1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Следует подчеркнуть, что (4.41)— общая квантовомеханическая формула для амплитуды перехода через ааданное промен1уточное состояние и от- нюдь не предполагает малости взаимодействия между частицами. Учет энергии отдачи ядра 1' приводит к изме- нению эффективной массы в энергии виртуального протона да ММ, Е(о)= 2м, Меаэ= м м . Величина Ет — Ех= Ее~О еаа' М+Мт ' представляет собой энергию связи протона в ядре 1'. Функ- ция Ф (д) определяется ыатричным элементом Ф(д) = (Р"'(г), ), Рт' '(г)) М"), где г, — координаты всех нуклонов, кроме рассматриваемых (мы опускаем спиновые значки). Для грубой оценки зависимости Ф (д) мо1кно предположить, что волновые функции всех остальных нуклонов е) Аналитические свойства амплитуд прямых реакций вкервые были исследованы в работе И. С.
Ш а и и р о, ЖЭХФ 41, 1616 (1961), см. также И. С. Ш а и и р о, УФН 92, 549 (1967), 3. АИАлитические свонстВА в Физических зАДАчАх 2СЗ в ядре т мало отличаются от волновых функций этих нуклонов в ядре Х. Допустим для простоты, что ядро Х отличается от ядра У только наличием протона в состоянии ) вблизи границы Ферми. Тогда Ф (д) = (<рл (г) ем"). (4.42) Для иллюстрации вида Ф (д) рассмотрим случай, когда орбитальный момент состояния равен нулю.
Предполагая, что ядерный потенциал, в котором движется протон, имеет форму прямоугольной ямы радиуса В )) 1(рг (рг— 8 1 а Р Р г 1 импульс на границе Ферми), имеем ~рл = и 'г' 2яй / зя Г Ф((() = 1; — л2 2з(п ргг.з(в ог дг = =У я) о — (э'а(т — РР) й э'э(Ч+ РР) л = у2ИВ~ ~ (т — РР)Я (т+РР))т Эта функция имеет максимум при д = рг. Кроме того, знаменатель выражения (4.41) убывает при Е (о) ) Е„ (= 5 — 10 мзз), поэтому в (4.41) существенны малые д, при которых амплитуда рассеяния Г мало отличается от амплитуды рассеяния на покоящемся протоне. Таким образом, формула (4.41) позволяет выразить сечение рассматриваемого процесса через сечение протон-протонного рассеяния. Для вычисления Ф (о), как мы видим, требуется сделать предположение о характере Ч'-функцнй ядер Х н У.
При достаточно малом Еэ зависимость сечения реакции от () при малых д определяется резонансным знаменателем (4.41) независимо от вида функции Ф (д). Приблнлкение, которое мы использовали при написании (4.41), состоит в предполонсении, что другие механизмы реакции, идущие более чем через одну виртуальную частицу, вносят меньший вклад. Это обеспечивается малостью знаменателя (4.41). Аналогичным образом рассматриваются и более сложные реакции. Пороговые особенности амплитуды рассеяния. Рассмотрим особенности амплитуды рассеяния вблизи порога рождения частицы.
Сечение рождения частицы а пропор- НР' ционально статистическому весу — конечных состояний (2я) л ЗО4 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН частицы. Учитывая закон сохранения энергии, получаем о — ~ б (Š— 1 — Г) Р— )ГŠ— 1. (4.43) (Зя)э Здесь 1 — порог реакции, а Š— энергия налетающей частицы. Найдем сечение упругого рассеяния о, вблизи порога реакции.
Для этого определим вид О'-матрицы в этой области. Ввиду малости энергии вылетающей частицы неупругий канал скажется лишь на нулевом парциальпом члене Я-матрицы (1 = 0) (Вигнер 1948; Базь 1957). Выражение (4.14) можно записать, введя Юэ-матрицу, в виде $~ЕФ' И = Вычисляя поток частиц через сферу радиуса Л и деля на Х Ряс. 43. плотность падающего потока, находим сечение рождения (поглощения) частиц о =- — (1 — (Я, ('). Р Сравнивая (4.43) и (4.44), получаем: (Л,( = 1 — С,)1Š— 1, е)г (4.44) причем С, ) О. При 14 (1 неупругих процессов нет, следовательно, ) О, ( =- 1.
Оба последних соотношения вблизи порога Е(1 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 295 можно ааписать в виде: Юе = (1 — С )/ Е' — 1) емеч где бе — вещественная фаза. Действительно, при Е ( 1 это выражение дает ( Юе ~ = 1 с точностью до членов порядка (У ~ 1 — Е ~). Сечение упругого рассеяния о, состоит из суммы двух членов. Первое слагаемое связано с парциальными амплитудами 1 ~ О; в области порога его можно заменить на константу. Второе слагаемое равно — ~ 1 — Ю, ~'. ПодР~ ставляя сюда выражение для ЮФ находим: сопз$+ ' С, у'Š— 1, Е)1, сопз5+ ", ' С, У1 —.Е, Е(1 В зависимости от величины фазы бе могут осуществляться два типа поведения а,.
Они показаны на рис. 43. ГЛАВА 5 МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Решение уравнения Шредингера для системы, состоящей из большого числа сильно взаимодействующих частиц, представляет собой неразрешимую задачу. Даже классическая задача трех тел не решается в общем виде. К счастью, нахождение Ч'-функции такой системы не только нераарешимая, но и ненужная задача. Действительно, такое детальное описание задачи многих тел не диктуется никакими возможными экспериментами. Любая экспериментальная установка содержит сравнительно небольшое число индикаторов частиц и поэтому в случае большого числа частиц, участвующих в процессе, дает только усредненные характеристики. Попытка определить ноординаты всех частиц такой системы привела бы из-за соотношения неопределенностей к сложному возбужденному состоянию и изменила бы ее свойства.
Описание макроскопической системы с помощью волновой функции является неадекватным способом рассмотрения *). Должны быть использованы методы неполного описания, при которых определяются соотношения только между усредненными величинами. Примером такого подхода является гидродинамика, уравнения которой определягот только среднюю скорость частиц в каждой точке (поле скоростей). Другой более близкий ь нашей задаче пример — это кинетическое уравнение, позволяющее найти функцню распределения частиц по скоростям и координатам. Одно- частичная функция распределениями (к, тт, 1), зависящая от координаты я и импульса рчастнцы, дает возможность вычислять средние значения аддитивных величин, таких, *) .В книге Н. С.
Крылова еработы по обосиованиго статистикю ата идея иолольауетси дли обоойовании статистической фиаики, ГЛ. Е МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ 207 как, например, плотность и (г) =-,~~ б (г — ~,) или импульс единицы объема)(~ ) =,Я п,б (г — Г,). Двухчастичная функция распределения / (з „гз; р„тг~; 1) позволяет находить корреляции между координатами и скоростями двух частиц и определять средние от величин, зависящих от координат двух частиц, например, среднее значение энергии парного взаимодействия У = — ~~'~ У (м, — г„).
Периодические или слабо затухающие решения уравнения для функции распределения дают собственные частоты системы. Развиваемый ниже метод функций Грина, как мы увидим, включает этот способ классического описания системы многих частиц н позволяет переводить его на квантовый язык. Однако даже такое неполное описание системы требует использования приблигкенных методов. Действительно, если интересоваться поведением только, скан<ем, двух частиц, мы неизменно придем к промежуточным состояниям, в которых в результате взаимодействия участвует несколько частиц, каждая из которых вовлечет в движение еще частицы, и задача сделается неразрешимой без использования приближенных методов.
Наиболее простой случай осуществляется, когда взаимодействие между частицами может считаться малым по сравнению с их средней кинетической энергией и применима теория возмущений. С примером такого рода мы уже сталкивались при использовании метода Томаса — Ферми для нахождения поля в тяжелом атоме. При этом решается уравнение Шредингера для электрона, движущегося в самосогласованном поле остальных частиц, находящихся в основном состоянии. Параметром ь, характеризующим применимость этого приближения, является отношение энергии вааимодействия двух электронов ЯЧ* к кинетической энергии электрона уч (стр. 39), т. е. ь ° 1/У,. Следующий шаг — это учет влияния квантовых флуктуаций плотности на движение рассматриваемого электрона.
Другой метод приближенного подхода к задаче многих тел возможен в том случае, когда взаимодействие двух частиц не мало, но частицы находятся в среднем далеко 20$ Гл. к мктоды задачи мнОГих ткл друг от друга настолько, что можно пренебречь случаями тройного взаимодействия частиц. Это так называемое «газовое приближение», которое осуществляется в случае газа сильно взаимодействугощих частиц.
Параметром этого приближения является величина /и'0, где ~ — амплитуда рассеяния двух частиц, п — плотность, т. е. /lга (гз — среднее расстояние менгду частицами). В наиболее интересных физических объектах (металлы, твердое тело, жидкий гелий, атомное ядро) не выполняются условия применимости ни теории возмущений, ни газового приближения. В этих случаях должны быть использованы другие методы рассмотрения. Прежде всего следует выяснить характер наннизших возбужденных состояний системы с определеннымн интегралами движения, например, в однородной системе, состояний с определенным импульсом. Тогда более сложные возбуждения можно рассматривать как газ таких элементарных возбуждений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
