначала определим, при каких условиях функция 1(р, О) аналитична в точке р = О. Для этого напишем уравнение, связывающее 1 (р, О) с волновой функцией задачи рассеяния Ч'р —— =- е>""ир (г). Здесь и„— функция, модулирующая плоскую волну. Как мы увидим, особенности 1(р, О) при р = О определяются поведением Ч"р и г' на болывих расстояниях г, где Ч"р +е1а + — е>Р и ир- 1+ — е>1е а">, т.
е. ир — 1 при г-> оо. Вопрос об аналитичности при р >- О может быть рассмотрен в борновском прибли>кении. Действительно 1 (р, О) = — — 1згы' У (> ) ир (г) йг — — ~ е->е')г (г) Н г, 1 1 где 1>> = 2рз — 2р2>'. Если >г (г) убывает при г ->. оо зкспоненциально (или более сильно), то все производные от 1' по р конечны (соответствующие интегралы сходятся), т. е. 1 аналитична при р =О. Пусть Р(г) убывает при г — >- оо степенным образом. Продифференцируем 1(р, О) по р достаточно большое число раз. При каждом дифференцировании экспоненты е->е" в подннтегральное выражение добавляется мно-.
житель, пропорциональный г. Он ослабляет убывание 2 АНАЛИТИЧЕСКИБ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССВЯНИЯ 139 этого выражения при г-~- оо. Следовательно, достаточно высокая производная при р-~ О расходится. Таким образом, в случае потенциалов, убывающих при г-~- оо степенным образом, амплитуда рассеяния при р = О имеет особую точку, При большом показателе степени эта особенность не оказывает заметного влияния на рассеяние частиц малых энергий, так как проявляется лип|ь в очень высоких производных от амплитуды рассеяния. Найдем зависимость амплитуды рассеяния от р при малых р в случае достаточно быстро убывающих на бесконечности потенциалов (экспоненциально или сильнее).
Для атой цели удобно перейти от переменных р, О к переменным тэр' и р2. Тогда по определению парциальных амплитуд рассеяния Как известно, функция Р, является полиномом 1-й степени, а именно: Р, ( — "" ,) = С„( — ", ) '+ С, ( — "'; )' '+ .. Рассмотрим поведение амплитуды при фиксированном значении р22' и приуэ-~-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
