1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(5 16) Так как оператор а' увеличивает импульс системы на величину то, а число частиц в системе — на 1, то суммирование при т > 0 производится по всем состояниям с импульсом 1о и числом частиц Л' + 1, если в основном состоянии число частиц .было Л«, а импульс равнялся нулю. Аналогично етому суммирование при т ( 0 производится по состояниям с числом частиц Л' — 1 и им- ПУЛЬСОМ вЂ” 11 Обозначим Еа (Л«+ 1) — Ео (Л«) = =за(Л«+1) +Ео(%+1) — Ео(Л«) = е,+ р, где р = Ео («а' + 1) — Е, (Л') — химический потенциал.
Энергия возбуждения е, == Е,(Л«+ 1) — Ьо (Л + 1) по определению поло1кительна. гл. ь. мгтоды 3АдАчи многих ткл 220 Аналогично, Е,(Ж вЂ” 1) — Ео(Л) = = е,(Л' — 1) — Ее(Ж) + Ер(Дг — 1) = еа — )г'. Величины е,' и р' совпадают с с„ и )г с точностью 1/1т'. Введем функции А (1З, Е) НЕ =-,5~ ((и„')„)а, Е ~( е, ~~ Е + НЕ, а (5Л7) Е (р, Е) г)Е == ~ ~ ( „),„(~, Е < ~, ~~ Е + АЕ и перейдем в выражении (5.16) к разложению Фурье по т. Имеем ( — А(р, е — )а), е)р, 1ш6(р, е) .= я ~ .
(5Л9) (-~- Е(1т, р — е), е(р,. Таким образом, мнимая часть С (р, е) для ферми-частиц иаменяет знак в точке е = р, а для бове-частиц отрицательна для всех р и е. Используя (5.18) и (5.19), нетрудно получить 1гпС(р, е')ов' е' — е — Ф вЂ” М (5.20) Эта формула аналогична соотношению (4,5) на стр. 178. е) Аналогичное разложение в квантовой таврии поля было получено Леманом в 1954 г. Формула (5.18) представляет собой спектральное разложение для одночастичной функции Грина системы, состоящей из конечного числа ферми-частиц е). Эта формула поаволяет получить соотношение, связывающее вещественную и мнимую части функции б (1т, е).
Действительно, иа равенства а — — — — — — Р д ~-~и~а — -гф 1 1 вытекает к мвтод кВАзичАстиц и Функции ГРинА 231 Установим свяаь одночастичной функции Грина со спектром возбуждений. Функция С(р, т) имеет простой физический смысл. Пусть в начальный момент система находится в состоянии Ф (0) = аРФ„где Ф, — основное состояние системы 1«' частиц (физический «вакуума). В момент т ) 0 волновая функция системы равна Ф(т) = е а Фа. Функция С (р, т) равна амплитуде вероятности найти систему в момент т в состоянии Ф (0). Действительно, (Ф(0), Ф(т)) = (Фааее ' 'а,",,<1>а) =-. С(р, т). (5.21) Лналогнчное соотношение существует для т ( О.
Согласно (5.16) и (5.18) для т ) 0 О (Ф(0) ф(т)) = е-«Р" ~ .4(р Е)е-ш'АЕ (5 22) а При отсутствии взаимодействия для р, больших рр (Р = ер), А (р! Е) б (Е + ее еа (р)) и (Ф (0) Ф (г)) = е-мчюа При включении взаимодействия между частицами б-функция в А(р, Е) заменяется на функцию, имеющую резкий максимум вблизи Е = е (р) — 1«, где е (р) — знергия квавичастиц. )й,.
Рассмотрим поведение функции Грина для больших положительных времен. Пусть ближайшая к вещественной оси особая точка аналитического ~продолжения А (р, Е) в Зат нижнюю полуплоскость есть полюс первого порядка при значении, Е = е(р) — р — (у. Тогда, смещая в (5.22) контур интегрирования в нижнюю полуплоскость, получим С(р, т) = е «Ра ')Ае-'к'АЕ. (5.22') Ркс. 45. Контур интегрирования С нзобрая<ен на рис. 45. Неэкспоценцнальное слагаемое в функции С (р, т), возника- 222 гл. 5. мвтоды задачи ме1огих твл ющее от интегрирования по мнимой оси вблизи Е = О, для т ~ 1/у имеет порядок величины (у/з (2т))з. Таким образом, где 6о — функция Грина квазичастицы. Этим соотношением устанавливается связь между функциями Грина частицы и квазичастицы.
Вычисление наблюдаемых величин. С помощью функции 6 можно вычислять средние значения по основному состоянию операторов вида однократной суммы по всем частицам ($1 — совокупность пространственных и спиновой переменных): А = „5,'А,($о 22;), (5.25) т. е. таких, как например, плотность частиц в точке э', равная п (г) =,~~ 6 (г — р1), или полный орбитальный момент Е = ~ [г'1 ~С 2з;).
1 Действительно, оператор А во вторичном квантовании имеет вид А = ~ Ч"' ($) А ($, 2з) Ч' ($) г%, (5.25') 6 (2т т) Яа-в(м -т + 6 (((/з (р))2) (5 22) Этот результат можно интерпретировать следующим обрааом: в состоянии Ф (О) с амплитудой Х присутствует пакет, изображающий квазичастнцу с знергисй е (2з) и затуханием у. Значения а(р) и у определяются положением полюса А (2з, Е). Рассматривая т ( О, мы пришли бы к аналогичному соотношению для квазидырки. Таким образом, 6 ((о, з) может быть записана в виде 1 — а п (з — е(р) + гб з — е(р) — гб 1 =Я6о + 6а,ю (5.24) к мвтод квазичьстиц и чтнкции гвинь ззэ поэтому его среднее значение по основному состоянию системы выражается через С при г = г' — 0: С($ $ ~ т) = +(Ф«Ч" ($') Ч«(0 Ф«) (526) (Ф«, как и вьппе, означает точное основное состояние).
Среднее значение оператора А будет равно <А> =-т$(А(В,В)СД,Г,( = — 0))),=,АВ= = -+ 8р АС,=,. (5.27) Таким обрааом, С, «совпадает с точностью до множителя ~1 с матрицей плотности. Для ферми-частиц Р ($' ~) = (Ф«'Р' 6') Ч' Я) '1'а) = — С«--о~ (5.28) для бозе-частиц Р(~, и=С, (5.28') Для определения средних значений операторов вида В =Х В,„($;,7»;;$„, У), (5.29) таких, как, например, энергия взаимодействия частиц, необходимо знание двухчастичной функции Грина. Эта величина определяется аналогично С С» (1, 2; 3, 4) = (Фа ТЧ» (1)Ч«(2) Ч«+ (3) Ч««(4) Фа). (5.30) Оператор Т оаначает, что все величины, стоящие справа от Т, располагаются в порядке убывания времен в аргументах Ч', Ч'«; перед всем выражением ставится знак «+» нли « — » (для ферми-систем) в зависимости от того, четной или нечетной перестановкой получается упорядоченное выражение из написанного в (5.30).
Функция С, дает амплитуду перехода для случая, когда начальное и конечное состояния соответствуют в зависимости от соотношения времен »„1„~„14 либо двум частицам, либо двум дыркам, либо частице с дыркой. В С» также содержатся случаи, когда в начальный момент есть частица, а конечное состояние соответствует двум частицам и дырке. Мы для краткости говорим о двух частицах (дырках), подразумевая, что остальные )т — 2 частиц в начальный и конечный моменты находятся в основном состоянии. Функции С н С, содержат также ин- 224 Гл.
ю мктоды 3АдАчи многих тел формацию об амплитуде рассеяния в поле рассеивающего центра, помещенного в среду, и об амплитуде рассеяния двух взаимодействующих частиц. Рассеяние двух частиц в среде определяется функцией 6> (р>>>, рз>з; рз>з, р,> ) при 1„, >, — ~- — со и ~„1, -э. + со (см. стр.
215). При удалении начальных времен >„>, от времен взаимодействия волновые пакеты, изображающие частицы с импульсами у, и р„затухают так, что ко времени соударения остаются только слагаемые, соответствующие квази- частицам с теми же импульсами (стр. 222). После периода взаимодействия при >з, 8, -э + оо также останутся только квазичастицы с импульсами рз и р4. Поэтому задачу рассеяния удобнее рассматривать сразу же в терминах квазичастиц. То же относится к задаче рассеяния в ноле рассеивающего центра. Одночастичная и двухчастичная функции Грина содержат наиболее существенную информацию о системе.
Иногда возника>от вопросы, требующие знания трехчастичной или четырехчастичной функции Грина. Они могут понадобиться, например, для вычисления ввергни связи в системе с непарным взаимодействием. Распределение ферми-частиц по импульсам. Из формулы (5.26) следует, что распределение частиц по импульсам выражается через функцию Грина п(р) = — ~С(у, з)е-"' —. (5.31) ~- — о В этом выра>кении нельзя перейти к пределу т .=- О. Действительно, как видно из (5.24), С 1й при з -~ со и )С (р, е) ое по вещественной оси расходится.
При конечном отрицательном т можно заменить интеграл по вещественной оси на интеграл по замкнутому контуру С, состоящему из вещественной оси и бесконечной полу- окружности в верхней полуплоскости, после чего поло>нить т = О. Таким образом, п(у) = — ~ 6(р, е) — „. с Как мы виделн, функция Грина имеет полюс в точке е = е (р) — >'у 2 з — з (р) + >т ~р) + Ске (Р, ь), 2.
гтАФическии метод где Ск з (1Э, е) — функция, регулярная вблизи полюса. Затухание у (1э) изменяет знак при р = рк; у ) 0 при р ) рг, 'у ~ 0 при р ( рк. Поэтому при р ( рк внутри контура С есть полюс, а при р ( рк он переходит в нижнюю полуплоскость, т. е. исключается из интеграла по контуру С. Поэтому и (ры — 0) — п (рк + 0) = й'. Так как 0 «( и (р) ~( 1, то перенормировка функции Грина (так называется множитель х,) 0(7~(1. Распределение частиц по импульсам изображено на рис. 46 (а1игдал, 1967).
Таким образоън изучение аналитических свойств функции Грина позволило полу- гг чить важный физический результат. Несмотря на взаимодействие между частицами, которое раабрасывает частицы по импульсам, от распределения Ферми свободных частиц остается «воспоминание» в виде обрыва в функции и (12). На рис. 46 показано также распределение квазичастиц. Разумеется, это распределение имеет смысл только для р, близких к рк, где применимо понятие квазичастицы. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
